浙江 2008 · 数学 q02

冷启动：三个符号，各是一句什么话

题目给的全集是全体实数，两个集合是

$$U=\mathbf{R},\qquad A=\{x\mid x>0\},\qquad B=\{x\mid x\leq -1\}$$

要算的是

$$\left(A\cap\complement_{U}B\right)\cup\left(B\cap\complement_{U}A\right)$$

式子里有三个符号，先各翻成一句人话——这三句话就是本题的全部定义，后面三条路都只是在用它们：

• $\complement_{U}A$ 叫 $A$ 的补集：在全集 $U$ 里、但不在 $A$ 里的那些元素。
• $A\cap B$ 叫交集：同时在 $A$ 里又在 $B$ 里的元素。
• $A\cup B$ 叫并集：在 $A$ 里或者在 $B$ 里的元素（只要占一边就收）。

于是这一串读出来是：「要么只属于 $A$、要么只属于 $B$ 的那些实数」——$A\cap\complement_{U}B$ 是 「在 $A$ 里而不在 $B$ 里」，$B\cap\complement_{U}A$ 是「在 $B$ 里而不在 $A$ 里」，再把两堆并起来。

两个补集先各自算清楚。 全集是整条实数轴，所以取补集就是「把这一段从数轴上挖掉，剩下的全要」：

$$\complement_{U}B=\{x\mid x>-1\},\qquad \complement_{U}A=\{x\mid x\leq 0\}$$

这两步里各藏着一次端点翻面，是本题唯一需要小心的地方：$B$ 的定义是 $x\leq -1$，取到 $-1$； 把它挖掉之后 $-1$ 就不在剩下的部分里，所以 $\complement_{U}B$ 写 $x>-1$（严格大于，不带等号）。 同理 $A$ 是 $x>0$、取不到 $0$，挖掉之后 $0$ 反而留了下来，所以 $\complement_{U}A$ 写 $x\leq 0$ （带等号）。开闭恰好互换：原来带等号的，补集里不带；原来不带的，补集里带。

解法一：摆到数轴上，四行看重叠

怎么想到的。 四个集合（$A$、$\complement_{U}B$、$B$、$\complement_{U}A$）全是一段区间， 而要做的事无非「重叠」与「覆盖」。这两件事在脑子里是同时拧两个不等号，摆到同一条数轴上就变成 位置——一眼扫过去就看得见。这就是 集合的交并补摆到数轴上。

① 画四行。 同一条横轴，一行一个集合，端点取不到画空心、取得到画实心：

（第 2、4 行就是冷启动里翻过面的那两个补集：$\complement_{U}B=\{x\mid x>-1\}$、 $\complement_{U}A=\{x\mid x\leq 0\}$。端点开闭在这一步就得画对，画错了后面读不出来。）

② 读第一个交集。 $A\cap\complement_{U}B$ 是第 1、2 两行都盖住的那一段。第 2 行从 $-1$ 起就盖， 第 1 行到 $0$ 才起，所以重叠部分从 $0$ 起——较窄的那一行说了算：

$$A\cap\complement_{U}B=\{x\mid x>0\}=A$$

③ 读第二个交集。 $B\cap\complement_{U}A$ 是第 3、4 两行都盖住的那一段。第 4 行一路盖到 $0$， 第 3 行只盖到 $-1$，还是较窄的那一行说了算：

$$B\cap\complement_{U}A=\{x\mid x\leq -1\}=B$$

④ 读并集。 最后把 ② ③ 两段并起来——并集是「至少一段盖住」，两段之间的空档 $(-1,\,0]$ 谁也没盖住，所以它进不了结果：

$$\left(A\cap\complement_{U}B\right)\cup\left(B\cap\complement_{U}A\right)=\{x\mid x>0\ \text{或}\ x\leq -1\}$$

这正是选项 D。

顺手验一眼方向。 并集只会变大：结果里既含 $A$ 又含 $B$，确实比它们各自都大； 而 $(-1,\,0]$ 这一整段被排除在外，说明它不是「整条数轴」也不是空集。两头都说得通。

解法二：把符号读成「且、或、非」

怎么想到的。 解法一要画四行；可这四个集合都是描述法给的——每一个本来就是一句条件。 既然 $\cap$ 的定义是「都满足」、$\cup$ 是「满足一个即可」、$\complement_{U}$ 是「不满足」， 那就把三个符号换成三个汉字（集合运算读成条件的且或非），整道题一行就写完了，连图都不用画。

① 换字。 照定义逐字替换，其中 $\complement_{U}B$ 那一块直接写成「非 $p_B$」，不必先把它解出来：

$$x\in A\cap\complement_{U}B\iff x>0\ \text{且}\ \text{非}(x\leq -1)$$

② 把「非」推进不等号里。 「非（$x\leq -1$）」就是 $x>-1$——取反时等号跟着换边， 这一步就是冷启动说的端点翻面。于是条件成了「$x>0$ 且 $x>-1$」。两个都是「大于」， 严的那个吃掉松的那个：$x>0$ 已经蕴含 $x>-1$，所以

$$A\cap\complement_{U}B=\{x\mid x>0\}=A$$

③ 另一半同样处理。 「非（$x>0$）」是 $x\leq 0$（不带等号的取反带等号），于是

$$x\in B\cap\complement_{U}A\iff x\leq -1\ \text{且}\ x\leq 0$$

两个都是「小于等于」，还是严的吃掉松的：$x\leq -1$ 蕴含 $x\leq 0$，所以 $B\cap\complement_{U}A=B$。

④ 最后一个符号换成「或」。

$$\left(A\cap\complement_{U}B\right)\cup\left(B\cap\complement_{U}A\right) =\{x\mid x>0\ \text{或}\ x\leq -1\}$$

这一步不能再合并：「$x>0$ 或 $x\leq -1$」描述的是数轴上断开的两段，写不成一个不等式， 照原样留着就是答案 D。

解法三：不算集合，代两个数把选项刷掉

怎么想到的。 这是道选择题，四个候选集合已经摆在眼前了——那就不必把左边那串算出来。 正确选项必须与左边那个集合一模一样，于是只要找几个具体的数（特殊值代入）， 看它「在不在左边」和「在不在各选项里」，一处对不上就把那个选项刷掉（排除法）。 挑数的诀窍是挑在选项之间分得开的位置：四个选项的分界点只有 $-1$ 和 $0$， 那就在这两个点的两侧、以及点上各取一个。

① 取 $x=1$。 先问它在不在左边那串里：$1>0$ 所以 $1\in A$；又 $1>-1$，即 $1$ 不满足 $x\leq -1$， 所以 $1\notin B$、$1\in\complement_{U}B$。两条都成立，故 $1\in A\cap\complement_{U}B$， 并起来当然也在——左边含 $1$。

再看四个选项：$\varnothing$ 一个元素都没有，不含 $1$，A 出局； $\{x\mid x\leq 0\}$ 不含 $1$，B 出局。剩下 C、D 都含 $1$，还分不开。

② 取 $x=-1$。 这个点恰在 $B$ 的端点上，正是 C 与 D 分歧的地方。 $-1\leq -1$ 成立，所以 $-1\in B$；又 $-1>0$ 不成立，所以 $-1\notin A$、$-1\in\complement_{U}A$。 两条都成立，故 $-1\in B\cap\complement_{U}A$——左边含 $-1$。

而选项 C 是 $\{x\mid x>-1\}$，严格大于，不含 $-1$，C 出局。

③ 只剩 D。 四个选项中三个已被刷掉，答案只能是 D。

再验一个反向的点，图个稳当。 取 $x=-\frac{1}{2}$：它不满足 $x>0$，故 $\notin A$； 也不满足 $x\leq -1$，故 $\notin B$。两个交集各要求「属于 $A$」「属于 $B$」，它一个都不占， 所以左边不含 $-\frac12$。而 D $=\{x\mid x>0\ \text{或}\ x\leq -1\}$ 也不含它——对上了。 （这一步只是加一道保险：排除法只保证「其余三个错」，再正向验一个点才踏实。）

三条路回头看。 解法一把四个集合摊成四行，交并补全变成「看重叠、看覆盖、看空档」， 集合一多（三个以上）优势越明显，代价是要老老实实画对每个端点的空心实心。解法二不画图， 把 $\cap\cup\complement$ 换成「且或非」三个汉字，补集根本不用单独解出来—— 但「非」推进不等号时的等号换边全靠手上不抖。解法三干脆不算，只验点， 是选择题独有的便宜：代价是它只告诉你「哪个对」，不告诉你「这个集合长什么样」， 而且必须验到把选项分开为止——本题若只代 $x=1$ 就收手，C 和 D 都活着，什么也没解决。

还有一句话可以省掉大半计算。 回头看冷启动那句翻译：这一串收的是「要么只属于 $A$、 要么只属于 $B$」的元素——也就是 $A$ 与 $B$ 不共有的部分。本题里 $A=\{x\mid x>0\}$ 与 $B=\{x\mid x\leq -1\}$ 压根没有公共元素（一个全在 $0$ 右边、一个全在 $-1$ 左边）， 「不共有」就等于「全部」，于是这一串直接塌成 $A\cup B=\{x\mid x>0\ \text{或}\ x\leq -1\}$。 先花十秒看一眼两个集合交不交，比算两次补集、两次交集都快。

🕳️ 避坑

• 取补集时端点必须翻面。 $B$ 取到 $-1$，$\complement_{U}B$ 就取不到 $-1$；$A$ 取不到 $0$， $\complement_{U}A$ 就取到 $0$。这两处若照抄原来的开闭，$-1$ 会被判成不在答案里， 于是落到选项 C（$\{x\mid x>-1\}$）——C 与 D 的全部差别就是这一个点。
• $\cap$ 与 $\cup$ 别记反。 若把最后一步的并当成交去做，两段本来就没有公共元素， 结果会是空集，正好是选项 A。算完扫一眼方向就能发现不对：并集只会比 $A$、$B$ 更大， 不可能缩成空的。
• 两个「或」并起来的段，不要硬压成一个不等式。 $\{x\mid x>0\ \text{或}\ x\leq -1\}$ 在数轴上是断开的两截，中间 $(-1,\,0]$ 整段都不在里面。想把它写成一句 $x>-1$ 之类， 就是把那一整段错收进来（选项 C 正是这么来的）。
• 别被多出来的那对括号带走。 卷面上这一行印作「则（A$\left(A\cap\complement_{U}B\right)\cup\cdots$」， 开了三个括号只闭两个——那个「（A」是原书排版多印的（见本题的逐题校订）。 真正要算的就是 $\left(A\cap\complement_{U}B\right)\cup\left(B\cap\complement_{U}A\right)$。