5.1.2 导数的概念及其几何意义

文字转写

从几何图形上看，当横坐标间隔 $|\Delta x|$ 无限变小时，点 $P$ 无限趋近于点 $P_0$ ，于是割线$P_0P$ 无限趋近于点 $P_0$ 处的切线 $P_0T$ ，这时，割线 $P_0P$ 的斜率 $k$ 无限趋近于点 $P_0$ 处的切线 $P_0T$ 的斜率 $k_{0}$ ，因此，切线 $P_0T$ 的斜率 $k_{0} = 2$

思考

观察问题 1 中的函数 $h(t) = -4.9t^{2} + 4.8t + 11$ 的图象(图 5.1-2)，平均速度

$\bar {v} = \frac {h (1 + \Delta t) - h (1)}{(1 + \Delta t) - 1}$

的几何意义是什么？瞬时速度 $v(1)$ 呢？

练习

1. 你认为应该怎样定义抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $(x_0, x_0^2)$ 处的切线？试求抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $(-1, 1)$ 处切线的斜率.

2. 求抛物线 $f(x)=x^{2}+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程.

5.1.2 导数的概念及其几何意义

前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。

对于函数 $y = f(x)$，设自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0 + \Delta x$，相应地，函数值 $y$ 就从 $f(x_0)$ 变化到 $f(x_0 + \Delta x)$。这时，$x$ 的变化量为 $\Delta x$，$y$ 的变化量为

$\Delta y = f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0}).$

我们把比值 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，即

$\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}$

叫做函数 $y=f(x)$ 从 $x_{0}$ 到 $x_{0}+\Delta x$ 的平均变化率.

如果当 $\Delta x\to 0$ 时，平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 无限趋近于一个确定的值，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 有极限，则称 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导，并把这个确定的值叫做 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数（derivative）（也称为瞬时变化率），记作 $f^{\prime}(x_0)$ 或 $y^{\prime}|_{x = x_0}$，即

$f ^ {\prime} (x _ {0}) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}.$

由导数的定义可知，问题1中运动员在 $t = 1$ 时的瞬时速度 $v(1)$，就是函数 $h(t) = -4.9t^2 + 4.8t + 11$ 在 $t = 1$ 处的导数 $h'(1)$；问题2中抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $P_0(1, 1)$ 处的切线 $P_0T$ 的斜率 $k_0$，就是函数 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的导数 $f'(1)$。实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等。

根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线这两类问题直接促使了导数的产生.

例1 设 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f'(1)$.

解： f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{1+\Delta x}-1}{\Delta x}$$=\lim_{\Delta x\to0}\left(-\frac{1}{1+\Delta x}\right)=-1.

例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第 x h 时，原油的温度（单位：℃）为 $y=f(x)=x^{2}-7x+15$ ( $0 \leqslant x \leqslant 8$ )。计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

解：在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 $f'(2)$ 和 $f'(6)$ .

根据导数的定义，

$\begin{array}{r l} \frac {\Delta y}{\Delta x} & = \frac {f (2 + \Delta x) - f (2)}{\Delta x} \\ & = \frac {(2 + \Delta x) ^ {2} - 7 (2 + \Delta x) + 1 5 - (2 ^ {2} - 7 \times 2 + 1 5)}{\Delta x} \\ & = \frac {4 \Delta x + (\Delta x) ^ {2} - 7 \Delta x}{\Delta x} \\ & = \Delta x - 3, \end{array}$

所以

$f ^ {\prime} (2) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \to 0} (\Delta x - 3) = - 3.$

同理可得

f ^ {\prime} (6) = 5. \tag {1}

① 请同学们自己完成具体运算过程.

在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 $-3^{\circ}C/h$ 与 $5^{\circ}C/h$ 。说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 $3^{\circ}C/h$ 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 $5^{\circ}C/h$ 的速率上升。

一般地， $f^{\prime}(x_0)$ （ $0\leqslant x_0\leqslant 8$ ）反映了原油温度在时刻 $x_0$ 附近的变化情况.

例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 $t$ s时汽车的速度（单位： $\mathrm{m / s}$ ）为 $y = v(t) = -t^{2} + 6t + 60$ ，求汽车在第 $2\mathrm{s}$ 与第 $6\mathrm{s}$ 时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率。因此，在第 2 s 与第 6 s 时，汽车的瞬时加速度分别为 $v'(2)$ ， $v'(6)$ 。

解：在第 2 s 和第 6 s 时，汽车的瞬时加速度就是 $v'(2)$ 和 $v'(6)$ .

根据导数的定义，

$\begin{array}{r l} \frac {\Delta y}{\Delta t} & = \frac {v (2 + \Delta t) - v (2)}{\Delta t} \\ & = \frac {- (2 + \Delta t) ^ {2} + 6 (2 + \Delta t) + 6 0 - (- 2 ^ {2} + 6 \times 2 + 6 0)}{\Delta t} \\ & = - \Delta t + 2, \end{array}$

所以

$v ^ {\prime} (2) = \lim _ {\Delta t \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta t} = \lim _ {\Delta t \to 0} (- \Delta t + 2) = 2.$

同理可得

$v ^ {\prime} (6) = - 6.$

在第 2 s 与第 6 s 时，汽车的瞬时加速度分别是 $2 \, m/s^{2}$ 与 $-6 \, m/s^{2}$ 。说明在第 2 s 附近，汽车的速度每秒大约增加 2 m/s；在第 6 s 附近，汽车的速度每秒大约减少 6 m/s。

练习

1. 在例 2 中，计算第 3 h 与第 5 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

2. 设 $f(x)=x$ ，求 $f'(1)$ .

3. 一质点 $A$ 沿直线运动, 位移 $y$ (单位: $\mathrm{m}$) 与时间 $t$ (单位: $\mathrm{s}$) 之间的关系为 $y(t) = 2t^2 + 1$, 求质点 $A$ 在 $t = 2.7 \mathrm{~s}$ 时的瞬时速度.

4. 设函数 $f(x) = x^2 - 1$. 求:

(1) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；

(2) 函数在 x=1 处的导数.

我们知道，导数 $f'(x_0)$ 表示函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率，反映了函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 附近的变化情况。那么导数 $f'(x_0)$ 的几何意义是什么？

思考

观察函数 $y=f(x)$ 的图象（图 5.1-3），平均变化率

$\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}$

表示什么？瞬时变化率

$f ^ {\prime} (x _ {0}) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}$

表示什么？

容易发现，平均变化率

$\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}$

表示割线 $P_{0}P$ 的斜率.

如图 5.1-4，在曲线 $y = f(x)$ 上任取一点 $P(x, f(x))$ ，如果当点 $P(x, f(x))$ 沿着曲线 $y = f(x)$ 无限趋近于点 $P_{0}(x_{0}, f(x_{0}))$ 时，割线 $P_{0}P$ 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 $P_{0}T$ 称为曲线 $y = f(x)$ 在点 $P_{0}$ 处的切线（tangent line）.

此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？

● ●

利用信息技术工具，演示图5.1-4中 $P_0P$ 的动态变化效果．做一做，看一看！

与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线 $P_{0}P$ 的斜率

$k = \frac {f (x) - f (x _ {0})}{x - x _ {0}}.$

记 $\Delta x = x - x_0$ ，当点 $P$ 沿着曲线 $y = f(x)$ 无限趋近于点 $P_0$ 时，即当 $\Delta x\to 0$ 时， $k$ 无限趋近于函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数. 因此，函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 就是切线 $P_0T$ 的斜率 $k_0$，即

$k _ {0} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x} = f ^ {\prime} (x _ {0}).$

这就是导数的几何意义.

继续观察图 5.1-4，可以发现点 $P_{0}$ 处的切线 $P_{0}T$ 比任何一条割线更贴近点 $P_{0}$ 附近的曲线。进一步地，利用信息技术工具将点 $P_{0}$ 附近的曲线不断放大（图 5.1-5），可以发现点 $P_{0}$ 附近的曲线越来越接近于直线。因此，在点 $P_{0}$ 附近，曲线 $y=f(x)$ 可以用点 $P_{0}$ 处的切线 $P_{0}T$ 近似代替。 $^{①}$

。

①数学上常用简单的对象刻画复杂的对象。例如，用有理数3.1416近似代替无理数 $\pi$。这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲。

例 4 图 5.1-6 是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 $h(t) = -4.9t^{2} + 4.8t + 11$ 的图象。根据图象，请描述、比较曲线 $h(t)$ 在 $t = t_{0}$ ， $t_{1}$ ， $t_{2}$ 附近的变化情况。

. .

为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致.

解：我们用曲线 $h(t)$ 在 $t = t_0, t_1, t_2$ 处的切线斜率，刻画曲线 $h(t)$ 在上述三个时刻附近的变化情况.

（1）当 $t = t_0$ 时，曲线 $h(t)$ 在 $t = t_0$ 处的切线 $l_0$ 平行于 $t$ 轴，$h'(t_0) = 0$。这时，在 $t = t_0$ 附近曲线比较平坦，几乎没有升降。

（2）当 $t = t_{1}$ 时，曲线 $h(t)$ 在 $t = t_{1}$ 处的切线 $l_{1}$ 的斜率 $h^{\prime}(t_{1}) < 0$ ，这时，在 $t = t_{1}$ 附近曲线下降，即函数 $h(t)$ 在 $t = t_{1}$ 附近单调递减.

（3）当 $t = t_{2}$ 时，曲线 $h(t)$ 在 $t = t_{2}$ 处的切线 $l_{2}$ 的斜率 $h^{\prime}(t_{2}) < 0$ ，这时，在 $t = t_{2}$ 附近曲线下降，即函数 $h(t)$ 在 $t = t_{2}$ 附近也单调递减.

从图 5.1-6 可以看出，直线 $l_{1}$ 的倾斜程度小于直线 $l_{2}$ 的倾斜程度，这说明曲线 $h(t)$ 在 $t=t_{1}$ 附近比在 $t=t_{2}$ 附近下降得缓慢.

例 5 图 5.1-7 是人体血管中药物浓度 $c = f(t)$ （单位：mg/mL）随时间 t （单位：min）变化的函数图象．根据图象，估计 t = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 $f(t)$ 在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线 $f(t)$ 在此点处的切线的斜率.

如图 5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作 $t = 0.8$ 处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率

$k = \frac {0 . 4 8 - 0 . 9 1}{1 . 0 - 0 . 7} \approx - 1. 4,$

所以

$f ^ {\prime} (0. 8) \approx - 1. 4.$

表 5.1-3 给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.

从求函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处导数的过程可以看到，当 $x = x_0$ 时，$f'(x_0)$ 是一个唯一确定的数。这样，当 $x$ 变化时，$y = f'(x)$ 就是 $x$ 的函数，我们称它为 $y = f(x)$ 的导函数（derived function）（简称导数）。$y = f(x)$ 的导函数有时也记作 $y'$，即

$f ^ {\prime} (x) = y ^ {\prime} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x}.$

练习

1. 根据图 5.1-6，描述曲线 $h(t)$ 在 $t=t_{3}$ ， $t_{4}$ 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.

2. 函数 $f(x)$ 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）.

(A) $f'(1) > f'(2) > f'(3) > 0$ (B) $f'(1) < f'(2) < f'(3) < 0$

(C) $0 < f'(1) < f'(2) < f'(3)$ (D) $f'(1) > f'(2) > 0 > f'(3)$

3. 求曲线 $y = -2x^{2} + 1$ 在点 $(1, -1)$ 处的切线方程.

4. 吹气球时，气球的半径 $r$ （单位： $\mathrm{dm}$ ）与体积 $V$ （单位：L）之间的函数关系是 $r(V) = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$ 利用信息技术工具，画出 $0 \leqslant V \leqslant 5$ 时函数的图象，并根据其图象估计 $V = 0.6$ ，1.2L时，气球的瞬时膨胀率.

(第2题)

习题5.1

复习巩固

1. 一个物体从 $10\mathrm{m}$ 高处做自由落体运动，$t$ s 时该物体距离地面的高度（单位：$\mathrm{m}$）为 $h(t) = -4.9t^2 + 10$。求该物体在 $t = 1$ 时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况。

2. 圆的面积 $S$ （单位：$\mathrm{cm}^2$）与半径 $R$ （单位：$\mathrm{cm}$）的关系为 $S = \pi R^2$。求 $R = 5 \mathrm{~cm}$ 时面积关于半径的瞬时变化率。

3. 某质点沿直线运动，位移 $y$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = 5t^2 + 6$。求：(1) $2 \leqslant t \leqslant 3$ 这段时间内的平均速度；(2) $t = 2 \mathrm{s}$ 时的瞬时速度。

4. 已知车轮旋转的角度 $\theta$ （单位：rad）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $\theta(t) = \frac{25\pi}{8} t^2$。求车轮转动开始后第 $3.2\mathrm{s}$ 时的瞬时角速度。

5. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是（）.

6. 如图，试描述函数 $f(x)$ 在 $x = -5, -4, -2, 0, 1$ 附近的变化情况.

7. 求曲线 $y = \frac{1}{2} x^2 - 2$ 在点 $\left(1, -\frac{3}{2}\right)$ 处的切线的倾斜角.

8. 一个质量为 $m = 3 \mathrm{~kg}$ 的物体做直线运动，设位移 $y$ （单位： $\mathrm{m}$ )与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = 1 + t^2$ ，并且物体的动能 $E_{k} = \frac{1}{2} mv^{2}$ 求物体开始运动后第 $5 \mathrm{~s}$ 时的动能.

9. 根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状.

(1) 汽车在笔直的公路上匀速行驶；

(2) 汽车在笔直的公路上不断加速行驶；

(3) 汽车在笔直的公路上不断减速行驶.

10. 如图，已知函数 $f(x)$ 的图象，试画出其导函数 $f'(x)$ 图象的大致形状.

拓广探索

11. 在一次跳水运动中，t s 时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 $h(t) = -4.9t^{2} + 4.8t + 11$ 。高度 h 关于时间 t 的导数是速度 v，速度 v 关于时间 t 的导数 $v'$ 的物理意义是什么？试求 v， $v'$ 关于时间 t 的函数解析式。

12. 根据下列条件，分别画出函数 $y=f(x)$ 的图象在这点附近的大致形状： (1) $f(1)=-5,\quad f'(1)=-1;$ (2) $f(5)=10,\quad f'(5)=15;$ (3) $f(10)=20,\quad f'(10)=0.$