4.3 等比数列

等差数列研究的是”每一步加同一个数”，等比数列研究的是”每一步乘同一个数”。 两者是同一套研究套路走两遍：定义 → 通项公式 → 中项 → 函数视角 → 性质 → 应用。 所以这一节最省力的读法不是从头学一遍，而是对照着等差数列读——凡是等差里”加、减、乘以 $n$“的地方， 等比里就换成”乘、除、乘 $n$ 次方”。

课本按”实例 → 定义 → 通项 → 中项 → 函数 → 例题”的发现顺序讲。这里把对照表提到最前面， 再逐条讲清对照关系为什么成立，最后专门花一段讲等比数列独有的那几条限制 （各项非零、公比可负、$q$ 的符号决定摆动）——那才是等差数列里没有、也最容易漏的部分。

一、和等差数列对照着看

这张表的用法：遇到等比数列的新问题，先问”等差里这道题怎么做”，再把加法换成乘法。 课本例 2（用 $a_m$ 表示 $a_n$）与例 1 的两种解法都是这么来的。

二、定义：比为常数，而且处处除得动

如果数列 $\{a_n\}$ 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 $q$， 就说 $\{a_n\}$ 是等比数列，$q$ 叫公比。

比等差数列多出来的限制有两条，而且是连着的：

• $q \neq 0$。 若 $q=0$，从第 2 项起全是 $0$，再往下”比”就没法算了。
• 每一项都不为 $0$。 因为 $a_{n+1}/a_n$ 要有意义，$a_n$ 必须非零；由 $a_n=a_1q^{n-1}$ 与 $q\neq 0$ 知， 这等价于 $a_1 \neq 0$。

这两条是等比数列全部”前提验证”的来源。 凡是题目里出现”证明某数列是等比数列”， 除了算出比值是常数，还要说清分母不为零——漏掉这一句，证明就不完整。 反过来，”$0,0,0,\dots$ 是不是等比数列”这种问题，答案是否定的，理由正是分母为零。

判定一个数列是不是等比数列，机械做法与等差同形：把相邻两项的比逐个算出来，看是不是全相等。 $3,\ 9,\ 15,\ 21,\dots$ 头两个比是 $3$ 与 $\frac{5}{3}$，一算就露馅——它是等差数列，不是等比数列， 这两个词只差一个字，读题时要盯住。

三、通项公式：乘了 $n-1$ 次

由定义 $a_{n+1}=a_nq$ 一层层叠：

$a_2=a_1q,\qquad a_3=a_2q=a_1q^2,\qquad a_4=a_3q=a_1q^3,\qquad \dots$

到 $a_n$ 时一共乘了 $n-1$ 次 $q$，所以

$a_n=a_1q^{\,n-1}.$

和等差一样，这个式子是从 $n\geqslant 2$ 归纳出来的，要回头验 $n=1$：$a_1q^{0}=a_1$，成立， 所以公式对全部 $n\in\mathbf{N}^*$ 都用得。

从任意一项出发的版本更好用。由 $a_m=a_1q^{m-1}$ 与 $a_n=a_1q^{n-1}$ 相除（两式都非零，除得动），

$\frac{a_n}{a_m}=q^{\,n-m}, \qquad\text{即}\qquad a_n=a_mq^{\,n-m}.$

课本例 1（已知 $a_4=48$、$a_6=12$ 求 $a_5$）用它可以一步到位：$\dfrac{a_6}{a_4}=q^2=\dfrac{1}{4}$。 注意这里解出的是 $q^2$，不是 $q$——开方要带 $\pm$，这是下一段的主题。

延伸出去的一条大用法：把递推「配」成等比

高考里给你一个现成等比数列的时候不多，更常见的是给一条递推式，让你自己把它配成等比。 配法只有一条原则：多出来的那一项是几次的，就配一个几次的式子。

多出来的是常数（$a_n=pa_{n-1}+q$，$p\neq 1$）：两边同加一个待定的 $\lambda$，要它凑成

比对得 $\lambda=\dfrac{q}{p-1}$，于是 $\{a_n+\lambda\}$ 是公比 $p$ 的等比数列。

多出来的是一次式（$a_n=pa_{n-1}+kn$）：配的东西也升一次，设 $b_n=a_n+\lambda n+\mu$，要 $b_n=pb_{n-1}$：

按 $n$ 的系数与常数项各列一个方程，$\lambda$、$\mu$ 一起解出来。

拿 $S_k=2S_{k-1}+k$ 走一遍（$p=2$、$k$ 的系数是 $1$）：$(p-1)\lambda=1$ 给 $\lambda=1$， $(p-1)\mu-p\lambda=0$ 给 $\mu=2$。于是 $\{S_k+k+2\}$ 是公比 $2$ 的等比数列， 由 $S_0=0$ 得首项 $2$，$S_k+k+2=2^{\,k+1}$，即 $S_k=2^{\,k+1}-k-2$。

还有一条不用配常数的路：两条相邻的递推相减，把带 $n$ 的那一项消掉。 对 $a_n=pa_{n-1}+kn$ 作差得 $d_{n+1}=pd_n+k$（$d_n=a_n-a_{n-1}$）， 非齐次项从一次式降成了常数，再按上面第一型配一次即可，最后累加回去。 作差换掉一个技巧，用哪条看你更顺手。

四、$\pm$ 从哪里来：等比数列最容易漏解的地方

等差数列解出的是 $d$（一次方程，一个解）；等比数列常常解出的是 $q^2$、$q^4$、$G^2$（偶次方，两个解）。 凡是偶次方，都要问一句”负的那个能不能取”。

等比中项。 在 $a$ 与 $b$ 中间插入一个数 $G$，使 $a,\ G,\ b$ 成等比数列，则 $G$ 叫 $a$ 与 $b$ 的 等比中项，此时

$\frac{G}{a}=\frac{b}{G} \;\Longrightarrow\; G^2=ab.$

由此得三条要记住的结论：

1. $G=\pm\sqrt{ab}$——等比中项有两个（等差中项只有一个）；
2. $ab>0$ 才有等比中项。$a$ 与 $b$ 异号时 $G^2<0$ 无解；$a$ 或 $b$ 为零时更不行（等比数列各项非零）；
3. 反着用：题目说”某三项成等比数列”，就翻译成”中间那项的平方等于两边之积”这一个方程。 本站把这条登记为「等比中项」。

注意方向：$a,\ G,\ b$ 成等比 $\Rightarrow G^2=ab$；反过来由 $G^2=ab$ 推不出三者成等比 （$a=b=0$ 时 $G=0$ 满足方程，但不成等比数列）。要补上”三项都非零”才等价。

五、指数函数的看法与单调性

把通项改写一下：

$a_n=a_1q^{\,n-1}=\frac{a_1}{q}\cdot q^{\,n}.$

当 $q>0$ 且 $q\neq 1$ 时，$a_n$ 恰是指数型函数 $f(x)=\dfrac{a_1}{q}\cdot q^{\,x}$ 在 $x=n$ 处的值， 图象是指数曲线上一串孤立的点。于是单调性可以直接读出来（先看 $a_1$ 的正负，再看 $q$ 与 $1$ 的大小）：

$q=1$ 时是非零常数列（它既是等比数列，公比 $1$；也是等差数列，公差 $0$）。

$q<0$ 时没有单调性可言：相邻两项异号，数列在正负之间摆动。这一档不在指数函数的图象上—— $q^x$ 对负底数没有定义——所以”等比数列就是指数函数”这句话要加上 $q>0$ 的前提。 反过来，任给 $f(x)=ka^x$（$k\neq 0$，$a>0$ 且 $a\neq 1$），$f(1),f(2),\dots$ 构成首项 $ka$、公比 $a$ 的等比数列。

六、等差与等比之间的两座桥

课本例 5 给了一对互逆的变换，值得当结论记：

• $\{a_n\}$ 等差（公差 $d$）$\;\Longrightarrow\; \{b^{a_n}\}$ 等比（公比 $b^{d}$），只要 $b>0$ 且 $b\neq 1$。 理由：$\dfrac{b^{a_{n+1}}}{b^{a_n}}=b^{a_{n+1}-a_n}=b^{d}$，是常数，且指数式恒正、分母非零。
• $\{a_n\}$ 各项为正的等比（公比 $q$）$\;\Longrightarrow\; \{\log_b a_n\}$ 等差（公差 $\log_b q$）。 理由：$\log_b a_{n+1}-\log_b a_n=\log_b\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\log_b q$。 “各项为正”不能省——对数的真数必须为正，而 $q<0$ 的等比数列有一半的项是负的。

这对桥的用处：题目给了一个看着不等差也不等比的数列，先试着取指数或取对数， 常常一下就变回熟悉的形状。

桥的一次实战：条件给的是「前 $n$ 项积」。 2014 年浙江卷第 19 题一上来只给一行

并说 $\{a_n\}$ 等比、$a_1=2$、$b_3=b_2+6$，要求 $a_n$ 与 $b_n$。这一行是积， 不是我们熟悉的和，也不是递推。两条通道：

• 作商。 相邻两式一除，左边只剩一项：$a_n=(\sqrt2)^{\,b_n-b_{n-1}}\ (n\geqslant 2)$。 这是 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 的乘法版本，同样只对 $n\geqslant 2$ 合法，$n=1$ 得回头单独验。 取 $n=3$ 就有 $a_3=(\sqrt2)^{6}=8$，再由 $q^2=\dfrac{a_3}{a_1}=4$ 定公比。

• 取对数——也就是本节这座桥。令 $t_n=\log_2 a_n$，对整行取 $\log_2$：

  $$t_1+t_2+\cdots+t_n=\frac{b_n}{2}.$$

  「$\{a_n\}$ 等比」当场变成「$\{t_n\}$ 等差」，而「积」变成「和」。$t_1=\log_2 2=1$、 $t_3=\dfrac{b_3-b_2}{2}=3$，等差立刻给出 $t_n=n$，即 $a_n=2^{n}$； 再把它塞回上式，$\dfrac{b_n}{2}=1+2+\cdots+n$，得 $b_n=n(n+1)$。

比较一下：作商那一路要补验 $n=1$，取对数这一路不用——取完对数的式子对每个 $n\geqslant 1$ 都成立，首项本来就在里面。这是这座桥除了「变回熟悉形状」之外的第二个好处： 它把一个补验步骤整个消掉。

顺带给前面那句「各项为正不能省」补一个落点。这道题里 $q^2=4$ 只给出 $q=\pm 2$， 是等式右边 $(\sqrt2)^{b_n}$ 恒为正逼着左边的积恒正、从而 $q>0$，才排掉 $q=-2$。 也就是说，「各项为正」在这里不是现成的前提，而是先要从条件里推出来的一句话—— 推出来了，才敢取对数。

七、实际问题：复利就是等比

“每期按固定比率增长”的模型一律是等比数列。本金 $a$、每期利率 $r$，则各期本利和

$a(1+r),\ a(1+r)^2,\ a(1+r)^3,\ \dots$

是首项 $a(1+r)$、公比 $1+r$ 的等比数列。课本例 4（月复利与季复利比较）用的就是这一条。

做这类题有两个固定动作：

1. 先说清”第 1 项”是哪一期。 是存入当期还是一期之后？错一格，答案就差一个公比；
2. 精度按题目要求取，且只在最后一步取。 “精确到 $0.01$ 元”就四舍五入到分； 中间量（如 $1.004^{12}$）要多留几位，早取近似误差会随乘方放大。

八、易错清单

按失分频率排：

1. 偶次方开方漏掉负根。 由 $q^2=\frac14$ 得 $q=\pm\frac12$；由 $G^2=576$ 得 $G=\pm 24$。 漏一个就少一半答案。
2. 漏掉”各项非零”这个前提。 证明等比数列时必须交代分母不为零，否则证明不成立。
3. 把”等比”读成”等差”（或反过来）。判定题里 $3,9,15,21$ 与 $3,9,27,81$ 只差一眼。
4. $q<0$ 时还去谈单调性。 那时数列在摆动，“递增／递减”都不对。
5. 取对数前没验各项为正。
6. 实际问题里首项取错一期。
7. 中间近似取得太早。 复利题里 $1.004^{12}$ 只留三位，最后一步就可能差好几元。

九、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先做 2025 年第 13 题：直接求等比数列的公比，两条路——分段作比一步到位，或老实套求和公式。 它是”基本量法”在等比这一侧最正统的一道；

• 再做 2022 年第 20 题：在一个等差数列里挑出三项让它们成等比。这道题正是第四节 「等比中项反着用」的完整演出——把”成等比”翻译成 $G^2=ab$ 一个方程，再讨论判别式；

• 然后是 2025 年第 16 题：先构造 $\{na_n\}$ 化成等差，再对一个和式动手；等比在这里是工具， 用来处理那个错位相减的和；

• 想练「多出来的是一次式」那一型，做 2014 年第 11 题（填空）：一张程序框图， 循环体 $S=2S+i$、$i=i+1$，输入 $50$ 问输出。把循环读成 $S_k=2S_{k-1}+k$ 之后， 正是上面第三节末尾那段的原题——配 $\lambda k+\mu$ 得 $\{S_k+k+2\}$ 等比， $S_k=2^{\,k+1}-k-2$，再解 $2^{\,k+1}\geqslant k+52$。 它比 2023 年那道多一层：配的不再是一个常数，而是一个一次式；

• 最后是 2023 年第 21 题，这一节的上限：概率题里递推出 $P_{i+1}=0.4P_i+0.2$， 用待定系数把它变成一个等比数列（$P_{i+1}-k=0.4(P_i-k)$）。 “递推式化等比”是等比数列在高考里最常见的出场方式，比直接给一个等比数列常见得多。

• 想看第六节那座桥真的被用一次，做 2014 年第 19 题：条件给的是前 $n$ 项积 $a_1a_2\cdots a_n=(\sqrt2)^{b_n}$，作商能做、取对数更省，细节就在上面第六节末尾那一段。 它的第 (II) 问第二小问另有看头：问「哪个 $k$ 使 $S_k$ 最大」，答案落在 $n(n+1)$ 与 $2^{n}$ 的赛跑上，而这两个量相遇两次——$n=1$ 处恰好相等（$1\cdot 2=2^{1}$）， 接着 $n(n+1)$ 领先三步，到 $n=5$ 才被反超。所以正号只持续三项，$k=4$。 等比数列在这道题里既是被求的对象，也是那个「指数终将跑赢多项式」的主角。

本节课本习题共 5 道，全在第 36 页「练习」里。其中 4 道逐题全做，不收的是第 2 题—— 它的题面是一张表格，而表格在课本上是图、不在文字转写里，题面引文引不全， 本站的独立复核也就无靶可核（本站解答没有官方答案可比，逐题复核是唯一那道关；见页面上那句声明）。 要做那一道，请对着上方第 36 页的扫描图读表，动作与第 3 题同源： 已知任意两项就能定出 $q$，再用 $a_n=a_mq^{\,n-m}$ 逐格补。

本节没有「习题 4.3」——它排在 §4.3.2 那一节的末尾，归那一份详解。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 36 页）第 1 题

1. 判断下列数列是不是等比数列. 如果是, 写出它的公比.

(1) 3, 9, 15, 21, 27, 33; (2) 1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641;

(3) $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12}, \frac{1}{15}, \frac{1}{18}$; (4) $4, -8, 16, -32, 64, -128$.

判定只有一条路：把相邻两项的比逐个算出来，看它们是不是全相等。定义要求”从第 2 项起每一项”都合， 所以不能只核头两个比。四组的各项都非零，比值都算得动。

(1) 依次作比：

$\frac{9}{3}=3,\qquad \frac{15}{9}=\frac{5}{3}.$

头两个比就不相等，所以它不是等比数列。 （顺带一提：它的相邻两项之差恒为 $6$，是等差数列——这两个词只差一个字。）

(2) 依次作比：

$\frac{1.1}{1}=1.1,\quad \frac{1.21}{1.1}=1.1,\quad \frac{1.331}{1.21}=1.1,\quad \frac{1.4641}{1.331}=1.1.$

4 个比全等于 $1.1$，所以它是等比数列，公比 $q=1.1$。 （也可以看出各项就是 $1.1^{0},1.1^{1},\dots,1.1^{4}$。）

(3) 依次作比：

$\frac{\frac16}{\frac13}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\frac19}{\frac16}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$

头两个比不相等，所以它不是等比数列。 （它的各项是 $\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{9},\dots$，分母 $3,6,9,12,15,18$ 成等差， 所以它是”倒数成等差”的数列，不是等比数列。）

(4) 依次作比：

$\frac{-8}{4}=-2,\quad \frac{16}{-8}=-2,\quad \frac{-32}{16}=-2,\quad \frac{64}{-32}=-2,\quad \frac{-128}{64}=-2.$

5 个比全等于 $-2$，所以它是等比数列，公比 $q=-2$。

注意 (4) 的公比是负数：这时数列在正负之间摆动，谈不上递增或递减。公比可以为负， 只有"$q=0$"和”某一项为 $0$“是被定义排除的。

这道题的关键动作：作比，不作差。等差看差、等比看比，读题时先认清问的是哪一个。

练习（第 36 页）第 3 题

3. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}a_{3} = 36$，$a_{2} + a_{4} = 60$。求 $a_{1}$ 和公比 $q$。

设公比为 $q$。等比数列各项非零，故 $a_1\neq 0$、$q \neq 0$。

第一个条件先化简。 由通项公式 $a_3=a_1q^2$，

$a_1a_3=a_1\cdot a_1q^2=(a_1q)^2=a_2^{\,2},$

所以 $a_2^{\,2}=36$，即

$a_2=6 \quad\text{或}\quad a_2=-6.$

（这一步就是等比中项：$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_3$ 的等比中项，$a_2^2=a_1a_3$。偶次方要带 $\pm$。）

第二个条件筛掉一个。 由 $a_4=a_2q^2$，

$a_2+a_4=a_2+a_2q^2=a_2\left(1+q^2\right)=60.$

因为 $q$ 是实数，$1+q^{2}\geqslant 1>0$，所以 $a_2$ 必须与 $60$ 同号，即 $a_2>0$。 于是 $a_2=-6$ 被排除，只剩

$a_2=6.$

代回：$6(1+q^2)=60 \Rightarrow 1+q^2=10 \Rightarrow q^2=9 \Rightarrow q=3$ 或 $q=-3$。 两个都满足 $q\neq 0$，都要保留。

再由 $a_2=a_1q$ 求 $a_1$：

• $q=3$ 时 $a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{6}{3}=2$；
• $q=-3$ 时 $a_1=\dfrac{6}{-3}=-2$。

所以

$a_1=2,\ q=3 \qquad\text{或}\qquad a_1=-2,\ q=-3.$

两组都回代核一遍。

• $a_1=2,\ q=3$：数列是 $2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots$，$a_1a_3=2\times 18=36$ ✓，$a_2+a_4=6+54=60$ ✓；
• $a_1=-2,\ q=-3$：数列是 $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\dots$，$a_1a_3=(-2)\times(-18)=36$ ✓，$a_2+a_4=6+54=60$ ✓。

两组都成立，缺一个就是漏解。这道题的关键动作：把 $a_1a_3$ 认成 $a_2^2$—— 一步把两个未知量压成一个，比设 $a_1,q$ 解二元方程组干净得多。

练习（第 36 页）第 4 题

4. 对于数列 $\{a_{n}\}$，若点 $(n, a_{n})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）都在函数 $y = cq^{x}$ 的图象上，其中 $c, q$ 为常数，且 $c \neq 0$，$q \neq 0, q \neq 1$，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是不是等比数列，并证明你的结论.

结论：$\{a_n\}$ 是等比数列，首项 $a_1=cq$，公比为 $q$。

证明。 点 $(n,a_n)$ 在 $y=cq^{x}$ 的图象上，就是说对每个 $n\in\mathbf{N}^*$ 都有

$a_n=cq^{\,n}.$

第一步：验各项非零（这一步不能省，否则下一步的比值没有意义）。 因为 $c\neq 0$ 且 $q\neq 0$，所以 $q^{\,n}\neq 0$，从而

$a_n=cq^{\,n}\neq 0 \quad (n\in\mathbf{N}^*).$

第二步：作比。 对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{cq^{\,n+1}}{cq^{\,n}}=q.$

第三步：判定。 这个比值是与 $n$ 无关的常数 $q$，且 $q\neq 0$。按等比数列的定义 （从第 2 项起每一项与前一项的比都等于同一个常数），$\{a_n\}$ 是等比数列，公比为 $q$。 首项 $a_1=cq^{1}=cq$，它非零，与”等比数列各项非零”相符。

三个条件各自的用处（题目一个也没白给）：

• $c\neq 0$ 与 $q\neq 0$ 保证各项非零，比值算得动；
• $q\neq 1$ 保证它不是常数列——不过要注意，即使 $q=1$，$\{a_n\}$ 仍是等比数列（公比为 $1$ 的常数列）。 这个条件是为了让 $y=cq^x$ 是一条真正的指数型曲线而设的，不是判定等比所必需的。

核一遍：取 $c=3,\ q=2$，则 $a_n=3\cdot 2^{n}$，即 $6,\ 12,\ 24,\ 48,\dots$， 逐项作比都是 $2$，首项 $6=cq$，与结论相符。

练习（第 36 页）第 5 题

5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列.

(1) $a_3, a_5, a_7$ 是否构成等比数列？为什么？$a_1, a_5, a_9$ 呢？

(2) 当 n > 1 时， $a_{n-1}$ ， $a_{n}$ ， $a_{n+1}$ 是否构成等比数列？为什么？

设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由等比数列的定义，每一项都非零且 $q\neq 0$，所以下面所有的比值都算得动， 所有的 $q$ 的幂也都非零。用一次通项公式的推论

$a_n=a_mq^{\,n-m}, \qquad\text{即}\qquad \frac{a_n}{a_m}=q^{\,n-m}.$

(1) $a_3,\ a_5,\ a_7$。 相邻两项作比：

$\frac{a_5}{a_3}=q^{\,5-3}=q^{2},\qquad \frac{a_7}{a_5}=q^{\,7-5}=q^{2}.$

两个比相等，且 $q^2\neq 0$（因 $q\neq 0$），所以 $a_3,a_5,a_7$ 构成等比数列，公比为 $q^{2}$。

$a_1,\ a_5,\ a_9$。 同样地，

$\frac{a_5}{a_1}=q^{\,4},\qquad \frac{a_9}{a_5}=q^{\,4},$

两个比相等且非零，所以 $a_1,a_5,a_9$ 也构成等比数列，公比为 $q^{4}$。

也可以用等比中项验一次：$a_5^{\,2}=(a_1q^4)^2=a_1^{\,2}q^{8}$，而 $a_1a_9=a_1\cdot a_1q^{8}=a_1^{\,2}q^{8}$， 两者相等，且三项都非零，所以三者成等比数列——两条路一致。

(2) $a_{n-1},\ a_n,\ a_{n+1}$（$n>1$）。 相邻两项作比：

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q,\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=q.$

两个比都等于 $q$ 且 $q\neq 0$，所以 它们构成等比数列，公比为 $q$——这正是等比数列定义本身， “任意相邻三项成等比”与”整个数列成等比”说的是同一件事。 条件 $n>1$ 是为了让 $a_{n-1}$ 有意义（下标必须是正整数）。

把三小问合起来看，规律是： 从 $\{a_n\}$ 里等间隔地取出一串项，取出来的仍是等比数列，公比是原公比的”间隔次方”。 设间隔为 $k$（即取 $a_m,a_{m+k},a_{m+2k},\dots$），则

$\frac{a_{m+(j+1)k}}{a_{m+jk}}=q^{\,k},$

是与 $j$ 无关的非零常数，所以新数列是公比 $q^{k}$ 的等比数列。 (1) 是 $k=2$ 与 $k=4$，(2) 是 $k=1$。

这道题的关键动作：别去设首项、别去算具体值，直接用 $\dfrac{a_n}{a_m}=q^{\,n-m}$ 作比—— 所有的 $a_1$ 都会约掉，剩下的只有 $q$ 的幂。