8.6.3 平面与平面垂直

这一节是「垂直」这条研究线索的最后一环。前面我们已经走了两步：用线线垂直定义了线面垂直（一条直线垂直于平面内所有直线），用线面垂直定义了线面垂直的判定。现在要处理两个平面之间的垂直——它没法直接沿用”垂直于平面内所有直线”的说法（两个平面不能互相”垂直于”彼此包含的直线），所以课本先引入了一个新概念：二面角，用它把”两个平面所成的角”定下来，再定义面面垂直。

这一节在高考里的落点很集中：页面下方”考过本节的真题”列着 5 道（浙江卷 2022 年两道、2023、2024、2025 各一道），几乎都是二面角的度量与面面垂直的判定。所以这一节的讲法与课本略有不同：课本按”定义二面角 → 定义面面垂直 → 判定定理 → 性质定理”的发现顺序写，这里把它重排成决策顺序——先把「证面面垂直要找什么、面面垂直能给我们什么」两条主线立起来，二面角作为工具插在第一站。

一、二面角：给两个平面的”夹角”一个名分

在平面几何里，两条相交直线之间的位置关系是用角刻画的，两条直线垂直就是它们的夹角是 $90^\circ$。直线与平面垂直也是这样定义的（线面垂直的定义直接借用了线线垂直）。现在轮到两个相交平面——它们之间的”夹角”是什么？

课本的做法：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角。这条直线叫棱，两个半平面叫面。棱为 $AB$、面为 $\alpha$、$\beta$ 的二面角记作二面角 $\alpha-AB-\beta$；也可以分别在两个面内取点 $P$、$Q$，记作二面角 $P-AB-Q$。

什么叫半平面？平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分（含那条直线）就是一个半平面。

有了二面角，还要给它”量大小”。课本在棱上任取一点 $O$，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 $OA$、$OB$，$\angle AOB$ 就叫做二面角的平面角。二面角的大小就用它的平面角来度量。

一个必须回答的问题：平面角的大小与点 $O$ 在棱上的位置有关吗？ 无关。理由：在棱上再取一点 $O_1$，作 $O_1A_1 \perp$ 棱、$O_1B_1 \perp$ 棱。$O_1A_1$ 与 $OA$ 都在同一个半平面内且都垂直于棱，所以 $O_1A_1 \parallel OA$（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行）；同理 $O_1B_1 \parallel OB$。两边分别平行，两个角相等。所以二面角的平面角是与取点无关的定值——这正是它能用来度量二面角的原因。

二面角的平面角的取值范围是 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$（两个半平面完全重合时是 $0^\circ$，摊平成同一个平面时是 $180^\circ$）。平面角是直角的二面角叫做直二面角——它马上就是下一节的定义基础。

平面角怎么”认”出来：三条常规手法，和一条不认它的路

定义只说”在两个半平面内分别作垂直于棱的射线”，没说怎么找。实际题目里最常用的是下面三条——前两条是通用手艺，第三条碰上了最省事。

手法一（先垂面、再垂棱）：在一个半平面内取一点 $C$，作 $CG\perp$ 另一个半平面所在的平面，垂足 $G$；再在那个平面内作 $GH\perp$ 棱，垂足 $H$；连 $CH$。则 $\angle CHG$ 就是平面角。

理由只用两次线面垂直：$CG\perp$ 平面 $\Rightarrow CG\perp$ 棱；又 $GH\perp$ 棱，$CG$ 与 $GH$ 是平面 $CGH$ 内两条相交直线 $\Rightarrow$ 棱 $\perp$ 平面 $CGH$ $\Rightarrow$ 棱 $\perp CH$。于是 $HC$、$HG$ 都垂直于棱，按定义就是平面角的两条边。

这条手法有一个常被忽略的附赠品：$\triangle CHG$ 在 $G$ 处是直角，所以这样认出来的 $\angle CHG$ 天生是锐角。这不是巧合，也不是运气好——它意味着”判锐钝”这件事其实等价于看垂足 $G$ 落在棱的哪一边：$G$ 与 $C$ 所在半平面同侧（即 $G$ 落在含另一个半平面的那一侧）时二面角是锐角，落到棱的另一侧时才是钝角。先想清楚 $G$ 在哪，锐钝就不用回头补判了。

用这条手法算，还常常能看出一个结构。因为 $CG$ 只依赖”$C$ 离那张平面有多高”，$GH$ 只依赖”$G$ 到棱有多远”，两段数据往往来自两个互不干扰的方向，于是

$$\tan(\text{二面角})=\frac{CG}{GH}$$

经常能拆成两个边比的乘积——一个比来自一张平面里的形状，另一个比来自另一个方向上的长度。看出这一层，答案里那些”莫名其妙的整数”就有了来处（浙江 2013 年 q20 里的那个 $3$ 就是 $\frac{BM}{MD}$，由题面给的两个长度直接算出，与角度无关）。

手法二（直接按定义，在棱上取点作两条垂线）：适用于两个半平面内各有现成的垂直关系、且两条垂线的垂足能被证明是同一点时。它比手法一少一次转化，但”垂足重合”这件事需要额外说清楚（2015 年 q17 就是靠两个直角三角形全等把垂足逼成同一个点）。

手法三（碰得上就最省事）：棱如果垂直于某个平面，平面角在那张平面里是现成的。 设二面角的棱是 $\ell$，若存在平面 $\pi$ 使 $\ell\perp\pi$，记 $\ell$ 与 $\pi$ 的交点为 $E$， 那么 $\pi$ 与两个半平面各交出一条从 $E$ 出发的射线，这两条射线都在 $\pi$ 内、 因而都垂直于 $\ell$——按定义它们夹出的角就是平面角。

$$\ell\perp\pi,\quad \pi\cap\alpha=EA,\quad \pi\cap\beta=EB \ \Longrightarrow\ \angle AEB \text{ 就是二面角 }\alpha\text{-}\ell\text{-}\beta\text{ 的平面角}.$$

和前两条比，它省掉的不是一步计算，而是整个”找垂足”的动作：手法一要先作垂线找 $G$、 再作垂线找 $H$，手法二要额外论证两个垂足重合；这里两条边都是平面的交线， 垂直于棱是白送的，一句话就写完。

它还附赠两件事，考场上很值钱：

1. 整个二面角被搬进一张平面图。 $A$、$E$、$B$ 三点共面，后面所有长度、角度都在 $\pi$ 这张平面图里算，立体题当场降成平面题。
2. $\pi$ 是线段的中垂面。 若 $\ell$ 上取的是关于 $E$ 对称的两点 $M$、$N$， 那么 $\pi$ 上每一个点到 $M$、$N$ 都等距——手法二里辛苦证的那些等腰三角形， 在这里是定义的直接推论，一条都不用单独证。

代价是要碰得上：得先有”棱垂直于某个平面”这件事。但它比想象中常见，因为棱常常平行于 某条有垂直背景的线段。最典型的场景是底面有一条对角线同时垂直于另一条对角线与一条侧棱 （菱形、正方形底面 + 侧棱垂直底面），那条对角线就垂直于另外两点张成的那张平面； 棱只要平行于它（比如它是某条中位线），垂面立刻现成。浙江 2012 年 q20 就是这个样子， 下面 §七 会把它整道讲一遍。

另一条路：不认平面角。若图里恰好有”某个顶点到另一张平面的垂足现成、其余顶点本来就在那张平面内”，可以用射影面积：一个平面图形在另一个平面上的正射影，面积按 $S'=S\cos\theta$ 缩小，$\theta$ 就是两张平面所成的角。于是

$$\cos\theta=\frac{S_{\text{射影}}}{S_{\text{原图}}} .$$

它的好处是绕开了”平面角在哪”这个问题，只算两块面积；代价是它给出的只是 $\left|\cos\theta\right|$，锐钝仍须另判（回到上面那句”看垂足在棱的哪一边”）。用不用它，只看一件事：那个垂足是不是白捡的——如果为了用它还得先额外证一次线面垂直，就不如直接走手法一。

二、面面垂直：定义与画法

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作 $\alpha \perp \beta$。

画互相垂直的平面时，把表示两个平面的平行四边形的一组边画成垂直（课本图 8.6-24）——这是约定俗成的画法，不是定义。

教材在这个定义前放了一个”观察”：教室相邻的两个墙面与地面构成几个二面角？墙面与地面所成的二面角是直二面角，所以我们说”墙面直立于地面上”。这个例子值得记住，因为它说明面面垂直大量出现在生活场景里，也说明判定”墙面与地面垂直”并不需要量二面角——你只要知道墙面经过地面的垂线就够了。这正是下一节的判定定理。

三、判定定理：想证明垂直，先找一条”垂线”

砌墙工人用铅锤检查墙面是否垂直：把系着铅锤的细线贴到墙面上，细线竖直——它就是地面的垂线——如果细线紧贴墙面（即垂线落在墙面内），工人就认为墙面垂直于地面。课本由此给出：

定理（面面垂直的判定定理）如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

符号表示：$a \subset \alpha,\ a \perp \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta$。

这是本节第一个也是最重要的一个定理，因为它是”证明面面垂直”的唯一常规入口：

要证 $\alpha \perp \beta$，就去找 $\alpha$ 内（或 $\beta$ 内）一条垂直于另一个面的直线。

课本例 7、例 8 就是这个动作的两次示范：

• 例 7（正方体中证平面 $A'BD \perp$ 平面 $ACC'A'$）：目标是在平面 $A'BD$ 内找一条垂直于平面 $ACC'A'$ 的直线。$BD$ 是这个候选：$BD \perp AC$（正方形对角线互相垂直），$BD \perp AA'$（$AA' \perp$ 底面，垂直于底面内所有直线），而 $AC$ 与 $AA'$ 是平面 $ACC'A'$ 内两条相交直线，于是 $BD \perp$ 平面 $ACC'A'$，再套判定定理。线索来自正方形对角线。
• 例 8（$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$PA \perp$ 平面 $ABC$，求证平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$）：$C$ 在圆周上且异于 $A$、$B$，直径所对的圆周角是直角，所以 $BC \perp AC$；又 $PA \perp$ 平面 $ABC$ 得 $PA \perp BC$。$BC$ 垂直于平面 $PAC$ 内两条相交直线 $AC$、$PA$，故 $BC \perp$ 平面 $PAC$，套判定定理。线索来自”直径→直角”与”线面垂直→线线垂直”。

两次示范的共同结构是两步链条：

$$\text{要证面面垂直} \xrightarrow{\text{判定定理}} \text{找一条线垂直于另一个面} \xrightarrow{\text{线面垂直判定定理}} \text{这条线垂直于面内两条相交直线}.$$

四、性质定理：面面垂直能给我们什么

判定定理回答”怎么证出来”，性质定理回答”证出来之后有什么可用的”。课本用探究（图 8.6-29）带出它：设 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = a$，$\beta$ 内任意一条直线 $b$ 与 $a$ 是什么关系？相应地 $b$ 与 $\alpha$ 是什么关系？

• $b$ 与 $a$ 平行或相交。若 $b \parallel a$，则 $b \parallel \alpha$（线面平行判定）。
• 若 $b$ 与 $a$ 相交，则 $b$ 与 $\alpha$ 也相交。
• 特殊情形：当 $b \perp a$ 时，过交点 $A$ 在 $\alpha$ 内作 $c \perp a$，$b$ 与 $c$ 所成的角就是二面角 $\alpha-a-\beta$ 的平面角；$\alpha \perp \beta$ 说明这个角是直角，即 $b \perp c$。又 $b \perp a$，$a$、$c$ 是 $\alpha$ 内两条相交直线，所以 $b \perp \alpha$。

最后一条就是性质定理：

定理（面面垂直的性质定理）两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

这个定理把”面面垂直”翻译回”线面垂直”，是唯一的方向。它的生活版：装修时要在墙上画一条垂直于地面的线，只要在墙面上画地面与墙面的交线的垂线即可。

课本接着给了一个配套结论（探究）：设 $\alpha \perp \beta$，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，过 $P$ 作 $\beta$ 的垂线 $a$，则 $a$ 必在 $\alpha$ 内。证明只用了一句话：过 $P$ 在 $\alpha$ 内作 $b \perp$ 交线 $c$，由性质定理 $b \perp \beta$；过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以 $a$ 与 $b$ 重合，$a \subset \alpha$。这个结论在后面例 9 里直接派上用场：

• 例 9（$\alpha \perp \beta$，$a \perp \beta$，$a \not\subset \alpha$，判断 $a$ 与 $\alpha$ 的位置关系）：在 $\alpha$ 内作垂直于交线的直线 $b$，性质定理给 $b \perp \beta$；$a$、$b$ 都垂直于 $\beta$，故 $a \parallel b$（线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行）；$b \subset \alpha$，所以 $a \parallel \alpha$。结论：$a$ 与 $\alpha$ 平行。
• 例 10（$PA \perp$ 平面 $ABC$，平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$，求证 $BC \perp$ 平面 $PAB$）：交线是 $PB$，过 $A$ 作 $AE \perp PB$，性质定理给 $AE \perp$ 平面 $PBC$，于是 $AE \perp BC$；又 $PA \perp$ 平面 $ABC$ 得 $PA \perp BC$。$BC$ 垂直于平面 $PAB$ 内两条相交直线 $AE$、$PA$，故 $BC \perp$ 平面 $PAB$。动作：看到”两个平面垂直”，立刻到交线处作垂线，把面面垂直换成线面垂直。

五、垂直关系的转化链条

课本在例 10 之后收束了全节的逻辑关系，这是整个 8.6 节最重要的一张地图：

$$\text{线线垂直} \xrightarrow{\text{判定}} \text{线面垂直} \xrightarrow{\text{判定}} \text{面面垂直},$$ $$\text{面面垂直} \xrightarrow{\text{性质}} \text{线面垂直} \xrightarrow{\text{定义}} \text{线线垂直}.$$

做题时按目标从后往前推：要证面面垂直，去证一条线垂直于另一个面（判定定理）；要证线面垂直，要么找面内两条相交直线（判定定理），要么用面面垂直性质；要证线线垂直，优先把其中一条线”立”到某个平面上。每一步的定理名就是这一步的借口，写证明时把借口写上，读者（和阅卷者）就能跟上。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 把面面垂直当成”面内所有直线都垂直于另一个面”。错。垂直于另一个面的只是面内”垂直于交线”的那些直线，交线本身就在面内、却不垂直于另一个面。这是练习第 169 页第 1 题 (1) 和第 2 题 (3) 的考点。

2. 性质定理漏条件。用”$\alpha \perp \beta \Rightarrow \alpha$ 内垂直于交线的直线 $\perp \beta$“时，两个条件缺一不可：直线要在 $\alpha$ 内，且要与交线垂直。只满足一个条件就套定理，是最高频的书写错误。

3. 判定定理方向用反。要证 $\alpha \perp \beta$，是找 $\alpha$ 内（或 $\beta$ 内）一条直线垂直于另一个面，不是”面内一条直线垂直于交线”——后者是性质定理的方向，需要 $\alpha \perp \beta$ 已经成立。

4. 二面角的平面角构造错。两条射线必须都在自己的半平面内且都垂直于棱。只作了一条垂线、或者把不在面内的线当平面角的一边，都是典型错误。

5. ”$\alpha \perp \beta$ 且 $\beta \perp \gamma$ 推出 $\alpha \perp \gamma$“的错觉。这是假命题：两面墙都垂直于地面，两面墙之间却可以成任意角（习题 8.6 第 3 题 (3) 就是这个反例）。

6. 线面垂直判定定理只找了一条直线。必须”垂直于面内两条相交直线”才能下结论；两条平行线不行，只一条更不行。

7. 忘了二面角可以是钝角。平面角范围是 $0^\circ$ 到 $180^\circ$，余弦值可以是负的。算出来负值不要慌，先检查是不是把”所成的角”取成了它的补角。

8. 把”$E$ 是棱的中点”当成平面角成立的理由。平面角要的是两条边都垂直于棱， 中点只是常用的落脚处。$AE\perp$ 棱要靠”$A$ 到棱的两端等距”（等腰）撑着， $QE\perp$ 棱得另说一句。想一次性把两句都免掉，就去找棱的垂面（手法三）—— 垂面上的点到棱两端天然等距，两个等腰同时白送。

9. 法向量夹角的余弦直接当成二面角的余弦。两者要么相等要么互补，符号必须自己定。 最省事的判法有两条：回到平面角那张图看一眼是锐是钝；或者按第 7 条，看垂足落在棱的哪一侧。 建系法算得再快，这一句也不能省。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期从知识图谱派生的完整清单，逐年在长。按下面的顺序做，收益最大：

• 先做 2022 年 q08（正三棱柱里三种空间角比大小）：一道题把线线角、线面角、二面角放进同一个框架比较，是检验”二面角的平面角到底在哪里”的第一道题——这个框架感正是第一节到第二节的内容。
• 再做 2024 年 q17 与 2023 年 q18：这两道是”建系算法向量求二面角”的标准动作，一个由二面角反求 $AD$、一个用法向量夹角列方程求 $B_2P$。它们考的是二面角的度量，读完本节应该已经能看懂”法向量夹角 = 二面角或其补角”这一步在做什么。
• 想验一验”平面角到底在哪里”，做 2015 年 q17（斜三棱柱里的二面角 $A_{1}\text{-}BD\text{-}B_{1}$）：它是本节定义少见的一次正面使用。多数真题到了求二面角这一步就换成法向量，平面角在哪从不追究；这道题却可以把它真找出来——$A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$ 给出 $A_{1}D\perp A_{1}B$，同理 $B_{1}D\perp B_{1}B$，于是 $\triangle A_{1}BD$ 与 $\triangle B_{1}BD$ 都是直角边 $\sqrt2$、$4$，斜边 $BD=3\sqrt2$ 的直角三角形，全等。全等意味着两条斜边上的高相等（都是 $\frac43$）、两个垂足到 $D$ 的距离也相等，同一条线段上到 $D$ 距离相同的点只有一个，所以两个垂足是同一点 $H$——$\angle A_{1}HB_{1}$ 按定义就是平面角。接下来一次余弦定理，$\cos\angle A_{1}HB_{1}=\dfrac{2\times(\frac43)^{2}-2^{2}}{2\times(\frac43)^{2}}=-\dfrac18$，负号是算出来的，不必”判断钝锐”。用法向量的那条路在这道题上会算出 $+\frac18$，非补一步定号不可；两相对照，本节”平面角”这个定义的分量就出来了。
• 然后是 2022 年 q19（双直角梯形折出的立体）：折纸题，折叠后要先用本节的判定定理确认面面垂直（线面角通过垂线化归），是”判定定理 + 度量”的混合。
• 想看清”手法一”的全貌，做 2013 年 q20（四面体 $A\text{-}BCD$，$AD\perp$ 底面、$BC\perp CD$，由二面角 $C\text{-}BM\text{-}D$ 为 $60^{\circ}$ 反求 $\angle BDC$）：它是本节”认平面角”这条手法的教科书式样本——$CG\perp BD$ 与 $AD\perp$ 底面合成 $CG\perp$ 平面 $ABD$，再 $GH\perp BM$，$\angle CHG$ 就出来了。这道题还顺带示范了上面说的两件事：$\tan\angle CHG=\frac{CD}{BC}\cdot\frac{BM}{MD}=3\cot\theta$ 拆成两个边比之积；以及 $CG\perp$ 平面 $ABD$ 一旦证出，$G$ 就是 $C$ 的射影，$\triangle GBM$ 与 $\triangle CBM$ 的面积比直接给出 $\cos 60^{\circ}$——第三条路的前提在这道题里是白捡的。
• 想看清”手法三”为什么最省事，做 2012 年 q20（四棱锥 $P\text{-}ABCD$，底面是 $\angle BAD=120^{\circ}$、边长 $2\sqrt{3}$ 的菱形，$PA\perp$ 底面、$PA=2\sqrt{6}$， $M$、$N$ 是 $PB$、$PD$ 的中点，过 $A$ 作 $AQ\perp PC$ 于 $Q$，求二面角 $A\text{-}MN\text{-}Q$ 的余弦）：这道题的棱是 $MN$，而 $MN\parallel BD$， $BD$ 又同时垂直于另一条对角线 $AC$ 与侧棱 $PA$——$MN\perp$ 平面 $PAC$ 是白捡的。 再算一下 $MN$ 的中点 $E$：它正好是 $PO$ 的中点（$O$ 是菱形中心），也在平面 $PAC$ 上。 于是平面 $PAC$ 就是 $MN$ 的中垂面，平面角 $=\angle AEQ$，而 $A$、$E$、$Q$ 全在这张平面里， 剩下的是一道纯平面题：直角三角形 $PAC$ 的三边是 $2\sqrt{3},2\sqrt{6},6$， $E$ 是 $PO$ 中点、$Q$ 是 $A$ 到 $PC$ 的垂足，量出 $AE=\frac{3\sqrt{3}}{2}$、 $QE=\frac{\sqrt{11}}{2}$、$AQ=2\sqrt{2}$，一次余弦定理给出 $\frac{\sqrt{33}}{33}$。 对照原卷的两种解法：方法一铺了七个点的空间坐标、解两次方程组；方法二靠 $\triangle PBC\cong\triangle PDC$ 推出两个等腰，再连用三次余弦定理。 两条路都对，但都没说”平面 $PAC$ 是中垂面”这一句——说了，两个等腰是白送的， 坐标也不必铺。这道题最值得带走的是那句判断：看见二面角，先问一句”棱垂直于哪张平面”。
• 上限是 2025 年 q17（四棱锥里的面面垂直、球心与异面直线角）：它以面面垂直的判定定理为入口（本题经由它被挂到本节点下），后半段需要建系解方程或纯几何定位球心。能独立做完这道，这一节就过关了。

本节课本习题共 17 道：第 166 页「练习」4 道（面面垂直的判定）、第 169 页「练习」4 道（面面垂直的性质）， 加「习题 8.6」里属于本节主题的 9 道（第 3、6、7、8、9、10、17、18、21 题）。 习题 8.6 的其余各题考的是 §8.6.1、§8.6.2 的线线、线面垂直与 §8.5 的平行，归它们自己那一节； 复习巩固第 3 题的三小题都是「平行与垂直的转化」判断，其中 (2)(3) 是本节（二面角、面面垂直）内容， (1) 用到 §8.6.2 的线面垂直，一并解答。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 166 页）第 1 题

1. 如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了。这是为什么？

这是面面垂直判定定理的应用。把题面翻译成符号：工件相邻的两个面记为 $\alpha$、$\beta$，曲尺紧靠在 $\alpha$ 上的那条边记为 $a$，在 $\beta$ 上转动的那条边记为 $b$。

1. 转动过程中 $b \perp a$ 始终成立。曲尺就是直角尺——两条边成 $90^\circ$ 是这种工具的定义，$a$、$b$ 是同一把曲尺的两条边，夹角固定为直角，转到任何位置都如此。
2. $b$ 的每一个位置都在 $\beta$ 内。「密合」就是尺边与面 $\beta$ 之间没有缝隙，即尺边整条落在 $\beta$ 上。
3. $b$ 的每一个位置都过同一点 $O$，且 $O$ 在 $a$ 上。$O$ 是曲尺两条边的公共端点（直角顶点）：$O \in a \subset \alpha$（$a$ 紧靠在 $\alpha$ 上）；在密合的位置上 $O \in b \subset \beta$。于是 $O \in \alpha \cap \beta$——顶点落在两个面的交线上，转动中保持同一点。
4. 取 $b$ 转动中的两个不同位置 $b_1$、$b_2$。它们都过 $O$（第 3 步）且都垂直于 $a$（第 1 步），所以 $b_1$、$b_2$ 张成的平面垂直于 $a$（$a$ 垂直于这个平面内两条相交直线 $b_1$、$b_2$）。又 $b_1$、$b_2$ 都在 $\beta$ 内（第 2 步），$\beta$ 与这个张成的平面同过两条相交直线 $b_1$、$b_2$，故它们重合，即 $a \perp \beta$。
5. $a \subset \alpha$ 且 $a \perp \beta$：平面 $\alpha$ 过平面 $\beta$ 的垂线 $a$，由面面垂直判定定理，$\alpha \perp \beta$。

反向检验这个办法的可靠性，要把「怎么放曲尺」这个前提说清楚。固定 $a$（尺边紧靠 $\alpha$ 不动）转动时，$b$ 的每一个位置都在过 $O$ 且垂直于 $a$ 的平面 $\Pi$ 内（第 1 步），所以「转到任何方向都密合」就是「$\Pi$ 上的所有方向都落在 $\beta$ 内」，即 $\Pi \subset \beta$，也就是 $a \perp \beta$——这一步不依赖任何摆放前提，恒成立：

• 若 $b$ 转到任何方向都密合，则 $\Pi \subset \beta$，由第 4、5 步得 $\alpha \perp \beta$。这就是题面问的「为什么密合就说明垂直」。
• 反过来（$\alpha \perp \beta$ 时检验能否密合）：需要把曲尺摆成 $a$ 垂直于两个面的交线 $\ell$（$a$ 沿 $\alpha$ 内与 $\ell$ 垂直的方向，此时 $a$ 正好落在 $\beta$ 的垂线上）。由面面垂直的性质定理，$a \perp \beta$；而过 $O$ 垂直于 $a$ 的平面只有一个，它就是 $\beta$，所以 $\Pi = \beta$，$b$ 转到任何方向都在 $\beta$ 内——任何方向都密合。
• 前提不能省：若把曲尺摆成 $a \parallel \ell$，即使 $\alpha \perp \beta$，$\Pi$ 与 $\beta$ 也只交于一条直线，$b$ 只有一个方向密合，转到其他方向都有缝隙——所以检验时必须先把 $a$ 摆到垂直于交线的方向，而不是随手一放。

练习（第 166 页）第 2 题

2. 已知直线 $a, b$ 与平面 $\alpha, \beta, \gamma$，能使 $\alpha \perp \beta$ 的充分条件是（）. (A) $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$ (B) $\alpha \cap \beta = a, b \perp a, b \subset \beta$ (C) $a \parallel \beta, a \parallel \alpha$ (D) $a \parallel \alpha, a \perp \beta$

答案是 (D)。逐个看：

(A) 不充分。 两个平面都垂直于同一个平面，它们之间可以成任意角。反例：地面为 $\gamma$，两面墙 $\alpha$、$\beta$ 都垂直于地面，但两面墙之间的二面角可以是 $30^\circ$、$45^\circ$……不一定是直角。

(B) 不充分。 $b \perp a$ 且 $b \subset \beta$，只说 $\beta$ 内有一条直线垂直于交线 $a$，并没有说明 $b$ 垂直于 $\alpha$。反例：两个平面成 $30^\circ$ 角，在 $\beta$ 内作 $b \perp a$，$b$ 与 $\alpha$ 斜交。「垂直于交线的直线垂直于另一个平面」是面面垂直性质定理的结论，前提是 $\alpha \perp \beta$ 已经成立；这里把它倒过来当充分条件用，方向错了。

(C) 不充分。 一条直线平行于两个平面，对这两个平面的夹角没有任何约束。

(D) 充分。 由 $a \perp \beta$ 知 $a$ 是 $\beta$ 的垂线；再由 $a \parallel \alpha$，过 $a$ 作平面与 $\alpha$ 相交，设交线为 $a'$，由线面平行性质定理得 $a \parallel a'$。于是 $a' \perp \beta$（$a$ 垂直于 $\beta$ 内每一条直线，与 $a$ 平行的 $a'$ 同样垂直于它们）。$a' \subset \alpha$ 且 $a' \perp \beta$，由面面垂直判定定理，$\alpha \perp \beta$。

练习（第 166 页）第 3 题

3. 如图， $AB \perp$ 平面 BCD， $BC \perp CD$ ，你能发现哪些平面互相垂直？为什么？

四面体 $ABCD$ 中能发现三组互相垂直的平面：

1. 平面 $ABC \perp$ 平面 $BCD$。$AB \perp$ 平面 $BCD$（已知），且 $AB \subset$ 平面 $ABC$，平面 $ABC$ 过平面 $BCD$ 的垂线 $AB$，由面面垂直判定定理得垂直。
2. 平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$。同理，$AB \subset$ 平面 $ABD$ 且 $AB \perp$ 平面 $BCD$。
3. 平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$。由 $AB \perp$ 平面 $BCD$ 得 $AB \perp CD$；又 $BC \perp CD$（已知）。$AB$ 与 $BC$ 是平面 $ABC$ 内两条相交直线，由线面垂直判定定理，$CD \perp$ 平面 $ABC$。$CD \subset$ 平面 $ACD$，由面面垂直判定定理，平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$。

第四组平面 $ABD$ 与 $ACD$ 是否垂直，由已知条件推不出来（例如固定 $AD$、绕它转动顶点 $B$ 的位置，会改变这两个面的夹角），所以只有以上三组。这道题的动作：把「线面垂直」翻译成「过垂线的面都垂直于那个面」，一个已知条件 $AB \perp$ 平面 $BCD$ 直接给出两组，第三组把垂直关系从线传到面再传一次。

练习（第 166 页）第 4 题

4. 如图，在正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 中，$D$ 为棱 $AC$ 的中点．求证：平面 $BDC' \perp$ 平面 $ACC'A'$.

目标：在平面 $BDC'$ 内找一条垂直于平面 $ACC'A'$ 的直线。「$D$ 是 $AC$ 的中点」加上「正三角形」，线索就是 $BD \perp AC$。

1. 正三棱柱的底面 $ABC$ 是正三角形，$D$ 为 $AC$ 的中点，所以 $BD \perp AC$（正三角形的中线也是高）。
2. 正三棱柱的侧棱垂直于底面：$CC' \perp$ 平面 $ABC$，于是 $CC' \perp BD$（$BD \subset$ 平面 $ABC$）。
3. $AC$ 与 $CC'$ 都是平面 $ACC'A'$ 内的直线，且 $AC \cap CC' = C$，由线面垂直判定定理，$BD \perp$ 平面 $ACC'A'$。
4. $BD \subset$ 平面 $BDC'$，由面面垂直判定定理，平面 $BDC' \perp$ 平面 $ACC'A'$。

练习（第 169 页）第 1 题

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“✓”，错误的画“×”.

（1）如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内所有直线都垂直于平面 $\beta$ . （）

(2) 如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定存在直线平行于平面 $\beta$ . （）

（3）如果平面 $\alpha$ 不垂直于平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定不存在直线垂直于平面 $\beta$ （ ）

（1）×。 面面垂直性质定理说的是「垂直于交线的直线垂直于另一个平面」，不是「所有直线」。反例：交线 $l = \alpha \cap \beta$ 本身就在 $\alpha$ 内，但 $\beta$ 内与 $l$ 平行的直线不与 $l$ 垂直，故 $l$ 不垂直于 $\beta$。

（2）✓。 设 $l = \alpha \cap \beta$，在 $\alpha$ 内取一点 $P \notin l$，过 $P$ 在 $\alpha$ 内作 $a \parallel l$。$a$ 上的点 $P$ 不在 $\beta$ 内，故 $a \not\subset \beta$；而 $a \parallel l \subset \beta$，由线面平行判定定理，$a \parallel \beta$。存在性得证。

（3）✓。 反证：若 $\alpha$ 内存在直线 $a \perp \beta$，则平面 $\alpha$ 过平面 $\beta$ 的垂线 $a$，由面面垂直判定定理得 $\alpha \perp \beta$，与题设矛盾。所以这样的直线不存在。

练习（第 169 页）第 2 题

2. 若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，且 $\alpha \cap \beta = l$，则下列命题中正确的个数是（ ）.

(1) 平面 $\alpha$ 内的直线必垂直于平面 $\beta$ 内的任意一条直线.

(2) 平面 $\alpha$ 内的已知直线必垂直于平面 $\beta$ 内的无数条直线.

(3) 平面 $\alpha$ 内的任一条直线必垂直于平面 $\beta$ .

(4) 过平面 $\alpha$ 内任意一点作交线 l 的垂线，则此垂线必垂直于平面 $\beta$ . (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

答案是 (C)：只有 (2) 正确。

（1）×。 交线 $l \subset \alpha$，但 $l$ 不垂直于 $\beta$（$\beta$ 内与 $l$ 平行的直线与 $l$ 不成直角）。

（2）✓。 对 $\alpha$ 内任意直线 $a$ 分三种情况：

• 若 $a \perp l$：由面面垂直性质定理，$a \perp \beta$，垂直于 $\beta$ 内所有直线，当然有无数条。
• 若 $a \parallel l$：$\beta$ 内垂直于 $l$ 的直线有无数条，每一条都与 $a$ 垂直（异面直线所成角为直角）。
• 若 $a$ 与 $l$ 相交于 $O$（不垂直）：过 $O$ 在 $\alpha$ 内作 $a' \perp l$，由性质定理 $a' \perp \beta$。任取 $\beta$ 内一条垂直于 $l$ 的直线 $m$：$m \perp a'$（$a' \perp \beta \supset m$），且 $m \perp l$（构造），而 $a'$ 与 $l$ 是 $\alpha$ 内两条相交直线，故 $m \perp \alpha$，于是 $m \perp a$。$\beta$ 内垂直于 $l$ 的直线有无数条，所以 $a$ 垂直于 $\beta$ 内的无数条直线。

（3）×。 同 (1)：交线 $l$ 就是反例。

（4）×。 「过平面 $\alpha$ 内任意一点作交线 $l$ 的垂线」——当点在交线 $l$ 上时，过该点垂直于 $l$ 的直线有无数条（都在过该点且垂直于 $l$ 的平面内），其中只有 $\alpha$ 内的那条才垂直于 $\beta$。例如在 $\beta$ 内过该点作 $l$ 的垂线，它就落在 $\beta$ 内、不垂直于 $\beta$。所以命题不成立。

练习（第 169 页）第 3 题

3. 已知 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 为平面 $\alpha$ 内的一条直线，则 “$\alpha \perp \beta$” 是 “$m \perp \beta$” 的（）. （A）充分不必要条件 (B）必要不充分条件 （C）充要条件 (D）既不充分也不必要条件

答案是 (B) 必要不充分条件。

• 「$\alpha \perp \beta$」推不出「$m \perp \beta$」：$m$ 只是 $\alpha$ 内的一条直线，面面垂直不保证面内所有直线都垂直于另一个面（练习第 1 题 (1) 就是反例）。
• 「$m \perp \beta$」能推出「$\alpha \perp \beta$」：$m \subset \alpha$ 且 $m \perp \beta$，平面 $\alpha$ 过平面 $\beta$ 的垂线 $m$，由面面垂直判定定理，$\alpha \perp \beta$。

所以 $\alpha \perp \beta$ 是 $m \perp \beta$ 的必要不充分条件。记忆点：「面内有一条直线垂直于另一个面」是面面垂直的判定条件，也是面面垂直下最常用的充分条件。

练习（第 169 页）第 4 题

4. 已知平面 $\alpha, \beta$，直线 $a$，且 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = AB, a \parallel \alpha, a \perp AB$，判断直线 $a$ 与平面 $\beta$ 的位置关系，并说明理由.

结论：$a \perp \beta$。

1. 由 $a \parallel \alpha$，过 $a$ 作平面 $\gamma$ 与 $\alpha$ 相交，设交线为 $a'$。由线面平行性质定理，$a' \parallel a$。
2. $a' \subset \alpha$，且 $a \perp AB$、$a \parallel a'$，所以 $a' \perp AB$（$a'$ 与 $AB$ 所成的角等于 $a$ 与 $AB$ 所成的角）。
3. $AB$ 是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的交线，$a' \subset \alpha$ 且 $a' \perp AB$：满足面面垂直性质定理的条件，得 $a' \perp \beta$。
4. $a' \parallel a$ 且 $a' \perp \beta$，所以 $a \perp \beta$（$a$ 垂直于 $\beta$ 内每一条直线）。

这道题的动作：条件里有「$a \parallel \alpha$」时，第一步总是过 $a$ 作辅助平面把 $a$ 搬到 $\alpha$ 内（得到交线 $a' \parallel a$），剩下的垂直关系就都能在 $\alpha$ 内说了。

习题 8.6 第 3 题

3. 判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明. (1) 一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； (2) 如果平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\alpha_{1}$ ，平面 $\beta \parallel$ 平面 $\beta_{1}$ ，那么平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的二面角和平面 $\alpha_{1}$ 与平面 $\beta_{1}$ 所成的二面角相等或互补； (3) 如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，平面 $\beta \perp$ 平面 $\gamma$ ，那么平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma$ .

（1）正确。 设 $a \parallel \alpha$、$b \perp \alpha$。过 $a$ 作平面与 $\alpha$ 相交，设交线为 $a'$，由线面平行性质定理 $a \parallel a'$。$b \perp \alpha$ 意味着 $b$ 垂直于 $\alpha$ 内所有直线，故 $b \perp a'$。于是 $a \parallel a' \perp b$，得 $a \perp b$。

（2）正确。 $\alpha \parallel \alpha_1$、$\beta \parallel \beta_1$，则交线也平行：$l = \alpha \cap \beta$ 与 $l_1 = \alpha_1 \cap \beta_1$ 平行（$l$ 的方向同时平行于 $\alpha_1$ 和 $\beta_1$，即平行于它们的交线方向）。在 $l$ 上取 $O$，在 $\alpha$、$\beta$ 内分别作 $OA \perp l$、$OB \perp l$，$\angle AOB$ 是二面角 $\alpha-l-\beta$ 的平面角。在 $l_1$ 上取 $O_1$，在 $\alpha_1$、$\beta_1$ 内分别作 $O_1A_1 \parallel OA$、$O_1B_1 \parallel OB$（平行平面内可作对应平行线，且 $l \parallel l_1$ 保证它们垂直于 $l_1$），$\angle A_1O_1B_1$ 是另一个二面角的平面角。$O_1A_1 \parallel OA$、$O_1B_1 \parallel OB$，两边分别平行，$\angle A_1O_1B_1$ 与 $\angle AOB$ 相等；若某一对取反方向，则互补。所以命题正确。

（3）错误。 举例：设 $\beta$ 是地面，$\alpha$、$\gamma$ 都是过同一条竖直线的平面（竖直线垂直于地面，故两平面都垂直于 $\beta$），但绕竖直线转动 $\gamma$ 可以使 $\alpha$ 与 $\gamma$ 成任意角，例如 $45^\circ$——此时 $\alpha$ 不垂直于 $\gamma$。所以「$\alpha \perp \beta$ 且 $\beta \perp \gamma$」推不出「$\alpha \perp \gamma$」。

习题 8.6 第 6 题

6. 如图，在正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，平面 $ABC'D'$ 与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？

设棱长为 $a$。平面 $ABC'D'$ 过棱 $AB$ 与棱 $D'C'$，是一个对角截面。六个面分成两类：

与底面 $ABCD$、顶面 $A'B'C'D'$、前面 $ABB'A'$、后面 $DCC'D'$ 所成的二面角均为 $45^\circ$。

• 底面：交线是 $AB$。底面内过 $A$ 作 $AB$ 的垂线 $AD$；$AB \perp$ 平面 $ADD'A'$（$AB \perp AD$、$AB \perp AA'$），故平面 $ABC'D'$ 内的 $AD' \perp AB$。于是 $\angle DAD'$ 是平面角，它是正方形 $ADD'A'$ 的对角线与边的夹角，$45^\circ$。
• 顶面：交线是 $D'C'$，对称地得 $45^\circ$。
• 前面 $ABB'A'$：交线是 $AB$。前面内作 $AB$ 的垂线 $AA'$，平面 $ABC'D'$ 内的 $AD' \perp AB$，平面角为 $\angle A'AD'$。$\triangle A'AD'$ 中 $A'A = A'D' = a$、$AD' = \sqrt{2}\,a$，由余弦定理 $\cos\angle A'AD' = \dfrac{a^2 + 2a^2 - a^2}{2a\sqrt{2}a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，得 $45^\circ$。
• 后面 $DCC'D'$：对称地得 $45^\circ$。

与左面 $ADD'A'$、右面 $BCC'B'$ 所成的二面角均为 $90^\circ$。

• 左面：$C'D' \parallel AB \perp$ 平面 $ADD'A'$，故 $C'D' \perp$ 平面 $ADD'A'$；$C'D' \subset$ 平面 $ABC'D'$，由面面垂直判定定理，平面 $ABC'D' \perp$ 平面 $ADD'A'$，即所成二面角为 $90^\circ$。
• 右面：对称地得 $90^\circ$。

核验：平面 $ABC'D'$ 与左面、右面的交线分别是 $AD'$、$BC'$，而 $C'D'$（与 $AB$ 平行）垂直于左面、右面——「面内一条直线垂直于另一个面」的模式两边各出现一次，与判定定理吻合。

习题 8.6 第 7 题

7. 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，已知 $\angle VAB = \angle VAC = \angle ABC = 90^{\circ}$，判断平面 $VAB$ 与平面 $VBC$ 的位置关系，并说明理由.

结论：平面 $VAB \perp$ 平面 $VBC$。

1. $\angle VAB = 90^\circ$，即 $VA \perp AB$；$\angle VAC = 90^\circ$，即 $VA \perp AC$。$AB$ 与 $AC$ 是平面 $ABC$ 内两条相交直线（$AB \cap AC = A$），由线面垂直判定定理，$VA \perp$ 平面 $ABC$。
2. $BC \subset$ 平面 $ABC$，所以 $VA \perp BC$。
3. $\angle ABC = 90^\circ$，即 $AB \perp BC$。
4. $VA$ 与 $AB$ 是平面 $VAB$ 内两条相交直线（$VA \cap AB = A$），$BC \perp VA$、$BC \perp AB$，由线面垂直判定定理，$BC \perp$ 平面 $VAB$。
5. $BC \subset$ 平面 $VBC$，由面面垂直判定定理，平面 $VAB \perp$ 平面 $VBC$。

三个直角各有分工：前两个把 $VA$「立」到平面 $ABC$ 上，第三个把 $BC$「立」到平面 $VAB$ 上，最后一步把「线面垂直」升级成「面面垂直」。

习题 8.6 第 8 题

8. 求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.

设三条直线 $a, b, c$ 共点 $O$ 且两两垂直，记 $P_{ab}$（由 $a, b$ 确定）、$P_{bc}$（由 $b, c$ 确定）、$P_{ac}$（由 $a, c$ 确定）。

1. 证 $P_{ab} \perp P_{ac}$：$b \perp a$、$b \perp c$（三条直线两两垂直），而 $a, c$ 是平面 $P_{ac}$ 内两条相交直线（$a \cap c = O$），由线面垂直判定定理，$b \perp P_{ac}$。$b \subset P_{ab}$，由面面垂直判定定理，$P_{ab} \perp P_{ac}$。
2. 证 $P_{ab} \perp P_{bc}$：$c \perp a$、$c \perp b$，$a, b$ 是平面 $P_{ab}$ 内两条相交直线，故 $c \perp P_{ab}$；$c \subset P_{bc}$，故 $P_{bc} \perp P_{ab}$。
3. 证 $P_{ac} \perp P_{bc}$：$b \perp a$、$b \perp c$，$a, c$ 是平面 $P_{ac}$ 内两条相交直线，故 $b \perp P_{ac}$；$b \subset P_{bc}$，故 $P_{bc} \perp P_{ac}$。

三步是同一个模式：第三条直线垂直于前两条直线确定的平面（它垂直于该平面内两条相交直线），再套面面垂直判定定理。

习题 8.6 第 9 题

9. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma, \beta // \alpha$，求证 $\beta \perp \gamma$.

1. $\alpha \perp \gamma$，设 $\alpha \cap \gamma = l$。在 $\alpha$ 内作 $a \perp l$，由面面垂直性质定理，$a \perp \gamma$。
2. $\beta \parallel \alpha$：在 $\beta$ 内取一点 $P$，过 $P$ 作直线 $a' \parallel a$。$a$ 的方向属于 $\alpha$ 的方向集，而平行平面方向相同，故 $a' \subset \beta$。
3. $a' \parallel a$ 且 $a \perp \gamma$：$a'$ 与 $\gamma$ 内任意直线所成的角等于 $a$ 与它成的角，都是直角，故 $a' \perp \gamma$。
4. $a' \subset \beta$ 且 $a' \perp \gamma$，由面面垂直判定定理，$\beta \perp \gamma$。

习题 8.6 第 10 题

10. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma, \alpha \cap \beta = l$，求证 $l \perp \gamma$.

1. 在 $l$ 上任取一点 $O$。在 $\alpha$ 内过 $O$ 作 $a \perp (\alpha \cap \gamma)$，由面面垂直性质定理，$a \perp \gamma$。在 $\beta$ 内过 $O$ 作 $b \perp (\beta \cap \gamma)$，同理 $b \perp \gamma$。
2. $a \perp \gamma$ 且 $b \perp \gamma$：垂直于同一个平面的两条直线平行（线面垂直性质定理），故 $a \parallel b$。
3. $a, b$ 都过点 $O$，平行且共点，所以 $a$ 与 $b$ 重合，记 $m = a = b$。$m \subset \alpha$（$m = a$）且 $m \subset \beta$（$m = b$），故 $m \subset \alpha \cap \beta = l$；又 $m$ 过 $O \in l$，所以 $m = l$。
4. 于是 $l = m \perp \gamma$。

这道题的动作：分别在两个平面里用性质定理作 $\gamma$ 的垂线，两条垂线过同一点、垂直于同一平面，必然重合——重合的结果就是交线。「垂直于同一平面的两条直线平行」是这一步的地基。

习题 8.6 第 17 题

17. 求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.

设三个平面为 $\alpha, \beta, \gamma$，交线为 $l_1 = \alpha \cap \beta$、$l_2 = \beta \cap \gamma$、$l_3 = \gamma \cap \alpha$。

先证 $l_1 \perp \gamma$（这是第 10 题的结论，直接复用其证明）：在 $l_1$ 上取一点 $O$，在 $\alpha$、$\beta$ 内分别作 $\gamma$ 的垂线 $a$、$b$（性质定理保证存在），两条垂线都过 $O$ 且垂直于同一平面，故平行、进而重合，重合的直线既在 $\alpha$ 内又在 $\beta$ 内，就是交线 $l_1$，所以 $l_1 \perp \gamma$。于是 $l_1$ 垂直于 $\gamma$ 内的所有直线，特别地 $l_1 \perp l_2$、$l_1 \perp l_3$。

轮换 $\alpha, \beta, \gamma$ 的角色，同样得 $l_2 \perp l_3$（以及 $l_2 \perp l_1$、$l_3 \perp l_1$）。所以三条交线两两垂直。

习题 8.6 第 18 题

18. 如图，在三棱锥 $V - ABC$ 中，$VA = VB = AB = AC = BC = 2$，$VC = 1$，作出二面角 $V - AB - C$ 的平面角，并求出它的余弦值.

二面角 $V-AB-C$ 的棱是 $AB$。取 $AB$ 的中点 $M$。

• $\triangle VAB$ 中 $VA = VB = AB = 2$，是等边三角形，$M$ 为 $AB$ 中点，故 $VM \perp AB$，且 $VM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$。
• $\triangle ABC$ 中 $AC = BC = AB = 2$，是等边三角形，$M$ 为底边 $AB$ 的中点，故 $CM \perp AB$，且 $CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$。
• $VM \subset$ 平面 $VAB$、$CM \subset$ 平面 $ABC$，且都与棱 $AB$ 垂直，所以 $\angle VMC$ 就是二面角 $V-AB-C$ 的平面角。
• $\triangle VMC$ 中，$VM = CM = \sqrt{3}$，$VC = 1$，由余弦定理：

$$\cos \angle VMC = \frac{VM^2 + CM^2 - VC^2}{2 \cdot VM \cdot CM} = \frac{3 + 3 - 1}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5}{6}.$$

所以二面角 $V-AB-C$ 的余弦值为 $\dfrac{5}{6}$。

核验：$\cos\angle VMC = \dfrac{5}{6} \approx 0.83$，在 $0$ 到 $1$ 之间，对应锐角。直观上 $VC = 1$ 比 $VM = CM = \sqrt{3} \approx 1.73$ 短得多，二面角明显偏小，与结果相符。构造平面角的口诀：在两个面内各找一条垂直于棱的直线，它们之间的角就是平面角——等边、等腰三角形里「取底边中点」总是第一步。

习题 8.6 第 21 题

21. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB$，$E$ 为线段 $PB$ 的中点，$F$ 为线段 $BC$ 上的动点。平面 $AEF$ 与平面 $PBC$ 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。

结论：垂直，而且对 $BC$ 上任意位置的点 $F$ 都垂直。关键观察：平面 $AEF$ 内有一条与 $F$ 无关的直线 $AE$，而 $AE \perp$ 平面 $PBC$。

1. $BC \perp$ 平面 $PAB$：$BC \perp AB$（正方形相邻两边）、$BC \perp PA$（$PA \perp$ 底面 $ABCD$，垂直于底面内所有直线），$AB$ 与 $PA$ 是平面 $PAB$ 内两条相交直线，由线面垂直判定定理得 $BC \perp$ 平面 $PAB$。
2. $AE \subset$ 平面 $PAB$，故 $BC \perp AE$。
3. $PA = AB$ 且 $PA \perp AB$：$\triangle PAB$ 是等腰直角三角形，$E$ 是斜边 $PB$ 的中点，所以 $AE \perp PB$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）。
4. $PB$ 与 $BC$ 是平面 $PBC$ 内两条相交直线（$PB \cap BC = B$），$AE \perp PB$、$AE \perp BC$，由线面垂直判定定理，$AE \perp$ 平面 $PBC$。
5. $AE \subset$ 平面 $AEF$（点 $A$、$E$ 都在平面 $AEF$ 内），由面面垂直判定定理，平面 $AEF \perp$ 平面 $PBC$。

证明全程没有用到 $F$ 的具体位置——无论 $F$ 在 $BC$ 上的哪里，$AE$ 都在平面 $AEF$ 内。所以答案对一切动点 $F$ 都成立。