浙江 2008 年数学真题

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q01已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{1 + i}$ 是春虚数，则 $a =$ （A）1 （B）-1 （C） $\sqrt{2}$ （D）- $\sqrt{2}$
q02已知 U=R, $A=\{x \mid x > 0\}, B=\{x \mid x \leq -1\}$ , 则 $(A(A \cap C_{u}B) \cup (B \cap C_{u}A) =$
q03已知 $a, b$ 都是实数, 那么 “ $a^2 > b^2$ ” 是 “ $a > b$ ” 的
q04在 $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)$ 的展开式中, 含 $x^4$ 的项的系数是 (A) -15 (B) 85 (C) -120 (D) 274
q05在同一平面直角坐标系中, 函数 $y = \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2} \right) (x \in[0, 2\pi])$ 的图象和直线 $y = \frac{1}{2}$ 的交点个数是
q06已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列， $a_{2}=2,\quad a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则 $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\cdots+a_{n}a_{n+1}=$
q07若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2, 则双曲线的离心率是
q08若 $\cos a + 2\sin a = -\sqrt{5}$ ，则 $\tan a =$
q09已知 $a, b$ 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 $c$ 满足 $(a - c) \cdot (b - c) = 0$ , 则 $\left|c\right|$ 的最大值是
q10如图，AB是平面 $a$ 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 $a$ 内运动，使得 $\triangle \mathrm{ABP}$ 的面积为定值，则动点P的轨迹是
q11已知 $a > 0$ ，若平面内三点 A（1，-a），B（2， $a^2$ ），C（3， $a^3$ ）共线，则 $a =$ ____。
q12已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{9} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A、B两点若 $\left|F_2A\right| + \left|F_2B\right| = 12$ ，则 $\left|AB\right| =$ ____。
q13在 $\triangle ABC$ 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ , 若 $\left(\sqrt{3} b - c\right) \cos A = a \cos C$ , 则 $\cos A =$ ____。
q14如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA ⊥ 平面 ABC，AB ⊥ BC，DA = AB = BC = $\sqrt{3}$ ，则球 O 点体积等于 ____。
q15已知 t 为常数，函数 $y=\left|x^{2}-2x-t\right|$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值为 2，则 t= ____。
q16用 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 ____（用数字作答）。
q17若 $a \geq 0, b \geq 0$ , 且当 $\left\{\begin{array}{l} x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ x + y \leq 1 \end{array} \right.$ 时, 恒有 $ax + by \leq 1$ , 则以 $a, b$ 为坐标点 $\mathrm{P}(a, b)$ 所形成的平面区域的面积等于 ____。
q18(本题14分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互
q19一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。（I）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$ 。（II）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$ 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
q20已知曲线C是到点 $\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y = -\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹。 $\ell$ 是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在 $\ell$ 上）的动点；A、B在 $\ell$ 上， $MA\perp \ell ,MB\perp x$ 轴（如图）。
q21已知a是实数，函数 $\int(x)=\sqrt{x}(x-a)$ 。
q22已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{n} \geq 0$ ， $a_{1} = 0$ ， $a_{n+1}^{2} + a_{n+1} - 1 = a_{n}^{2} (n \in N^{\bullet})$ 。记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$ 。 $T_{n} = \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{(1 + a_{1})(1 + a_{2})} + \cdots + \frac{1}{(1 + a_{1})(1 + a_{2}) \cdots (1 + a_{n})}$ 。求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，