2.2 基本不等式

这一节只有一个不等式：

$\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2} \qquad (a>0,\ b>0),$

当且仅当 $a = b$ 时取等号。它叫基本不等式，$\frac{a+b}{2}$ 是两个正数的算术平均数， $\sqrt{ab}$ 是它们的几何平均数——一句话：两个正数的算术平均数不小于几何平均数。

可这一节的难点从来不是记住它，而是用它求最值时的三道关卡：正、定、等。 所以下面的讲法与课本不同：课本先证不等式、再讲应用；这里先把不等式与它的”孪生兄弟”摆清楚， 然后把”一正二定三相等”当成一套操作流程反复用，最后收集配凑的几种常见形状。

一、两个不等式，一个来源

来源是完全平方非负：对任意实数 $t$ 都有 $t^2 \geqslant 0$。由此立刻得到第一个不等式——

$a^2 + b^2 \geqslant 2ab \qquad (a, b \in \mathbf{R}),$

当且仅当 $a = b$ 时取等（因为 $a^2+b^2-2ab = (a-b)^2 \geqslant 0$）。 注意它对全体实数成立，不要求正。

把 $a$、$b$ 换成 $\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$（这一步要求 $a>0$、$b>0$，根号才有意义），就得到

$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}, \qquad \text{即} \qquad \sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}.$

两个不等式的差别只在一处，却是考试里最常被忽略的一处：

还有一个由前者直接得到、也常单独用的形式：把 $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ 两边加 $2ab$ 再除以 $4$，得

$ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \qquad (a, b \in \mathbf{R}),$

它对全体实数成立（这一条是第 53 页练习第 1 题），在”和为定值求积的最大值”时最顺手。

几何解释也值得记一次。 在圆里取直径 $AB$，点 $C$ 把它分成 $AC = a$、$CB = b$， 过 $C$ 作 $AB$ 的垂线交圆于 $D$。由射影关系可得 $CD = \sqrt{ab}$，而圆的半径是 $\frac{a+b}{2}$， 半弦长不超过半径，于是 $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$；点 $C$ 与圆心重合（即 $a=b$）时两者相等。 这幅图把”取等条件”画成了一件看得见的事。

二、求最值的流程：一正、二定、三相等

基本不等式之所以能求最值，靠的是两条对偶的结论（课本例 2）：

$$\text{积 } xy = P \text{ 为定值} \ \Longrightarrow\ x+y \geqslant 2\sqrt{P}\ \text{（和有最小值）};$$ $$\text{和 } x+y = S \text{ 为定值} \ \Longrightarrow\ xy \leqslant \frac{1}{4}S^2\ \text{（积有最大值）}.$$

一句口诀：积定和最小，和定积最大。两者都在 $x = y$ 时取到。

用它求最值，每次都要过三关，缺一关答案就是错的：

一正——参与的两个量必须都是正数。$x + \frac{1}{x}$ 在 $x>0$ 时最小值是 $2$； 而 $x<0$ 时它恒小于 $0$，最小值根本不存在（此时应对 $-x$ 用不等式，得到最大值 $-2$）。 看到题目没给正负，先讨论。

二定——乘积（或和）必须是常数。$x + \frac{4}{x^2}$ 直接用不等式得到的 $2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x^2}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$ 不是常数，等于没求出最值。 乘积里还带着字母，就说明拆的方式不对，得重新配凑。

三相等——取等条件必须在定义域内真的取得到。如果解出的取等点不在允许范围里， 那个界就只是一个界、不是最值。写答案时必须把取等的那个 $x$ 算出来并写在卷面上—— 课本在例 1 后面特意追问”当 $y_0<2$ 时能说 $y_0$ 是最小值吗”，问的就是这件事： $x+\frac1x \geqslant 1$ 也是对的，但 $1$ 取不到，所以 $1$ 不是最小值。

三、配凑：把式子改成”积为定值”的样子

考试里直接能用的形状极少，多数题要先配凑。常见的四种：

1. 减一个再补一个（凑成互为倒数的一对）。 求 $x + \frac{1}{x-1}$（$x>1$）的最小值：

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1 \geqslant 2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}} + 1 = 3,$

当且仅当 $x-1 = \frac{1}{x-1}$，即 $x = 2$ 时取等。关键是让括号里的量与分母一致， 这样乘积才是常数 $1$。

2. 换元成平方。 求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的最小值：令 $t = x^2 > 0$， 则原式 $= t + \frac{1}{t} \geqslant 2$，取等时 $t=1$，即 $x = \pm 1$。 换元之后别忘了换回去，取等点有两个。

3. 拆系数凑定值。 求 $3x + \frac{4}{x}$（$x>0$）的最小值：两项之积 $3x \cdot \frac{4}{x} = 12$ 已经是常数，直接用

$3x + \frac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$

取等时 $3x = \frac{4}{x}$，即 $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。乘积恰好把 $x$ 约掉，就是可以直接用的信号。

4. 把约束代进去，变成一元。 实际问题几乎都是这一类：面积或体积给出一个约束 （$xy$ 或 $x+y$ 为定值），要最小化的量恰好是另一个。课本例 3、例 4 与整组应用题都是这个套路： 先设两条边长、写出约束、写出目标，再看是”积定”还是”和定”。

四、反着用：题给的值正好是最值时，取等条件替你解方程

前三节讲的都是”我要去求最值”。还有一类题，最值是藏着的：题目直接甩给你一个数， 而那个数恰好是某个表达式能达到的最大（小）值。这时候”解方程”整步可以跳过——取等条件就是答案。

认出来的信号有两个，任一出现就该往这边想：

1. 化简出来是完全平方，或判别式恰为零。 老老实实代条件、通分、平方，最后得到 $(a-\sqrt2\,b)^{2}=0$ 这样的式子。二次方程只有重根，说明满足条件的形状只剩一个； 而一条等式约束就把形状定死，多半意味着条件被顶在了边界上。 先别急着回头查算错——去看看题给的那个数是不是某个式子的最值。
2. 目标式长成 $\dfrac{1}{u+\frac ku}$ 或 $\dfrac{1}{u+\frac ku+c}$。 分母被基本不等式 顶在 $2\sqrt k$（或 $2\sqrt k+c$）以上，所以整个分式有一个上界；题给的值若正是这个上界， 等号只好成立，取等条件 $u=\dfrac ku$ 一步给出 $u=\sqrt k$。

一个完整的样子（2013 年第 16 题）。 $\triangle ABC$ 中 $\angle C=90^{\circ}$，$M$ 是 $BC$ 的中点， 已知 $\sin\angle BAM=\dfrac13$，求 $\sin\angle BAC$。记 $a=BC$、$b=AC$，令 $u=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}>0$， 可以算出

$$\sin^{2}\angle BAM=\frac{u}{(u+1)(u+4)}=\frac{1}{u+\dfrac4u+5}\leqslant\frac{1}{4+5}=\frac19 ,$$

当且仅当 $u=\dfrac4u$ 即 $u=2$ 时取等。题目给的 $\dfrac13$ 正是这个上界，于是 $u=2$、 $a=\sqrt2\,b$、$c=\sqrt3\,b$，答案 $\sin\angle BAC=\dfrac ac=\dfrac{\sqrt6}{3}$——一个方程都没解。 不认得这一层的人，把条件代进去化简会得到 $(a^{2}-2b^{2})^{2}=0$，多绕一圈但结论一样。

写法。 顺着做时，把完全平方开方取那唯一的根，同时补一句”此时恰好取到最大值，形状唯一确定”， 阅卷人看得出你知道自己在哪；反着用时，先把目标式的最值算出来，再宣布”题给的值即最值 $\Rightarrow$ 等号成立 $\Rightarrow$ 取等条件”。两种写法都得过第二节那三关，尤其是第三关—— 取等点必须落在定义域里、真的取得到。

别把它当成”一律只取一个解”的借口。 给定值小于最值时，方程有两个不同的根， 两种形状都成立、都得写；只有”给定值恰等于最值”这一档才唯一。所以第一步永远是 先算出最值到底是多少，再拿题给的数去比。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 没验”正”。 尤其是含参数、含 $\frac{1}{x}$ 的题，$x$ 的符号必须先定下来。
2. 没验”取等”。 只写不等式不写取等点，等于没证明这个界能达到。取等点不在定义域里时， 基本不等式给出的界不是最值，得改用别的办法（如单调性）。
3. 乘积不是常数还硬用。 这时得到的”最值”是一个含 $x$ 的式子，毫无意义。
4. 两次使用基本不等式，取等条件互相打架。 连用两次时必须检查两次的取等条件能否同时成立， 不能同时成立就取不到那个界。
5. 把 $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ 与 $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$ 的适用范围混了。 前者对全体实数成立，后者要求两数为正。
6. 实际问题忘了检验实际约束。 篱笆靠墙、墙有长度上限这类条件，取等点必须同时满足它们， 否则要退回到端点上比较。
7. 把”重根”当成自己算错。 化简出完全平方、判别式为零，多半是第四节那件事—— 题给的值恰是最值，形状被顶死。先复核一遍代入，再去看那个数是不是最值； 两者都对得上，重根就是题目的设计，不是你的失误。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先看 2022 年第 20 题（等差数列里塞出等比三项）：它的一条解法把问题化成 “某个分式的取值范围”，而那个分式正是 $t + \frac{1}{t}$ 形状（俗称对勾函数）。 这道题告诉你：基本不等式在数列题里的用法，是把一个含参条件转成”和与积”的关系；

• 再看 2023 年第 22 题（抛物线 $y = x^2 + \frac14$ 上的矩形，证周长大于 $3\sqrt3$）： 它的一条解法在最后一步用均值不等式收口。这一道是本节的上限—— 基本不等式几乎从不作为一道题的全部，它是压轴题最后半步的那个工具。

• 再看 2015 年第 19 题（椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两点关于直线 $y = mx + \frac12$ 对称， 求 $\triangle AOB$ 面积的最大值）：它把面积化成 $S = \sqrt2\sqrt{\dfrac{n^{2}(m^{2} - n^{2} + 2)}{(m^{2} + 2)^{2}}}$， 然后一眼看出根号里那两个非负因子 $n^{2}$ 与 $m^{2} - n^{2} + 2$ 相加正好把 $n$ 消掉、只剩常数 $m^{2} + 2$， 于是 $n^{2}(m^{2} - n^{2} + 2) \leqslant \left(\frac{m^{2} + 2}{2}\right)^{2}$，$S \leqslant \frac{\sqrt2}{2}$。 这是本节流程的另外半边：第二节的标准剧本是”积为定值、求和的最小值”，这道题反过来走—— 和为定值、求积的最大值，靠的是同一条 $ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。 所以认形状的口诀要记全：看见两个非负的量，先问它们的和与积里哪一个是常数—— 是”积定”就求和的最小值，是”和定”就求积的最大值。 它同时是易错清单第 2 条的一次真实演练——取等要求 $n^{2} = m^{2} - n^{2} + 2$， 可 $n$ 并不自由，对称条件早把它绑成了 $n = -\frac{m^{2} + 2}{2m}$； 代进去才解得 $m^{2} = 2$，还得回头确认 $2 > \frac23$ 落在第（1）问求出的范围里，取等这才算数。

• 再插一道下面那张派生单子里没有、却正好拿来练取等验证的：2015 年第 18 题（$M(a,b)$ 是 $|x^{2}+ax+b|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值，已知 $M(a,b)\leqslant 2$，求 $|a|+|b|$ 的最大值）。 它挂不到本节，正因为它一次基本不等式都没用——用的是同源的另一条放缩 $|u|+|v|\geqslant|u-v|$， 但踩的坑与本节易错清单第 2 条完全一样：由 $M\leqslant 2$ 推出 $|a+b|\leqslant 3$ 与 $|a-b|\leqslant 3$， 再由 $|a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-b|\}$ 得到 $|a|+|b|\leqslant 3$——到这里只证明了”不会更大”。 必须再举出 $(a,b)=(2,-1)$：此时 $f(x)=(x+1)^{2}-2$ 在 $[-1,1]$ 上的值域恰是 $[-2,2]$， $M=2$ 满足条件，而 $|a|+|b|=3$，上界这才落地。 凡是用放缩求最值，"$\leqslant k$"与”最大值是 $k$“之间永远隔着一次取等验证， 和本节 $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ 里那句「当且仅当 $a=b$ 时取等」是同一件事。

• 最后看 2013 年第 16 题（$\angle C=90^{\circ}$、$M$ 是 $BC$ 中点，$\sin\angle BAM=\frac13$，求 $\sin\angle BAC$）： 它是第四节那条”反着用”的标准样本——题给的 $\frac13$ 就是 $\sin\angle BAM$ 的最大值， 于是 $u+\frac4u\geqslant4$ 的取等条件 $u=2$ 直接把三角形的形状定死。 这道题还顺手演示了”信号一”：不认得这一层的人代进去化简，会撞上 $(a^{2}-2b^{2})^{2}=0$ 这个完全平方， 很多人到这一步会以为自己算错了。

两道题的共同点值得记住：卷面上不会写”请使用基本不等式”，是你自己认出”两个正数、乘积为常数”这个形状。 认形状的训练全在本节的练习与习题里。

本节课本习题共 17 道：第 53 页「练习」5 道、第 55 页「练习」4 道、第 55–56 页「习题 2.2」8 道 （复习巩固 6 道、拓广探索 2 道），逐题全做。本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

约定：下文反复用到的基本不等式是 $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$（要求 $a>0$、$b>0$， 当且仅当 $a=b$ 时取等），以及它在全体实数上都成立的兄弟 $a^2+b^2 \geqslant 2ab$。 每道求最值的题都会把”一正、二定、三相等”三关逐条交代清楚。

练习（第 53 页）第 1 题

1. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$, 求证 $ab \leqslant \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$.

注意条件只给了 $a$、$b$ 是实数，没有说正数，所以不能直接套 $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$ （那个式子里的 $\sqrt{ab}$ 需要 $ab \geqslant 0$ 才有意义）。改用作差法。

作差并通分：

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab = \frac{(a+b)^2}{4} - ab = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{(a-b)^2}{4}.$$

对任意实数 $a$、$b$ 都有 $(a-b)^2 \geqslant 0$，故

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab = \frac{(a-b)^2}{4} \geqslant 0,$

即 $ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。当且仅当 $a - b = 0$，即 $a = b$ 时取等号。

核一遍不需要正数的两处：作差得到的是一个平方除以 $4$，整个推理里没有开方、没有除以字母， 所以 $a$、$b$ 取负数或零都成立。例如 $a = -1$、$b = -3$：左边 $ab = 3$， 右边 $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$，$3 \leqslant 4$ 成立。

这道题的关键动作：条件里没有”正”，就别用带根号的那一版，改成作差配平方。

练习（第 53 页）第 2 题

2. 已知 $x, y$ 都是正数，且 $x \neq y$，求证：

(1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$; (2) $\frac{2xy}{x + y} < \sqrt{xy}$.

两小问的条件里都有 $x \neq y$，这正是取不到等号的来源：两处结论都是严格不等号。

(1) 因为 $x>0$、$y>0$，所以 $\frac{x}{y}>0$、$\frac{y}{x}>0$、$xy>0$。作差通分：

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy}.$$

分母 $xy > 0$；分子 $(x-y)^2$ 在 $x \neq y$ 时严格大于 $0$。所以上式 $>0$，即

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2.$

(2) 先记下一个由基本不等式得来的严格不等式：$x>0$、$y>0$ 且 $x \neq y$ 时

$x + y > 2\sqrt{xy}$

（基本不等式给出 $x+y \geqslant 2\sqrt{xy}$，取等条件是 $x=y$，而这里 $x \neq y$，故不取等）。

再作差。注意 $x+y>0$、$\sqrt{xy}>0$：

$$\frac{2xy}{x+y} - \sqrt{xy} = \frac{2xy - \sqrt{xy}\,(x+y)}{x+y} = \frac{\sqrt{xy}\left(2\sqrt{xy} - (x+y)\right)}{x+y},$$

这里用到了 $xy = \sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}$，即 $2xy = \sqrt{xy} \cdot 2\sqrt{xy}$。

分子里 $\sqrt{xy} > 0$，而 $2\sqrt{xy} - (x+y) < 0$（上一段的严格不等式），分母 $x+y>0$， 所以整个差小于 $0$，即

$\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}.$

顺带认一下这个式子是什么。 $\frac{2xy}{x+y} = \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ 是 $x$、$y$ 的调和平均数。本题证的是”调和平均数小于几何平均数”， 与基本不等式”几何平均数不大于算术平均数”接起来就是

$\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy} \leqslant \frac{x+y}{2} \qquad (x \neq y \text{ 时两处都严格}).$

练习（第 53 页）第 3 题

3. 当 $x$ 取什么值时，$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 取得最小值？最小值是多少？

先定定义域：式子里有 $\frac{1}{x^2}$，所以 $x \neq 0$。

换元：令 $t = x^2$。$x \neq 0$ 时 $t > 0$（这是”一正”那一关），原式变成 $t + \frac{1}{t}$。

二定：两项之积 $t \cdot \frac{1}{t} = 1$ 是常数，可以用基本不等式：

$t + \frac{1}{t} \geqslant 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2.$

三相等：取等条件是 $t = \frac{1}{t}$，即 $t^2 = 1$；又 $t>0$，故 $t = 1$，即 $x^2 = 1$， $x = \pm 1$。这两个值都在定义域 $x \neq 0$ 里，取得到。

所以当 $x = 1$ 或 $x = -1$ 时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值 $2$。

核一遍：$x = 1$ 时原式 $=1+1=2$；$x = -1$ 时原式 $=1+1=2$；再取 $x = 2$ 试一个， 原式 $=4+\frac14 = 4.25 > 2$，与结论相符。

这道题的关键动作：换元把 $x^2$ 看成一个整体，换完之后 $t>0$ 是自动成立的—— 这正是本题不必对 $x$ 的正负分类的原因，而取等点因此有两个，别只写一个。

练习（第 53 页）第 4 题

4. 已知 $-1 \leqslant x \leqslant 1$，求 $1 - x^2$ 的最大值.

这道题不需要基本不等式，用平方非负一句话就够——写解答时不要为了用工具而绕远。

对任意实数 $x$ 都有 $x^2 \geqslant 0$，所以

$1 - x^2 \leqslant 1 - 0 = 1,$

当且仅当 $x = 0$ 时取等号。而 $x = 0$ 落在给定范围 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 之内，取得到。

所以 $1 - x^2$ 的最大值是 $1$，在 $x = 0$ 处取到。

那给出的范围 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 是干什么的？ 它保证了 $1-x^2 \geqslant 0$ （这一段上式子非负），也就是说这个范围管的是下界那一头：在这段上 $1-x^2$ 的取值范围 恰好是 $[0, 1]$，最小值 $0$ 在两个端点 $x = \pm 1$ 处取到。求最大值时它不起作用， 但读题时要看出它没有把 $x=0$ 排除掉——取等点是否在范围内，永远要单独核一次。

练习（第 53 页）第 5 题

5. 已知直角三角形的面积等于 $50 \mathrm{~cm}^{2}$, 当两条直角边的长度各为多少时, 两条直角边的和最小? 最小值是多少?

设两条直角边的长分别为 $a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$，则 $a>0$、$b>0$（一正）。

列约束：直角三角形的面积等于两条直角边之积的一半，故

$\frac{1}{2}ab = 50, \qquad \text{即} \qquad ab = 100 \ (\text{定值，二定}).$

用不等式：由基本不等式，

$a + b \geqslant 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{100} = 20.$

三相等：取等条件是 $a = b$；与 $ab = 100$ 联立得 $a^2 = 100$，又 $a>0$，故 $a = b = 10$。 这组值满足 $a>0$、$b>0$，也确实构成一个面积为 $50\ \mathrm{cm}^2$ 的直角三角形 （两条直角边都是 $10\ \mathrm{cm}$，面积 $\frac12 \times 10 \times 10 = 50$），取得到。

所以当两条直角边的长都是 $10\ \mathrm{cm}$ 时，两条直角边的和最小，最小值是 $20\ \mathrm{cm}$。

这道题的关键动作：面积给出的是”积为定值”，问的是”和的最小值”——积定和最小，直接套。

练习（第 55 页）第 1 题

1. 用 $20 \mathrm{~cm}$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形, 应当怎样折?

设矩形相邻两边的长分别为 $x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$，则 $x>0$、$y>0$（一正）。

列约束：铁丝的长就是矩形的周长，

$2(x+y) = 20, \qquad \text{即} \qquad x + y = 10 \ (\text{定值，二定}).$

用不等式：矩形面积 $S = xy$，由 $ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（或由 $\sqrt{xy} \leqslant \frac{x+y}{2}$ 两边平方）得

$S = xy \leqslant \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25.$

三相等：取等条件是 $x = y$；与 $x+y=10$ 联立得 $x = y = 5$，都是正数，取得到。

所以应当折成边长为 $5\ \mathrm{cm}$ 的正方形，此时面积最大，最大面积是 $25\ \mathrm{cm}^2$。

核一遍：换一种折法，比如 $x=4$、$y=6$，面积 $24 < 25$；$x=3$、$y=7$，面积 $21<25$。相符。

练习（第 55 页）第 2 题

2. 用一段长为 $30 \mathrm{~m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长 $18 \mathrm{~m}$. 当这个矩形的边长为多少时, 菜园的面积最大? 最大面积是多少?

“一边靠墙”意味着只需要围三条边：与墙平行的那条边一条，垂直于墙的两条边各一条。

设与墙平行的那条边长为 $a\ \mathrm{m}$，垂直于墙的两条边长各为 $b\ \mathrm{m}$，则 $a>0$、$b>0$。

列约束：篱笆总长

$a + 2b = 30 \ (\text{定值}).$

还有一条实际约束不能漏：靠墙的那条边不能比墙长，即

$0 < a \leqslant 18.$

用不等式：面积 $S = ab$。把 $a$ 与 $2b$ 看成一对和为定值的正数：

$$S = ab = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2b) \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{a + 2b}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{30}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times 225 = 112.5.$$

三相等：取等条件是 $a = 2b$；与 $a + 2b = 30$ 联立得 $a = 15$、$b = 7.5$。

核实际约束：$a = 15 \leqslant 18$，靠墙那条边确实放得下；$b = 7.5 > 0$。所以这组值取得到。

所以当与墙平行的边长为 $15\ \mathrm{m}$、另一边长为 $7.5\ \mathrm{m}$ 时，菜园面积最大， 最大面积是 $112.5\ \mathrm{m}^2$。

为什么要把 $a$ 与 $2b$ 配成一对，而不是 $a$ 与 $b$？ 因为定值是 $a+2b$，不是 $a+b$—— “二定”那一关要求配成一对的两个量之和（或之积）正好是题目给的那个常数。 配错了得到的就不是定值。

墙长这个条件为什么必须核？ 如果把墙长改成 $12\ \mathrm{m}$，取等点 $a=15$ 就超出了墙长， 那时最大面积不在 $a=15$ 处，而要退回到 $a=12$ 这个端点上算——取等点不在允许范围内时，基本不等式给的界就不是最值，这正是”三相等”这一关的意义。

练习（第 55 页）第 3 题

3. 做一个体积为 $32\mathrm{m}^3$ ，高为 $2\mathrm{m}$ 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？

设底面相邻两边的长分别为 $x\ \mathrm{m}$、$y\ \mathrm{m}$，则 $x>0$、$y>0$，高 $h = 2\ \mathrm{m}$。

列约束：体积

$2xy = 32, \qquad \text{即} \qquad xy = 16 \ (\text{定值，二定}).$

写目标。纸盒按有盖的长方体算，用纸面积为上下两个底面加四个侧面：

$$S = 2xy + 2h(x+y) = 2 \times 16 + 4(x+y) = 32 + 4(x+y).$$

要 $S$ 最小，就要 $x+y$ 最小。由基本不等式（$x>0$、$y>0$，积为定值 $16$）

$x + y \geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16} = 8,$

于是

$S \geqslant 32 + 4 \times 8 = 64.$

三相等：取等条件是 $x = y$；与 $xy=16$ 联立得 $x^2 = 16$，又 $x>0$，故 $x = y = 4$，取得到。

所以当底面是边长为 $4\ \mathrm{m}$ 的正方形时用纸最少，此时用纸 $64\ \mathrm{m}^2$。

换成无盖也一样。 若纸盒无盖，用纸为 $S' = xy + 4(x+y) = 16 + 4(x+y) \geqslant 16 + 32 = 48$， 取等条件仍是 $x = y = 4$。问的是”底面的边长取什么值”，两种读法的答案相同， 只是最省的用纸量不同——所以这道题的结论对”有没有盖”是稳健的。

练习（第 55 页）第 4 题

4. 已知一个矩形的周长为 $36 \mathrm{~cm}$, 矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时, 旋转形成的圆柱的侧面积最大?

先看清旋转出来的是什么。 矩形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱：作为旋转轴的那条边是 圆柱的高，与它相邻的那条边是圆柱的底面半径。

设矩形相邻两边的长分别为 $x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$，其中绕长为 $y$ 的那条边旋转， 则 $x>0$、$y>0$，圆柱底面半径 $r = x$、高 $h = y$。

列约束：周长

$2(x+y) = 36, \qquad \text{即} \qquad x + y = 18 \ (\text{定值，二定}).$

写目标：圆柱的侧面积

$S_{\text{侧}} = 2\pi r h = 2\pi xy.$

（注意这个式子关于 $x$、$y$ 是对称的，所以绕哪一条边旋转不影响侧面积，不必分类讨论。）

用不等式：

$xy \leqslant \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \left(\frac{18}{2}\right)^2 = 81,$

于是

$S_{\text{侧}} = 2\pi xy \leqslant 162\pi.$

三相等：取等条件是 $x = y$；与 $x+y=18$ 联立得 $x = y = 9$，都是正数，取得到。

所以当矩形的两条边长都是 $9\ \mathrm{cm}$（即它是边长 $9\ \mathrm{cm}$ 的正方形）时， 旋转形成的圆柱侧面积最大，最大侧面积是 $162\pi\ \mathrm{cm}^2$。

习题 2.2 第 1 题

1.（1）已知 $x > 1$ ，求 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值；

(2) 求 $\sqrt{x(10-x)}$ 的最大值.

(1) 直接对 $x$ 与 $\frac{1}{x-1}$ 用基本不等式是不行的：它们的乘积 $\frac{x}{x-1}$ 不是常数（“二定”这一关过不去）。要配凑成互为倒数的一对。

由 $x>1$ 知 $x - 1 > 0$（一正）。把 $x$ 拆成 $(x-1) + 1$：

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1.$

现在 $(x-1)$ 与 $\frac{1}{x-1}$ 都是正数、乘积为 $1$（二定），由基本不等式

$(x-1) + \frac{1}{x-1} \geqslant 2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}} = 2,$

于是

$x + \frac{1}{x-1} \geqslant 2 + 1 = 3.$

三相等：取等条件是 $x - 1 = \frac{1}{x-1}$，即 $(x-1)^2 = 1$，$x - 1 = \pm 1$； 由 $x-1>0$ 取 $x - 1 = 1$，即 $x = 2$。$x=2$ 满足 $x>1$，取得到。

所以最小值是 $3$，在 $x = 2$ 处取到。

核一遍：$x=2$ 时原式 $= 2 + \frac{1}{1} = 3$；$x = 1.5$ 时 $=1.5+2 = 3.5>3$； $x=3$ 时 $=3+0.5=3.5>3$。相符。

(2) 先定定义域：根号内非负，即 $x(10-x) \geqslant 0$，解得 $0 \leqslant x \leqslant 10$。

在 $0 < x < 10$ 上，$x>0$ 且 $10-x>0$（一正），两者之和 $x + (10-x) = 10$ 是常数（二定）， 由 $ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ 得

$x(10-x) \leqslant \left(\frac{x + (10-x)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25.$

两个端点 $x=0$、$x=10$ 处 $x(10-x) = 0 \leqslant 25$，也满足这个上界。所以在整个定义域上

$x(10-x) \leqslant 25.$

再开方（$\sqrt{\ }$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，不等号方向不变）：

$\sqrt{x(10-x)} \leqslant \sqrt{25} = 5.$

三相等：取等条件是 $x = 10-x$，即 $x = 5$，落在定义域内，取得到，此时 $\sqrt{5 \times 5} = 5$。

所以最大值是 $5$，在 $x=5$ 处取到。

习题 2.2 第 2 题

2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2) 把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

这两小问就是课本例 2 两条结论的直接使用：积定和最小、和定积最大。

(1) 设这两个正数为 $x$、$y$（$x>0$、$y>0$），则 $xy = 36$ 为定值。由基本不等式

$x + y \geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{36} = 12,$

取等条件 $x=y$ 与 $xy=36$ 联立得 $x^2=36$，$x>0$ 故 $x=y=6$，取得到。

所以当这两个正数都是 $6$ 时它们的和最小，最小值是 $12$。

(2) 设这两个正数为 $x$、$y$（$x>0$、$y>0$），则 $x+y = 18$ 为定值。由

$xy \leqslant \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \left(\frac{18}{2}\right)^2 = 81,$

取等条件 $x=y$ 与 $x+y=18$ 联立得 $x=y=9$，取得到。

所以当这两个正数都是 $9$ 时它们的积最大，最大值是 $81$。

习题 2.2 第 3 题

3. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为 $48\mathrm{m}^2$ ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为 $3\mathrm{m}$ ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

先把几何关系理清。 房屋是长方体，背面靠墙。要计费的墙面有三面：正面一面（与背面平行）、 侧面两面。设正面的宽为 $x\ \mathrm{m}$、侧面的宽（即房屋的进深）为 $y\ \mathrm{m}$， 则 $x>0$、$y>0$，墙高 $3\ \mathrm{m}$。

列约束：地面面积

$xy = 48 \ (\text{定值，二定}).$

写目标（单位：元）：

• 正面 $1$ 面，面积 $3x$，造价 $1200 \times 3x = 3600x$；
• 侧面 $2$ 面，面积合计 $2 \times 3y = 6y$，造价 $800 \times 6y = 4800y$；
• 屋顶造价 $5800$（与 $x$、$y$ 无关的常数）。

总造价

$z = 3600x + 4800y + 5800.$

用不等式：$3600x>0$、$4800y>0$，且它们的乘积

$3600x \cdot 4800y = 3600 \times 4800 \times xy = 3600 \times 4800 \times 48 = 829\,440\,000$

是常数（二定这一关过了）。由基本不等式

$3600x + 4800y \geqslant 2\sqrt{829\,440\,000} = 2 \times 28\,800 = 57\,600,$

（因为 $28\,800^2 = 829\,440\,000$），于是

$z \geqslant 57\,600 + 5800 = 63\,400.$

三相等：取等条件是 $3600x = 4800y$，即 $3x = 4y$，$x = \frac{4}{3}y$。 代入 $xy = 48$ 得 $\frac{4}{3}y^2 = 48$，$y^2 = 36$，又 $y>0$，故

$y = 6, \qquad x = \frac{4}{3} \times 6 = 8.$

两者都是正数，取得到。

核一遍：$x=8$、$y=6$ 时 $xy = 48$ ✓； $z = 3600 \times 8 + 4800 \times 6 + 5800 = 28\,800 + 28\,800 + 5800 = 63\,400$ ✓。 再试一组 $x=6$、$y=8$：$z = 21\,600 + 38\,400 + 5800 = 65\,800 > 63\,400$，相符。

所以把房屋设计成正面宽 $8\ \mathrm{m}$、进深 $6\ \mathrm{m}$ 时总造价最低，最低总造价是 $63\,400$ 元。

这道题的关键动作：把两项造价整体地看成”两个正数”（而不是把 $x$ 与 $y$ 看成两个正数）， 这样它们的乘积才含 $xy$、才是常数。

习题 2.2 第 4 题

4. 已知 $x, y, z$ 都是正数，求证：$(x + y)(y + z)(z + x) \geqslant 8xyz$.

三个括号各用一次基本不等式，再相乘。

由 $x>0$、$y>0$、$z>0$，基本不等式给出

$x + y \geqslant 2\sqrt{xy}, \qquad y + z \geqslant 2\sqrt{yz}, \qquad z + x \geqslant 2\sqrt{zx},$

三式的两端都是正数（左端是正数之和、右端是正数），所以可以逐项相乘且不等号方向不变：

$$(x+y)(y+z)(z+x) \geqslant 2\sqrt{xy} \cdot 2\sqrt{yz} \cdot 2\sqrt{zx} = 8\sqrt{xy \cdot yz \cdot zx} = 8\sqrt{x^2y^2z^2} = 8xyz,$$

最后一步用到 $x$、$y$、$z$ 都是正数，故 $\sqrt{x^2y^2z^2} = xyz$。

取等条件：三式同时取等，即 $x=y$、$y=z$、$z=x$，也就是 $x=y=z$。这三条能同时成立， 所以 $8xyz$ 这个下界是取得到的。

“相乘”这一步为什么合法？ 若 $a \geqslant b > 0$、$c \geqslant d > 0$，则 $ac \geqslant bc \geqslant bd$。本题三个不等式的右端 $2\sqrt{xy}$ 等都是正数， 条件满足，逐次相乘即可。同向不等式相乘要求两边都是正数，这个前提必须写出来。

习题 2.2 第 5 题

5. 已知 $x > 0$，求证：$2 - 3x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 4\sqrt{3}$.

要证一个最大值，得证两件事：这个数是上界，而且它取得到。

先求 $3x + \frac{4}{x}$ 的最小值。 由 $x>0$ 知 $3x>0$、$\frac{4}{x}>0$（一正）， 且它们的乘积

$3x \cdot \frac{4}{x} = 12$

是常数（二定）。由基本不等式

$3x + \frac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{12} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$

取等条件（三相等）：$3x = \frac{4}{x}$，即 $3x^2 = 4$，$x^2 = \frac{4}{3}$； 又 $x>0$，故

$x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3},$

它满足 $x>0$，取得到。

回到原式。 两边同乘 $-1$（不等号反向）再加 $2$：

$2 - 3x - \frac{4}{x} = 2 - \left(3x + \frac{4}{x}\right) \leqslant 2 - 4\sqrt{3},$

且当 $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立。

核一遍取到的值：此时 $3x = 3 \times \frac{2\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$， $\frac{4}{x} = \frac{4}{\frac{2\sqrt3}{3}} = \frac{12}{2\sqrt3} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$， 两项相等（正是取等条件），和为 $4\sqrt3$，原式 $= 2 - 4\sqrt3$ ✓。

所以 $2 - 3x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 4\sqrt{3}$，在 $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 处取到。

这道题的关键动作：先给”减号后面那一整块”求最小值，再翻回去—— 求最大值的题里出现”减去两个正数之和”，一律这么办。

习题 2.2 第 6 题

6. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离 $x$ （单位：km）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $x$ 成正比；若在距离车站 $10\mathrm{km}$ 处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为2万元和8万元。这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

第一步：把”成反比""成正比”写成式子并定出比例系数。 设 $x>0$（距离为正），

$y_1 = \frac{k_1}{x} \ (k_1 \neq 0), \qquad y_2 = k_2 x \ (k_2 \neq 0).$

由”$x = 10$ 时 $y_1 = 2$“得 $\frac{k_1}{10} = 2$，即 $k_1 = 20$； 由”$x = 10$ 时 $y_2 = 8$“得 $10k_2 = 8$，即 $k_2 = \frac{4}{5}$。于是

$y_1 = \frac{20}{x}, \qquad y_2 = \frac{4}{5}x \qquad (x>0).$

第二步：求两项费用之和的最小值。 目标是

$y = y_1 + y_2 = \frac{20}{x} + \frac{4}{5}x.$

$x>0$ 时两项都是正数（一正），乘积

$\frac{20}{x} \cdot \frac{4}{5}x = 16$

是常数（二定）。由基本不等式

$y = \frac{20}{x} + \frac{4}{5}x \geqslant 2\sqrt{16} = 8.$

三相等：取等条件是 $\frac{20}{x} = \frac{4}{5}x$，即 $\frac{4}{5}x^2 = 20$，$x^2 = 25$； 又 $x>0$，故 $x = 5$，取得到。

核一遍：$x=5$ 时 $y_1 = \frac{20}{5} = 4$、$y_2 = \frac45 \times 5 = 4$， 两项各 $4$ 万元、合计 $8$ 万元 ✓。再试 $x=10$（题目给的那一点）：$2 + 8 = 10 > 8$，相符。

所以这家公司应该把仓库建在距离车站 $5\ \mathrm{km}$ 处，此时两项费用之和最小，为 $8$ 万元。

习题 2.2 第 7 题

7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 $10 \mathrm{~g}$ 黄金, 售货员先将 $5 \mathrm{~g}$ 的砝码放在天平左盘中, 取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 $5 \mathrm{~g}$ 的砝码放在天平右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认为顾客购得的黄金是小于 $10 \mathrm{~g}$, 等于 $10 \mathrm{~g}$, 还是大于 $10 \mathrm{~g}$? 为什么?

结论：顾客购得的黄金大于 $10\ \mathrm{g}$。

建模。 设天平左臂长为 $l_1$、右臂长为 $l_2$，由题设两臂不等长，即 $l_1 \neq l_2$， 且 $l_1>0$、$l_2>0$。天平平衡的条件是两边的力矩相等，即 （左盘重量）$\times\, l_1 =$（右盘重量）$\times\, l_2$。

第一次称：$5\ \mathrm{g}$ 砝码在左盘，黄金 $m_1$ 在右盘，平衡时

$5 l_1 = m_1 l_2, \qquad \text{即} \qquad m_1 = 5 \cdot \frac{l_1}{l_2}.$

第二次称：$5\ \mathrm{g}$ 砝码在右盘，黄金 $m_2$ 在左盘，平衡时

$m_2 l_1 = 5 l_2, \qquad \text{即} \qquad m_2 = 5 \cdot \frac{l_2}{l_1}.$

求总量。 顾客拿到的是

$m_1 + m_2 = 5\left(\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}\right).$

$\frac{l_1}{l_2}$ 与 $\frac{l_2}{l_1}$ 都是正数，且互为倒数（乘积为 $1$），由基本不等式

$\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1} \geqslant 2\sqrt{\frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{l_2}{l_1}} = 2,$

取等条件是 $\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_1}$，即 $l_1^2 = l_2^2$，由两臂长为正得 $l_1 = l_2$。 而题设两臂不等长，所以等号取不到，上式是严格不等号：

$\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1} > 2 \quad \Longrightarrow \quad m_1 + m_2 > 10.$

所以顾客购得的黄金大于 $10\ \mathrm{g}$，商店在这笔买卖里吃亏。

举一个具体的数核一遍：设 $l_1 = 2$、$l_2 = 1$，则 $m_1 = 5 \times 2 = 10$、 $m_2 = 5 \times \frac12 = 2.5$，合计 $12.5\ \mathrm{g} > 10\ \mathrm{g}$ ✓。

这道题的关键动作：两次称量恰好把臂长比与它的倒数各用了一次， 于是总量正好是 $5\left(t + \frac1t\right)$ 的形状——认出这个形状，结论一步就出来了。 本题也正是第 53 页练习第 2 题(1) 的一个应用。

习题 2.2 第 8 题

8. 设矩形 $ABCD (AB > AD)$ 的周长为 $24 \mathrm{~cm}$, 把 $\triangle ABC$ 沿 $AC$ 向 $\triangle ADC$ 折叠, $AB$ 折过去后交 $DC$ 于点 $P$. 设 $AB = x \mathrm{~cm}$, 求 $\triangle ADP$ 的最大面积及相应 $x$ 的值.

第一步：定出 $x$ 的取值范围。 矩形周长为 $24$，故 $AB + AD = 12$，即

$AD = 12 - x.$

由 $AD>0$ 得 $x<12$；由 $AB>AD$ 得 $x > 12 - x$，即 $x>6$。所以

$6 < x < 12.$

第二步：找出折叠带来的等量关系。 把 $\triangle ABC$ 沿 $AC$ 折过去，$B$ 落到 $B'$， 折叠是轴对称，所以

$\angle B'AC = \angle BAC.$

又 $AB \parallel DC$（矩形的对边），$AC$ 是截线，由内错角相等得 $\angle BAC = \angle ACD$。 于是

$\angle PAC = \angle B'AC = \angle BAC = \angle ACD = \angle PCA,$

即 $\triangle APC$ 中 $\angle PAC = \angle PCA$，由”等角对等边”得

$PA = PC.$

第三步：把 $DP$ 用 $x$ 表示。 设 $DP = t$（$t>0$）。因为 $DC = AB = x$，所以

$PC = DC - DP = x - t, \qquad PA = PC = x-t.$

在 $\mathrm{Rt}\triangle ADP$ 中（$\angle D = 90^\circ$），由勾股定理

$AD^2 + DP^2 = AP^2, \qquad \text{即} \qquad (12-x)^2 + t^2 = (x-t)^2.$

展开右边：$(x-t)^2 = x^2 - 2xt + t^2$，两边消去 $t^2$ 得

$(12-x)^2 = x^2 - 2xt \quad \Longrightarrow \quad 2xt = x^2 - (12-x)^2 = 24x - 144,$

（这里 $x^2 - (144 - 24x + x^2) = 24x-144$。）由 $x>6$ 知 $x \neq 0$，两边除以 $2x$：

$t = \frac{24x-144}{2x} = 12 - \frac{72}{x}.$

（顺带核一下 $t>0$：$x>6$ 时 $\frac{72}{x} < 12$，故 $t>0$ ✓； 又 $t < x$ 等价于 $12 - \frac{72}{x} < x$，即 $x^2 - 12x + 72 > 0$， 而 $x^2-12x+72 = (x-6)^2 + 36 > 0$ 恒成立 ✓，所以 $P$ 确实落在线段 $DC$ 上。）

第四步：写出面积并求最大值。

$$S_{\triangle ADP} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DP = \frac{1}{2}(12-x)\left(12 - \frac{72}{x}\right) = \frac{1}{2}(12-x) \cdot \frac{12x-72}{x} = \frac{6(12-x)(x-6)}{x}.$$

把分子展开：$(12-x)(x-6) = -x^2 + 18x - 72$，于是

$$S = \frac{6(-x^2+18x-72)}{x} = 6\left(18 - x - \frac{72}{x}\right).$$

在 $6<x<12$ 上 $x>0$、$\frac{72}{x}>0$（一正），乘积 $x \cdot \frac{72}{x} = 72$ 是常数（二定）， 由基本不等式

$x + \frac{72}{x} \geqslant 2\sqrt{72} = 12\sqrt{2},$

所以

$S = 6\left(18 - \left(x+\frac{72}{x}\right)\right) \leqslant 6\left(18 - 12\sqrt2\right) = 108 - 72\sqrt2.$

三相等：取等条件是 $x = \frac{72}{x}$，即 $x^2 = 72$，$x>0$ 故

$x = 6\sqrt2 \approx 8.49,$

它落在 $(6, 12)$ 内，取得到。

所以 $\triangle ADP$ 的最大面积是 $\left(108 - 72\sqrt2\right)\ \mathrm{cm}^2$， 此时 $x = 6\sqrt2\ \mathrm{cm}$。

核一遍数值：$72\sqrt2 \approx 101.82$，故最大面积 $\approx 6.18\ \mathrm{cm}^2$。 直接代 $x = 6\sqrt2$ 验算：$AD = 12 - 6\sqrt2 \approx 3.515$， $t = 12 - \frac{72}{6\sqrt2} = 12 - \frac{12}{\sqrt2} = 12 - 6\sqrt2 \approx 3.515$， $S = \frac12 \times 3.515 \times 3.515 \approx 6.18$ ✓，与上式一致。

这道题的关键动作有两个：折叠给出的是等角，等角给出等腰（$PA=PC$）； 以及把面积化成 $18 - x - \frac{72}{x}$ 这种”常数减去一对倒数”的形状， 最大值问题就翻成了对那一对倒数求最小值。