浙江 2019 年数学真题

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q01已知全集 $U = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{-1, 0, 1\}$ ，则 $(C_{\mathrm{U}}A) \cap B = (\quad)$
q02渐近线方程为 $x \pm y = 0$ 的双曲线的离心率是（）
q03若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l} x - 3y + 4 \geq 0 \\ 3x - y - 4 \leq 0, \\ x + y \geq 0 \end{array} \right.$ 则 $z = 3x + 2y$ 的最大值是（）
q04祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V_{\text{柱体}} = Sh$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积， $h$ 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）
q05若 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a + b \leq 4$ ”是“ $ab \leq 4$ ”的（）
q06在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^x}, y = \log_a\left(x + \frac{1}{2}\right)(a > 0$ 且 $a \neq 0)^{\text{的}}$ 图象可能是（）
q07设 $0 < a < 1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是:
q08设三棱锥 $V - ABC$ 的底面是正三角形, 侧棱长均相等, $P$ 是棱 $VA$ 上的点 (不含端点), 记直线 $PB$ 与直线 $AC$ 所成角为 $\alpha$ , 直线 $PB$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\beta$ , 二面角 $P - AC - B$ 的平面角为 $\gamma$ , 则 ( )
q09已知 $a, b \in R$ ，函数 $f(x) = \begin{cases} x, x < 0 \\ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} (a + 1)x^2 + ax, x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数 $y = f(x) - ax - b$ 恰有三个零点，则（）
q10设 $a, b \in R$ ，数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1 = a$ ， $a_{n+1} = a_n^2 + b$ ， $n \in N^*$ ，则（）
q11复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ ____.
q12已知圆 C 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，半径长是 r。若直线 $2x - y + 3 = 0$ 与圆相切于点 $A(-2, -1)$ ，则 m = ____， $l' =$ ____。
q13在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是____；系数为有理数的项的个数是____。
q14在 VABC 中， $\angle ABC = 90^{\circ}$ ，AB = 4，BC = 3，点 D 在线段 AC 上，若 $\angle BDC = 45^{\circ}$ ，则 BD = ____；
q15已知椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心， $\left|OF\right|$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是 ____.
q16已知 $a \in R$ ，函数 $f(x) = ax^3 - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $|f(t + 2) - f(t)| \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是 ____.
q17已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 $\lambda_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm1$ 时，
q18设函数 $f(x) = \sin x, x \in R$ .
q19如图，已知三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ ，平面 $A_{1}AC_{1}C \perp$ 平面 $ABC$ ， $\angle ABC = 90^{\circ}$
q20设等差数列 $\{a_{n}\}^{\text{的}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , $a_{3} = 4$ , $a_{4} = S_{3}$ , 数列 $\{b_{n}\}$ 满足: 对每 $n \in N^{*}, S_{n} + b_{n}, S_{n+1} + b_{n}, S_{n+2} + b_{n}$ 成等比数列.
q21如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2px(p>0)$ ，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记 $\triangle AFG,\triangle CQG$ 的面积为 $S_{1},S_{2}$ .
q22已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f(x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0$ .