浙江 2020 · 数学 q01

冷启动：两个集合都是一段区间

题目给的两个集合都是用描述法写的，竖线右边那句话就是入会条件：

$$P=\{x\mid 1<x<4\},\qquad Q=\{x\mid 2<x<3\}$$

「$1<x<4$」这种条件在数轴上就是一段——从 $1$ 到 $4$ 中间那一截，两个端点因为是严格不等号而取不到。$Q$ 同理，是从 $2$ 到 $3$ 的那一截。

所求的 $P\cap Q$，按定义是「既在 $P$ 里、又在 $Q$ 里」的那些 $x$。翻成人话：一个数要同时通过两道关卡——既要满足 $1<x<4$，也要满足 $2<x<3$。

关键卡点只有一个：把「两道关卡都过」这件事，变成一个能一眼读出来的东西。下面两条路给出两种变法——一种画出来看，一种直接看出两个集合谁装得下谁。

解法一：数轴上取公共段

怎么想到的。 「同时满足两个条件」在代数上要写四条不等式（$x>1$、$x<4$、$x>2$、$x<3$），四条一起解容易乱；但在数轴上，它就是两条带子重叠的那一段——重叠是眼睛最擅长判断的事。所以先把两段画出来。

① 两段各自画在数轴上。 $P$ 从 $1$ 画到 $4$，$Q$ 从 $2$ 画到 $3$，端点全部空心（取不到）。

② 取重叠。 一个数要同时在两条带子底下，就得落在两条带子的公共部分。左边这一头，$P$ 从 $1$ 起、$Q$ 从 $2$ 起，晚开始的那个说了算，所以公共部分从 $2$ 起；右边这一头，$P$ 到 $4$ 止、$Q$ 到 $3$ 止，早结束的那个说了算，所以公共部分到 $3$ 止。

$$P\cap Q=\{x\mid 2<x<3\}$$

③ 端点再核一遍。 $x=2$ 满足 $1<x<4$，却不满足 $2<x<3$（$2<2$ 不成立），所以 $2$ 进不来；$x=3$ 同理。两个端点都取不到，写成 $\{x\mid 2<x<3\}$，与选项 B 逐字相同。

这一步就是「左端取大的、右端取小的」这条通用做法：$\max\{1,2\}=2$、$\min\{4,3\}=3$。区间带端点时，端点还要额外问一句「两边都取得到吗」——只有两边都取得到，交集才取得到它。本题四个端点全是严格不等号，所以不必纠结。

解法二：先看包含关系再直接读出交集

怎么想到的。 画完图会发现一件比「求交集」更强的事：$Q$ 这一整段根本就躺在 $P$ 里面——$Q$ 的左端 $2$ 比 $P$ 的左端 $1$ 更靠右，$Q$ 的右端 $3$ 比 $P$ 的右端 $4$ 更靠左。既然如此，$Q$ 里的每一个数本来就都满足 $1<x<4$，那还有什么好交的？

① 判包含。 任取 $x\in Q$，即 $2<x<3$。由 $1<2$ 得 $x>2>1$，由 $3<4$ 得 $x<3<4$，所以 $1<x<4$，即 $x\in P$。这正是子集的定义，于是

$$Q\subseteq P$$

② 用恒等式一步到位。 一个集合含在另一个里时，交集就是小的那个：

$$Q\subseteq P \implies P\cap Q=Q=\{x\mid 2<x<3\}$$

道理是两句话：$P\cap Q\subseteq Q$ 对任何两个集合都成立；反过来 $Q$ 里每个元素既在 $Q$ 里、又（由 $Q\subseteq P$）在 $P$ 里，所以 $Q\subseteq P\cap Q$。两边互相包含，故相等。

这两条路差在哪。 解法一是通用的：两段无论怎么摆——错开、部分重叠、完全不沾——「左端取大、右端取小」都算得出正确结果（不沾时算出的左端不小于右端——擦肩而过如 $(1,2)$ 与 $(2,3)$ 算出的是 $(2,2)$，照样是空集）。解法二是认形的：它要求你先看出「一个整个含在另一个里」这件事，看出来就能跳过求交这一步，直接把答案写成其中一个集合。选择题里这种结构非常常见——出题人给的两个集合里，往往有一个就是答案本身，先扫一眼包含关系，常常比动手求交更快。

🕳️ 避坑

• 别把交集算成并集。 这道题的并集是 $P\cup Q=\{x\mid 1<x<4\}$——恰好就是选项 D，而且它长得和题面里的 $P$ 一模一样，看着特别「像个答案」。判据是方向：交集只会变小（$P\cap Q\subseteq Q$），并集只会变大。算出来的东西比 $Q$ 还宽，就一定是记反了。
• 端点开闭要跟着抄。 选项 A 的右端是 $x\leqslant 2$、C 的左端是 $3\leqslant x$，都在端点上做了手脚。交集的端点闭合与否由两边同时决定：只有两个集合都取得到那个端点，交集才取得到。
• 别把「两个条件」误读成「两段拼起来」。 「既……又……」是加严，不是叠加；两句条件放在一起，能过关的数只会更少。

对照选项 A. $\{x\mid 1<x\leqslant 2\}$、B. $\{x\mid 2<x<3\}$、C. $\{x\mid 3\leqslant x<4\}$、D. $\{x\mid 1<x<4\}$，故选 B。