6.3 二项式定理

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 是初中就背下来的。这一节要回答的是：把指数换成任意正整数 $n$， $(a+b)^n$ 展开之后长什么样？答案叫做二项式定理，而它的证明不用数学归纳法、不用求导—— 用上一节刚学的组合数就够了。这一点值得先说破：二项式定理不是一条新公式，它是”从 $n$ 个括号里 挑 $b$“这件计数的事换了个写法。

本节只有两页（第 34—35 页），内容是定理本身、通项，以及两个例题。二项式系数的性质（对称性、 增减性、各项系数和）在下一节 §6.3.2，这里只把最容易混的那一对概念——二项式系数与某一项的 系数——先分清楚。

一、先看它为什么成立：每一项都是”挑出来的”

课本从 $(a+b)^2$ 开始。按多项式乘法法则

$$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2 .$$

关键不在结果，在中间那一行：展开式的每一项，都是”从第 1 个 $(a+b)$ 里挑一个字母、 从第 2 个 $(a+b)$ 里挑一个字母，再乘起来”。每个括号有 2 种挑法，由分步乘法计数原理， 合并同类项之前一共 $2^2 = 4$ 项。

推广到 $n$ 个括号：$(a+b)^n$ 是 $n$ 个 $(a+b)$ 相乘，每个括号挑 $a$ 或挑 $b$， 合并同类项之前共 $2^n$ 项，而且每一项都形如 $a^{n-k}b^k$（挑了 $k$ 次 $b$，其余 $n-k$ 次挑 $a$）。

于是问题变成：形如 $a^{n-k}b^k$ 的项有多少个？

一句话：挑哪 $k$ 个括号出 $b$，这一项就定了。 $b$ 的位置一旦选定，剩下的括号只能出 $a$， 不需要再选。所以 $a^{n-k}b^k$ 出现的次数，等于”从 $n$ 个括号里取 $k$ 个”的组合数 $\mathrm{C}_n^k$。 合并同类项，得到

$$(a+b)^n = \mathrm{C}_n^0 a^n + \mathrm{C}_n^1 a^{n-1}b^1 + \cdots + \mathrm{C}_n^k a^{n-k}b^k + \cdots + \mathrm{C}_n^n b^n, \qquad n \in \mathbf{N}^* .$$

这就是二项式定理。右边叫做 $(a+b)^n$ 的二项展开式，其中各项的系数 $\mathrm{C}_n^k$（$k = 0, 1, 2, \cdots, n$）叫做二项式系数。

拿 $n = 2$ 回代核一遍：

$\mathrm{C}_2^0 a^2 + \mathrm{C}_2^1 ab + \mathrm{C}_2^2 b^2 = a^2 + 2ab + b^2,$

与初中那条公式一致。$n = 3$ 给 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，也对得上。

二、通项：整节最常用的那一行

展开式里那个一般项 $\mathrm{C}_n^k a^{n-k}b^k$ 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 $k+1$ 项， 记作 $T_{k+1}$：

$T_{k+1} = \mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k .$

高考里九成的二项式题不需要把整个展开式写出来，只需要这一行加一次解方程：题目问哪一项， 就把那一项的条件翻译成”$k$ 等于几”，代进通项算出来。

下标要盯住：$T_{k+1}$ 的下标比 $k$ 大 1。问”第 4 项”就是 $k+1 = 4$、即 $k = 3$， 而不是 $k = 4$。这是本节最高频的一处错。

在定理里令 $a = 1$、$b = x$，得到常用的一个特例：

$$(1+x)^n = \mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 x + \mathrm{C}_n^2 x^2 + \cdots + \mathrm{C}_n^k x^k + \cdots + \mathrm{C}_n^n x^n .$$

它的用处是赋值：想求”各项系数之和”就令 $x = 1$，想求”奇偶位置系数的差”就令 $x = -1$。 这条路在下一节会用得更多，但 2022 年浙江卷第 12 题的第二空就是它（见第五段）。

三、二项式系数 ≠ 那一项的系数

这是本节唯一一处概念上的坑，课本在例 2 后面特意点了一句，这里展开说。

对 $(1+2x)^7$，第 4 项是

$T_{3+1} = \mathrm{C}_7^3 \times 1^{7-3} \times (2x)^3 = 35 \times 8 x^3 = 280 x^3 .$

于是：

• 第 4 项的二项式系数是 $\mathrm{C}_7^3 = 35$——它只由 $n$ 与 $k$ 决定，与 $a$、$b$ 是什么无关；
• 第 4 项的系数是 $280$——它是二项式系数乘上 $a$、$b$ 里那些常数因子之后的结果。

判据：题目问”二项式系数”，答的一定是一个 $\mathrm{C}_n^k$；问”系数”，就要把 $a$、$b$ 中的 数字、负号、根号一并算进去。两者只有在 $a$、$b$ 都是纯字母（如 $(a+b)^n$、$(1+x)^n$）时才碰巧相等。

通项怎么用：两道例题的做法

例 1（$\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式） 的关键动作是先把 $\frac{1}{x}$ 写成 $x^{-1}$， 让两项都是 $x$ 的幂，指数才能直接相加：

$$T_{k+1} = \mathrm{C}_6^k x^{6-k}\left(x^{-1}\right)^{k} = \mathrm{C}_6^k x^{6-2k}, \qquad k = 0, 1, \cdots, 6 .$$

$k$ 从 $0$ 取到 $6$，指数 $6 - 2k$ 依次是 $6, 4, 2, 0, -2, -4, -6$，系数依次是 $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$，于是

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6} = x^{6} + 6x^{4} + 15x^{2} + 20 + 15x^{-2} + 6x^{-4} + x^{-6} .$$

例 2（2）求 $\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 展开式中 $x^2$ 的系数 是同一个套路 再加一步”解出 $k$“：把 $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$、$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ 代入，

$$T_{k+1} = \mathrm{C}_6^k \left(2x^{\frac12}\right)^{6-k}\left(-x^{-\frac12}\right)^{k} = \mathrm{C}_6^k \, 2^{6-k}(-1)^k x^{\frac{6-k}{2}-\frac{k}{2}} = \mathrm{C}_6^k \, 2^{6-k}(-1)^k x^{3-k} .$$

要 $x^2$ 就令 $3 - k = 2$，得 $k = 1$（在 $0 \leqslant k \leqslant 6$ 内，合法），代回得系数

$\mathrm{C}_6^1 \cdot 2^{5} \cdot (-1)^1 = 6 \times 32 \times (-1) = -192 .$

负号别丢：$b = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ 里的负号要整个带进 $b^k$，写成 $(-1)^k$。 把 $b$ 记成 $\frac{1}{\sqrt{x}}$、最后再”补一个负号”，$k$ 是偶数时就补错了。

四、写通项的三步法（照这个顺序做，基本不会错）

1. 把两项都化成同一个字母的幂（根号写成分数指数、分式写成负指数、常数留在系数里）。
2. 写出通项 $T_{k+1} = \mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k$，并把指数合并成一个关于 $k$ 的一次式。
3. 由题目条件解出 $k$，先验 $k$ 是不是 $0$ 到 $n$ 之间的整数，再代回求值。

第 3 步里的”先验”不是形式：解出 $k = \frac{7}{2}$ 或 $k = -1$ 时，结论是展开式里没有这一项、所求系数为 $0$，而不是硬算下去。

番外：两个括号里是不同的字母时，先看能不能让它们相等。 像 $(1+x)^{6}(1+y)^{4}$ 这样两个括号各带一个字母，$x$ 只能从前一个括号来、$y$ 只能从后一个来， 两个括号各选各的、互不牵扯，所以 $x^{m}y^{n}$ 的系数是

$$f(m,n) = \mathrm{C}_6^m \cdot \mathrm{C}_4^n$$

——是乘积，不是和。这时通项的三步法不必登场，因为往往没人问某一项，而是问一整层的和。 若题目要的正是某个固定的 $m+n=k$ 之下全部 $f(m,n)$ 的和，就把 $y$ 也换成 $x$： 每一项从 $f(m,n)x^{m}y^{n}$ 变成 $f(m,n)x^{\,m+n}$，那一整层自动并到同一次幂底下，于是

$$\sum_{m+n=k}f(m,n) =\bigl[(1+x)^{6}(1+x)^{4}\bigr]\ \text{里}\ x^{k}\ \text{的系数} =\mathrm{C}_{10}^{\,k} .$$

这一步的前提是那一层必须凑齐。 题目给的项少一个，合并出来的系数就多算了那一项； 混进一个 $m+n$ 不等于 $k$ 的项，它会落到别的次幂里去、根本合不进来。 所以动手合并之前先数一遍：$m$ 从最小到最大是不是一个不落。2014 年浙江卷第 5 题考的就是这个形态 （见第六段）。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 第 $r$ 项与 $k$ 差 1。 通项是 $T_{k+1}$；求第 4 项要令 $k = 3$。
2. 把二项式系数当成项的系数。 见第三段的判据。
3. 负号、系数没整体代入。 $(a - b)^n$ 要看成 $\bigl(a + (-b)\bigr)^n$； $(2x)^3$ 是 $8x^3$ 不是 $2x^3$。
4. $a$ 与 $b$ 的位置对调。 $T_{k+1} = \mathrm{C}_n^k a^{n-k}b^k$ 里，指数 $k$ 跟着后一项 $b$ 走。写成 $\mathrm{C}_n^k a^k b^{n-k}$ 在 $a$、$b$ 不对称时就全错了。
5. 忘了验 $k$ 的范围。 解出的 $k$ 必须是 $0 \leqslant k \leqslant n$ 的整数。
6. 多项式相乘时只展开了一半。 像 $(x+2)(x-1)^4$ 这种，要把前面那个因式的每一项都与后面展开式 配一次，漏一次就少一部分（下一段那道真题正是栽在这里）。
7. 两个字母的括号相乘时，把 $f(m,n)$ 写成了和。 $(1+x)^{6}(1+y)^{4}$ 里 $x^{m}y^{n}$ 的系数是 $\mathrm{C}_6^m \cdot \mathrm{C}_4^n$——两个括号各选各的，要相乘。 写成 $\mathrm{C}_6^m + \mathrm{C}_4^n$ 是把「分步」当成了「分类」。

六、这一节考过的真题（怎么用它）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期派生出来的完整清单。这里挑两道讲：一道把本节的两件事 一次考完，一道专门考”通项里有两个指数”。

2019 年浙江卷第 13 题：$(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是____；系数为有理数的项的 个数是____。

这道题只用第二段那一行通项，但它把通项里的两个指数分开考：

$$T_{r+1} = \mathrm{C}_9^r \underbrace{(\sqrt{2})^{\,9-r}}_{\text{管系数有不有理}}\; \underbrace{x^{\,r}}_{\text{管是不是常数项}}$$

• 第一空盯 $x$ 的次数：令 $r = 0$，得 $T_1 = (\sqrt{2})^{9} = 2^{4}\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$。
• 第二空盯根号的次数：系数 $\mathrm{C}_9^r(\sqrt{2})^{9-r}$ 里 $\mathrm{C}_9^r$ 恒为正整数， 所以有不有理全看 $9-r$ 的奇偶——偶则 $(\sqrt{2})^{9-r}$ 是整数，奇则留着一个 $\sqrt{2}$。 $9-r$ 为偶即 $r$ 为奇，$r = 1,3,5,7,9$，共 5 项。

值得单独记住的是两个答案互相”打脸”：常数项的系数 $16\sqrt{2}$ 偏偏是无理数，它不在第二空 那 5 项里。第三段说”二项式系数 ≠ 那一项的系数”，这道题再加一句： 是常数项与系数有理也是两回事，各由一个指数决定，别用同一个判据答两个空。

另外提醒一句：不要把”$r$ 取奇数”当结论背下来。这里 $n = 9$ 是奇数才轮到 $r$ 取奇数； $n$ 为偶数时（如 $(\sqrt{2}+x)^{8}$），有理项落在 $r$ 为偶数处。每题都从 $n-r$ 的奇偶重推一遍。

2022 年浙江卷第 12 题：已知 $(x+2)(x-1)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5$， 求 $a_2$ 与 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$。

• 第一空考的是通项 + 配项。$x^2$ 项有两个来源：$x$ 乘 $(x-1)^4$ 里的 $x^1$ 项， 以及 $2$ 乘 $(x-1)^4$ 里的 $x^2$ 项。少配一个就错。这正是易错清单第 6 条。
• 第二空考的是赋值。令 $x = 0$ 得 $a_0 = 2$；令 $x = 1$ 得左边为 $0$，即 $a_0+a_1+\cdots+a_5 = 0$，两式相减得 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = -2$。整道题不需要把展开式写出来。

读的顺序建议是：先照第四段的三步法把 $(x-1)^4$ 的通项写熟，再做这道题的第一空； 第二空单独练”赋值”这一招——它在下一节 §6.3.2 会被反复用到。

2014 年浙江卷第 5 题：在 $(1+x)^{6}(1+y)^{4}$ 的展开式中，记 $x^{m}y^{n}$ 项的系数为 $f(m,n)$， 求 $f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)$。

这道题是第四段那个「番外」的原样考法，两步就完：

1. 认出 $f(m,n)=\mathrm{C}_6^m\mathrm{C}_4^n$（乘积）；
2. 数一眼那四项是不是凑齐了 $m+n=3$ 的一整层——$m$ 取 $0,1,2,3$，一个不落， 于是令 $x=y$ 合并成 $(1+x)^{10}$，取 $x^{3}$ 的系数 $\mathrm{C}_{10}^{3}=120$。

四个选项把两种错法都摆了出来：$45=\mathrm{C}_{10}^{2}$ 与 $210=\mathrm{C}_{10}^{4}$ 一左一右夹着正解（上标数错一位，多半是把「取 $3$ 个」念成了「第 $3$ 项」，正是易错清单第 1 条）， $60$ 则是 $f(2,1)$ 一项——只算了四项里最大的那个就交卷。 算完 $\mathrm{C}_{10}^{3}$ 之后回头念一遍「我要 $x$ 的三次方，所以取 $3$ 个」，比重算一遍值钱。

顺带一提：标准答案把它写成 $\mathrm{C}_{10}^{7}=120$，那是用了 §6.2.4 的对称性 $\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{\,n-m}$，与 $\mathrm{C}_{10}^{3}$ 是同一个数； 看见上标是 $7$ 不必怀疑印错，但自己写的时候只用一种记法。

本节的练习题在哪：6.3.1 后面那五道”练习”（写出 $(p+q)^5$ 的展开式、求 $(2a+3b)^6$ 的第 3 项、 写出 $\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2\sqrt[3]{x}}\right)^n$ 的第 $r+1$ 项、$(x-1)^{10}$ 第 6 项的系数、 $(x-1)(x-2)\cdots(x-5)$ 里 $x^4$ 的系数）印在第 36 页，而第 36 页归下一节 §6.3.2 那一份， 所以它们的详解在 §6.3.2 的那份「习题详解」 里，不在本节。那五道正是第四段三步法的最短练习， 建议读完本节就去做。