浙江 2023 · 数学 q21

冷启动：把投篮规则翻译成转移概率

记 $P_n=P($ 第 $n$ 次投篮的是甲 $)$。规则「命中续投、否则换人」给出状态转移：

• 第 $n$ 次是甲 $\to$ 第 $n+1$ 次是甲（甲命中）：$0.6$；是乙（甲未中）：$0.4$。
• 第 $n$ 次是乙 $\to$ 第 $n+1$ 次是乙（乙命中）：$0.8$；是甲（乙未中）：$0.2$。

第 $1$ 次甲、乙各 $0.5$。三问都围着这条转移链转：(1) 用全概率公式算一步，(2) 用它列 $P_n$ 的递推再求通项，(3) 把「甲投的次数」写成指示变量之和、用期望的线性性质求数学期望。

解法一：全概率列概率，不动点构造等比，指示变量求期望

（1）第 2 次是乙的概率

按「第 1 次是甲 / 是乙」用全概率公式（两情形互斥且穷尽）：

$$P(\text{第2次乙})=\underbrace{0.5}_{P(\text{1次甲})}\cdot\underbrace{0.4}_{\text{甲}\to\text{乙}}+\underbrace{0.5}_{P(\text{1次乙})}\cdot\underbrace{0.8}_{\text{乙}\to\text{乙}}=0.2+0.4=0.6$$

（2）第 i 次是甲的概率

同样按「第 $n$ 次是甲 / 是乙」拆 $P_{n+1}$：

$$P_{n+1}=P_n\cdot0.6+(1-P_n)\cdot0.2=0.4P_n+0.2$$

这是 $P_{n+1}=aP_n+b$ 型，配不动点 $p=0.4p+0.2\Rightarrow p=\dfrac13$，两边减 $\dfrac13$（构造辅助数列）：

$$P_{n+1}-\frac13=0.4\left(P_n-\frac13\right)$$

故 $\left\{P_n-\dfrac13\right\}$ 是等比数列，首项 $P_1-\dfrac13=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$，公比 $0.4=\dfrac25$：

$$P_n-\frac13=\frac16\left(\frac25\right)^{n-1}\ \Rightarrow\ P_n=\frac13+\frac16\left(\frac25\right)^{n-1}$$

把 $n$ 换成 $i$：$P_i=\dfrac13+\dfrac16\left(\dfrac25\right)^{i-1}$。

（3）E(Y)：指示变量求和

设 $X_i=\begin{cases}1,&\text{第 }i\text{ 次是甲}\\0,&\text{第 }i\text{ 次是乙}\end{cases}$，则 $X_i$ 服从两点分布、$P(X_i=1)=P_i$，且 $Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$。由题给结论（即期望的线性性，不要求 $X_i$ 独立）：

$$E(Y)=\sum_{i=1}^{n}P_i=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac13+\frac16\left(\frac25\right)^{i-1}\right]=\frac{n}{3}+\frac16\sum_{i=1}^{n}\left(\frac25\right)^{i-1}$$

用等比数列前n项和算后面那项（首项 $1$、公比 $\tfrac25$）：

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac25\right)^{i-1}=\frac{1-\left(\frac25\right)^{n}}{1-\frac25}=\frac53\left[1-\left(\frac25\right)^{n}\right]$$

代回：$E(Y)=\dfrac{n}{3}+\dfrac16\cdot\dfrac53\left[1-\left(\dfrac25\right)^{n}\right]=\dfrac{5}{18}\left[1-\left(\dfrac25\right)^{n}\right]+\dfrac{n}{3}\quad(n\in\mathbf{N}^*)$。

这题的脉络。 全概率公式是贯穿三问的钥匙：(1) 用它算一步，(2) 用它把「下一次是甲」按「这一次是甲/乙」拆成递推 $P_{n+1}=0.4P_n+0.2$，(3) 则把计数 $Y$ 拆成指示变量 $X_i$，靠期望线性性把 $E(Y)$ 变成 $\sum P_i$——而 $\sum P_i$ 里的 $P_i$ 正是 (2) 的通项，于是 (2) 的等比结构在 (3) 里又用了一次（等比求和）。整道题就是「全概率建模 → 一阶递推构等比 → 指示变量 + 等比求和」一条线。

🕳️ 避坑

• 转移概率别填反：甲 $\to$ 甲是命中 $0.6$、甲 $\to$ 乙是未中 $0.4$；乙那一侧是命中 $0.8$ / 未中 $0.2$。列 $P_{n+1}$ 时，「下一次是甲」由「甲命中续投」($P_n\cdot0.6$) 与「乙未中换甲」($(1-P_n)\cdot0.2$) 两项组成，别把 $0.8$ 错放进去（见状态转移概率把命中与未中填反）。
• 不动点减的是 $1/3$：$p=0.4p+0.2$ 解出 $p=\frac13$，不是 $\frac12$；首项 $P_1-\frac13=\frac16\ne0$ 才能确认是等比。
• (3) 期望线性性不要求独立：这里的 $X_i$ 其实不独立（这次谁投依赖上次），但 $E(\sum X_i)=\sum E(X_i)$ 对不独立也成立——这正是题给提示要你用它的理由，别因为「不独立」就不敢拆。
• 等比求和的项数：$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac25\right)^{i-1}$ 是 $n$ 项、首项为 $1$，别写成首项 $\frac25$ 或 $n-1$ 项。

故（1）$\boxed{0.6}$；（2）$P_i=\boxed{\dfrac13+\dfrac16\left(\dfrac25\right)^{i-1}}$；（3）$E(Y)=\boxed{\dfrac{5}{18}\left[1-\left(\dfrac25\right)^{n}\right]+\dfrac{n}{3}}$。