5.3 导数在研究函数中的应用

前两节把导数造了出来：它是差商的极限，读作瞬时变化率，也读作切线的斜率。 造出来是为了用。这一节问的是第一个”怎么用”：能不能由导数的正负，判断函数的升降。

课本的顺序是”跳水问题 → 观察四张图 → 给出结论 → 例 1 → 例 2 → 例 3 → 三步流程”。 这里换一个顺序：先说清这条结论把什么换成了什么（这决定了它为什么值得学）， 再把用错它的三种方式摆在最前面（那是丢分的全部来源），最后才是流程与题型。

一、它把”验无穷多对点”换成了”看一个式子的符号”

必修第一册给单调递增下的定义是：

对区间上任意两点 $x_1<x_2$，都有 $f(x_1)<f(x_2)$。

这是一句关于无穷多对点的断言。要正面验它，只能取任意的 $x_1,x_2$ 去比 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小——作差、变形、判号，每换一个函数就得重来一遍。课本第 93 页那句”如果不用导数的方法， 直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？“问的就是这件事： $f(x)=\frac13x^3-\frac12x^2-2x+1$ 的两点作差，展开是一个三次式的因式分解，麻烦得没有道理。

这一节的结论把它换成了一件逐点的事：

在某个区间 $(a,b)$ 内，如果 $f'(x)>0$，那么 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增； 在某个区间 $(a,b)$ 内，如果 $f'(x)<0$，那么 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。

——只要逐点地看 $f'$ 的符号，无穷多对点的比较就不必做了。这是导数的第一笔红利。

为什么会这样，图上一眼看得见。 $f'(x_0)$ 是图象在 $\left(x_0,f(x_0)\right)$ 处切线的斜率 （课本图 5.3-3）。斜率为正，切线”左下右上”，曲线在那一点附近是往上走的；斜率为负， 切线”左上右下”，曲线往下走。跳水那个例子是同一件事的物理版：重心上升的那段时间里速度 $v(t)=h'(t)>0$，下落的那段里 $v(t)<0$。“导数”、“切线斜率”、“上升下降”是同一件事的三种说法， 这一节要做的就是让这三种说法在你脑子里自动互换。

二、三条边界：这条结论用错的全部方式

结论本身只有两行，考场上丢的分几乎全在下面三处。先看边界，再看流程。

边界一：箭头是单向的

结论说的是「$f'>0\Rightarrow$ 递增」，反过来不成立。 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，可是 $f'(0)=3\times 0^2=0$，并不恒正。

所以由「$f$ 在区间上递增」这个已知条件，只能推出

而不是 $f'(x)>0$。这一条在含参题里直接决定答案对不对：把 $\ge$ 写成 $>$， 求出来的参数范围会少掉一个端点。这是本节最常见的失分点，而且错得毫无感觉—— 因为解题过程从头到尾看着都对。

边界二：孤立的零点不打断单调

$f'$ 在有限个点上等于 $0$、其余处为正，函数在整段上仍然严格递增。 $f(x)=x^3$ 就是现成的例子：$f'$ 只在 $x=0$ 这一个点为 $0$，$f$ 在整个 $\mathbf{R}$ 上递增， 不必把 $\mathbf{R}$ 拆成 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 两段。

判单调时真正要看的是 $f'$ 变不变号，不是 $f'$ 等不等于零。

边界三：不能跨区间拼

课本例 1 第 (3) 问：$f(x)=1-\frac1x$ 的导数 $f'(x)=\frac{1}{x^2}>0$， 课本的结论写的是”在区间 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上单调递增”——用的是”和”，不是”并”。

这不是措辞讲究，是因为写成 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 会得到一句假话： 取 $x_1=-1<x_2=1$，$f(x_1)=1-\frac{1}{-1}=2$，$f(x_2)=1-\frac11=0$， 左边的函数值反而更大。两段之间断开了，结论只在每一段内部成立。

写单调区间时用”和”或者干脆分成两句写，永远不要用并集符号。

附带一问：$f'$ 恒为零意味着什么

课本第 91 页留了个问题：“如果在某个区间上恒有 $f'(x)=0$，那么函数 $f(x)$ 有什么特性？”

答案是：$f(x)$ 在这个区间上是常函数。既不递增也不递减，图象是一条水平线段。 把它和上面两条摆在一起，$f'$ 的符号与图象形状的对应就齐了：

三、固定流程：定义域 → 零点 → 列表

课本第 93 页把方法收成了三步，照抄即可，但每一步都有个容易漏的动作：

1. 确定函数的定义域。 漏了这一步，后面所有区间都可能写错—— $f(x)=1-\frac1x$ 的 $x=0$、含 $\ln x$ 的 $x>0$，都是定义域先把某些区间划掉，才轮到 $f'$ 说话。
2. 求出 $f'(x)$ 的零点。 求导之后先因式分解：$f'(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ 一眼看出零点是 $-1$ 与 $2$；不分解就得解一次方程，还容易漏根。
3. 用这些零点把定义域切成若干区间，列表判号。 表格三行：区间、$f'$ 的正负、$f$ 的单调性。 每个区间里取一个测试点代进 $f'$ 就能定号（如在 $(-1,2)$ 内取 $x=0$， 得 $f'(0)=(0+1)(0-2)=-2<0$），不必对整个区间做不等式。

按这三步做课本例 3：$f'(x)=(x+1)(x-2)$，零点 $-1$、$2$ 把 $\mathbf{R}$ 切成三段， 判号得 $f$ 在 $(-\infty,-1)$ 与 $(2,+\infty)$ 上递增、在 $(-1,2)$ 内递减。

零点要连同定义域的断点一起用来切区间。 课本三步里说的是”用 $f'(x)$ 的零点划分”， 那是因为例 3 的定义域是整个 $\mathbf{R}$。定义域本身有断点时（如 $x=0$ 处无定义）， 断点也是分界线，得一并切进去——例 1 第 (3) 问的两段就是这么来的，那里 $f'$ 根本没有零点。

四、这一节的题只有三类

第一类：判断整体的单调性（例 1、练习第 1 题）

求导之后符号能一眼定下来的那种。典型手法是配方或提因子，把 $f'$ 写成”显然为正”或”显然为负”的形状：

这类题的全部工作量在求导之后的那一步变形上。

第二类：求单调区间（例 3、练习第 2 题）

$f'$ 的符号会变，于是必须走第三节那套三步流程。含参数时，参数会影响 $f'$ 的零点位置或开口方向，就按参数分档讨论——分档的依据永远是”$f'$ 的零点把定义域切成了几段”。

第三类：$f$ 与 $f'$ 的图象互推（例 2、练习第 3 题）

这一类不算数，全靠”翻译”。两张图之间的对应关系只有下面这张表：

课本管 $f'(x)=0$ 的那些点叫稳定点（例 2）。注意它未必是极值点： $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'=0$，两侧却都是递增的，图象只是”平了一下”就继续往上走。 极值要等到 §5.3.2 才正式定义，这里只需记住”稳定点 $\ne$ 极值点”。

读图题最要命的一句话是”这是谁的图”。 题干给的是 $f$ 的图象还是 $f'$ 的图象， 决定了整道题的方向全反。动笔前先在图旁边写一个字确认——本节练习第 3 题给的是 $f$，要画的是 $f'$； 例 2 恰好相反，给的是 $f'$ 的信息，要画的是 $f$。这两道题并排放在一起，就是为了逼你分清方向。

五、易错清单

按失分频率排，不按知识点排：

1. 由”递增”推出 $f'>0$（应为 $f'\ge0$）。含参题的边界值就这么丢的。见边界一。
2. 单调区间写成并集。$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 是一句假话。见边界三。
3. 求导前不看定义域。$\ln x$、$\frac1x$、$\sqrt{x}$ 出现时，定义域先划掉一半的候选区间。
4. 把 $f'$ 的图象当成 $f$ 的图象（或反过来）。见第三类题的提示。
5. 看见 $f'(x_0)=0$ 就说 $x_0$ 是极值点。$x^3$ 在原点是反例；本节还没有极值的定义。
6. 求导算错。这一节的错误里有相当一部分根本不在单调性上，而在 §5.2 的求导法则上—— $(x\cos x)'$ 要用积的法则，写成 $-x\sin x$ 就少了一项。判单调之前先把 $f'$ 验一遍。

六、这一节在真题里长什么样

页面下方那份真题清单是派生的：站上哪几篇攻略把本节的结论声明成依据，那里就列几道， 随着攻略增加会变长。就目前而言，它落在由解析式认图象这一类上——

• 2020 年浙江卷第 4 题（$y=x\cos x+\sin x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的图象）。 它的第一条路根本用不到导数：判出奇函数、再算一个端点的符号就够了。 第二条路才是本节的：求出 $f'(x)=2\cos x-x\sin x$，在 $\left[\frac\pi2,\pi\right]$ 上判出恒负、 在 $\left(0,\frac\pi2\right)$ 上靠 $f''<0$ 断定 $f'$ 恰有一个零点，于是右半边”一个包、一路降到 $-\pi$”， 整条曲线就画出来了。这道题值得对照着读两条路：选择题里本节的方法是”备胎”， 但换成”画出图象并写出单调区间”的解答题，它就是唯一能用的那条。

顺带一提第二条路里那个动作——用 $f''$ 的符号断定 $f'$ 单调，从而 $f'$ 的零点唯一。 它没有超出本节：把本节的结论用在 $f'$ 身上而已（$f'$ 也是一个函数，它的导数是 $f''$）。 需要”恰好一个零点”而不只是”至少一个”时，这是标准做法。

这一节（§5.3.1 函数的单调性）的页里只有一批题：第 92 页「练习」3 道，本份详解三道全收。 节末的「习题 5.3」印在第 102 页上，那一页属于 §5.3.2，它的详解归那一节。

本站解答没有官方答案可比（人教A版学生用书不含答案），页面上那句声明说的就是这件事； 所以每道题都过了一次独立 verifier 的复核。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

三道题按本节的三步流程做，每道都从定义域起手：

第 1 步，确定定义域；第 2 步，求 $f'(x)$ 并找它的零点；第 3 步，用零点（连同定义域的断点） 把定义域切成若干区间，逐段判 $f'$ 的正负，读出单调性。

练习（第 92 页）第 1 题

1. 判断下列函数的单调性：

(1) $f(x)=x^{2}-2x+4;$

(2) $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x.$

(1) 函数 $f(x)=x^{2}-2x+4$ 是多项式函数，定义域为 $\mathbf{R}$。求导：

令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$，它把 $\mathbf{R}$ 切成两段，逐段取一个测试点判号：

所以 $f(x)=x^{2}-2x+4$ 在区间 $(-\infty,\ 1)$ 上单调递减，在区间 $(1,\ +\infty)$ 上单调递增。

自检。 配方得 $f(x)=(x-1)^{2}+3$，这是开口向上、对称轴为 $x=1$ 的抛物线， 必修第一册的结论正是”对称轴左侧递减、右侧递增”，与上面一致。

(2) 函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$ 的定义域为 $\mathbf{R}$（指数函数处处有定义）。求导：

令 $f'(x)=0$，即 $\mathrm{e}^{x}=1$，解得 $x=0$。由指数函数 $y=\mathrm{e}^{x}$ 单调递增且 $\mathrm{e}^{0}=1$ 知：

• 当 $x<0$ 时 $\mathrm{e}^{x}<1$，故 $f'(x)<0$；
• 当 $x>0$ 时 $\mathrm{e}^{x}>1$，故 $f'(x)>0$。

所以 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$ 在区间 $(-\infty,\ 0)$ 上单调递减，在区间 $(0,\ +\infty)$ 上单调递增。

自检。 由上述单调性，$f$ 在 $x=0$ 处取到最小值 $f(0)=\mathrm{e}^{0}-0=1$， 于是 $\mathrm{e}^{x}-x\ge 1$，即 $\mathrm{e}^{x}\ge x+1$ 对一切实数成立——这正是常见的那条不等式，相符。

这道题的动作：求导之后不急着解不等式，先把 $f'$ 化成”符号一眼可判”的形状—— 第 (1) 问提出因子写成 $2(x-1)$，第 (2) 问把 $\mathrm{e}^{x}-1$ 的正负交给指数函数的单调性。

练习（第 92 页）第 2 题

2. 利用导数讨论二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的单调区间.

先把前提写清楚。 题目说的是二次函数，按定义二次项系数 $a\neq 0$（若 $a=0$， $f(x)=bx+c$ 是一次函数或常函数，不在讨论范围内）。定义域为 $\mathbf{R}$。

求导：

这是一个一次函数（因为 $2a\neq 0$），令 $f'(x)=0$ 解得唯一零点

它把 $\mathbf{R}$ 切成两段。$f'$ 在这两段上的正负由一次项系数 $2a$ 的符号决定，故分两档讨论。

第一档：$a>0$。 此时 $f'(x)=2ax+b$ 随 $x$ 递增，且在 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 处为零，于是

• 当 $x<-\dfrac{b}{2a}$ 时 $f'(x)<0$；
• 当 $x>-\dfrac{b}{2a}$ 时 $f'(x)>0$。

所以 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(-\infty,\ -\dfrac{b}{2a}\right)$， 单调递增区间是 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ +\infty\right)$。

第二档：$a<0$。 此时 $f'(x)=2ax+b$ 随 $x$ 递减，于是

• 当 $x<-\dfrac{b}{2a}$ 时 $f'(x)>0$；
• 当 $x>-\dfrac{b}{2a}$ 时 $f'(x)<0$。

所以 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,\ -\dfrac{b}{2a}\right)$， 单调递减区间是 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ +\infty\right)$。

结论合起来一句话：二次函数的两个单调区间总以 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 为分界； $a>0$ 时”先减后增”，$a<0$ 时”先增后减”。

自检。 配方得

对称轴正是 $x=-\dfrac{b}{2a}$，开口方向由 $a$ 的正负决定——与求导得到的结论完全一致。 另外注意 $c$ 在 $f'$ 里消失了：常数项只把图象上下平移，不改变升降，这也符合直觉。

这道题的动作：含参数时，分档的依据是”$f'$ 的零点把定义域切成了几段、每段上 $f'$ 是正是负”。 这里 $f'$ 恒有一个零点、切成两段，唯一需要讨论的是 $2a$ 的正负；不必对 $b$、$c$ 分类。

练习（第 92 页）第 3 题

3. 函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，试画出函数 $y = f'(x)$ 在区间（0，b）内图象的大致形状.

先认清方向：给的是 $f$ 的图象，要画的是 $f'$ 的图象。 这类题不算数，全靠逐段”翻译”。

① 从图上读出 $f$ 的形状。 在区间 $(0,\ b)$ 内，图象分成两段：

• 在 $(0,\ a)$ 上，图象是一条水平的线段（高度不变）；
• 在 $(a,\ b)$ 上，图象下降，而且越靠近 $b$ 降得越陡——在 $b$ 附近曲线几乎竖直。 两段在 $x=a$ 处光滑衔接（图上没有折角，曲线是从水平慢慢弯下去的）。

② 逐段翻译成 $f'$ 的取值。

③ 画出来的大致形状。 $y=f'(x)$ 在 $(0,\ b)$ 内是这样一条曲线：

• 在 $(0,\ a]$ 上与 $x$ 轴重合（取值恒为 $0$）；
• 从点 $(a,\ 0)$ 起离开 $x$ 轴向下，整个 $(a,\ b)$ 上都在 $x$ 轴下方；
• 在 $(a,\ b)$ 上单调递减，而且越靠近 $b$ 下降得越快，当 $x\to b^{-}$ 时趋于 $-\infty$（图象向下无限延伸）。

$b$ 本身不必画：题目要的是开区间 $(0,\ b)$ 内的形状，而且曲线在 $b$ 处切线竖直、导数不存在。

自检：把画出的 $f'$ 反过来读一遍。 $f'$ 在 $(0,\ a)$ 上为 $0$ $\Rightarrow$ $f$ 在那一段是常函数（水平）， 与原图相符；$f'$ 在 $(a,\ b)$ 上为负 $\Rightarrow$ $f$ 在那一段递减，相符； $f'$ 越来越小（负得越来越多）$\Rightarrow$ $f$ 的切线越来越陡，也与原图相符。反读一遍能回到原图，说明翻译没有错位。

这道题的动作：把”平 / 降 / 越来越陡”三个词各自换成 $f'$ 的”等于零 / 小于零 / 越来越小”。 读图题的全部难点在别把两张图搞反——本题给 $f$ 画 $f'$，而课本例 2 恰好相反（给 $f'$ 的信息画 $f$）， 两道题并排放在一起就是为了逼你分清方向。