3.1.2 椭圆的简单几何性质

上一小节把椭圆的几何定义翻译成了方程，这一小节反过来走：从方程里读回几何。课本按 范围 → 对称性 → 顶点 → 离心率 的顺序讲，这个顺序本身就是”研究一条曲线该问哪些问题”的模板， 后面的双曲线、抛物线全照抄它，所以值得原样保留。

但这一小节真正的重量不在那四条性质（它们各只有几行），而在后半段的三道例题—— 椭圆的第二定义、直线与椭圆的位置关系、以及由此长出来的一大类”最值 / 弦长 / 中点”问题。 本文因此分成两半：前半把四条性质压紧，后半把那三类题型的动作拆开讲。

一、四条性质：全部由方程读出来

统一用 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$。

1. 范围：$-a \leqslant x \leqslant a$，$-b \leqslant y \leqslant b$

代数上一行就出来：由方程

$$\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \geqslant 0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{a^2} \leqslant 1 \;\Longrightarrow\; -a \leqslant x \leqslant a,$$

同理 $-b \leqslant y \leqslant b$。所以椭圆整个关在直线 $x = \pm a$、$y = \pm b$ 围成的矩形框里。

这一条的用处远超”知道它有多大”：凡是题目问”椭圆上某个量的最大 / 最小值”， $x \in [-a, a]$、$y \in [-b, b]$ 就是那个自变量的定义域，求最值时漏掉它就会得出椭圆上根本不存在的点。

2. 对称性：关于两轴、关于原点都对称

判据是代换不变：方程里以 $-y$ 代 $y$ 不变 $\Rightarrow$ 关于 $x$ 轴对称；以 $-x$ 代 $x$ 不变 $\Rightarrow$ 关于 $y$ 轴对称；两者同时代不变 $\Rightarrow$ 关于原点对称。原点因此叫椭圆的中心。

这个判据是通用工具，不是椭圆专属：以后拿到任何一条曲线方程，先做这三次代换， 对称性就出来了，图也好画一半。

3. 顶点：四个，长轴短轴

令 $x = 0$ 得 $y = \pm b$，令 $y = 0$ 得 $x = \pm a$，四个交点

$A_1(-a, 0),\quad A_2(a, 0),\quad B_1(0,-b),\quad B_2(0,b)$

叫椭圆的顶点。线段 $A_1A_2$ 是长轴（长 $2a$），$B_1B_2$ 是短轴（长 $2b$）； $a$、$b$ 分别叫长半轴长与短半轴长。

注意”轴”是线段、“轴长”是它的长度：$2a$ 是长轴长，$a$ 是长半轴长。题目说”长轴长等于 $20$” 是 $2a = 20$，说”长半轴长 $1.50 \times 10^8$“是 $a = 1.50 \times 10^8$。 这两个词读错一次，答案就差一倍，是这一小节最贵的一个字。

4. 离心率：一个刻画”扁”的数

$e = \frac{c}{a}, \qquad 0 < e < 1.$

课本花了整整两段解释它为什么是 $\frac{c}{a}$ 而不是 $\frac{b}{a}$：两者都能刻画扁平程度， 但 $a$、$c$ 是确定圆锥曲线的基本量，$\frac{c}{a}$ 在椭圆、双曲线、抛物线上有统一的意义（见第三节）。

要会双向换算（这是本节考得最多的一步）：

$$e = \frac{c}{a}, \qquad c = ae, \qquad b^2 = a^2 - c^2 = a^2(1 - e^2), \qquad e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}.$$

最后那条特别好用：只要知道 $\frac{b}{a}$（或 $\frac{b^2}{a^2}$）就能一步得到 $e$，反之亦然， 不必绕道去求 $c$。

方向感：$e \to 1$ 时 $c \to a$、$b \to 0$，椭圆越扁；$e \to 0$ 时 $c \to 0$、$b \to a$，越接近圆。 $a = b$（即 $e = 0$、$c = 0$）时两焦点重合，图形就是圆 $x^2+y^2=a^2$——圆是椭圆的极限情形。

由方程读性质的标准流程（课本例 4 的动作）：先把方程化成标准形式（右边为 $1$、左边两项系数为 $\frac{1}{a^2}$ 与 $\frac{1}{b^2}$），读出 $a^2$、$b^2$ 中谁大谁就是 $a^2$、它在谁下面焦点就在哪条轴上， 算 $c = \sqrt{a^2-b^2}$，然后长轴短轴、离心率、焦点、顶点逐项写出。$16x^2+25y^2=400$ 化成 $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$，于是 $a=5$、$b=4$、$c=3$，一路读到底。

二、第二定义：椭圆的另一种造法

课本例 6：动点 $M$ 到定点 $F(4,0)$ 的距离与它到定直线 $l: x = \frac{25}{4}$ 的距离之比是常数 $\frac{4}{5}$，求 $M$ 的轨迹。列出

$\frac{\sqrt{(x-4)^2+y^2}}{\left|\frac{25}{4} - x\right|} = \frac{4}{5},$

平方化简，得 $9x^2 + 25y^2 = 225$，即 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$——又是一个椭圆， 而且它的 $c = \sqrt{25-9} = 4$ 正是那个定点，$e = \frac{4}{5}$ 正是那个比。

这不是巧合。页尾「信息技术应用」那一段把一般情形写清楚了：

若点 $M(x,y)$ 与定点 $F(c,0)$ 的距离和它到定直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}\ (0<c<a)$，则点 $M$ 的轨迹是一个椭圆。$F(c,0)$ 是它的一个焦点， $l: x = \frac{a^2}{c}$ 称为相应于焦点 $F$ 的准线。

来源也在那一段里：推导标准方程时曾得到 $a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$，把它变形成

$\frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\frac{a^2}{c} - x} = \frac{c}{a}$

就是这条比例式。所以第二定义不是新东西，是第一定义化简中途的一个副产品。

三件要记的事：

1. 焦点与准线是配对的：$F(c,0)$ 配 $x = \frac{a^2}{c}$，$F(-c,0)$ 配 $x = -\frac{a^2}{c}$。 配错边等于换了一条曲线。
2. 准线在椭圆外：$\frac{a^2}{c} > a$（因为 $c < a$），所以那条竖线不与椭圆相交。
3. 这条定义把三条圆锥曲线统一了：比值 $e < 1$ 是椭圆、$e = 1$ 是抛物线、$e > 1$ 是双曲线。 §3.2 例 5 与 §3.3 的开头各兑现了一次。

三、直线与椭圆：一个判别式管三件事

课本例 7：直线 $l: 4x-5y+m=0$ 与椭圆 $C: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，$m$ 为何值时有两个 / 一个 / 零个公共点。做法只有一句话：联立、消元、看判别式。

$$\begin{cases} 4x-5y+m=0,\\[2pt] \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 \end{cases} \;\xrightarrow{\ \text{消去 } y\ }\; 25x^2 + 8mx + m^2 - 225 = 0,$$

$\Delta = 64m^2 - 4\times 25\times(m^2-225) = 36(25^2 - m^2).$

于是 $\Delta>0 \Leftrightarrow -25<m<25$（两个公共点）、$\Delta=0 \Leftrightarrow m=\pm 25$（一个）、 $\Delta<0 \Leftrightarrow m<-25$ 或 $m>25$（零个）。

为什么可以只看 $\Delta$：消元后是一个二次方程（$x^2$ 的系数 $25 \neq 0$）， 方程组解的个数与它实根的个数一一对应。这一条在椭圆上永远成立，但在双曲线和抛物线上要先验二次项系数不为零—— 那边直线平行于渐近线 / 平行于对称轴时会退化成一次方程，只有一个交点却不是相切。 现在先记住这个差别，学到 §3.2.2、§3.3 时会用上。

由这一套长出的三个常见动作：

• 求交点：解出 $x_1$、$x_2$，回代直线方程（不是回代椭圆方程，那样会多出不在直线上的解）得 $y$。

• 求弦长：不必解出两点坐标，用

  $|AB| = \sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2| = \sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2},$

  把韦达定理的两个式子代进去即可。$\sqrt{1+k^2}$ 那个因子来自 $y_1-y_2 = k(x_1-x_2)$。

• 求中点：$x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$ 直接由韦达定理得到，$y_0$ 由直线方程算出。 一组平行弦的中点会落在一条过原点的直线上，斜率满足 $k_{\text{弦}} \cdot k_{\text{中点线}} = -\dfrac{b^2}{a^2}$——这条结论在填空题上很省时间，但大题里要把它推一遍（用点差法或韦达定理）， 不能直接引用。

中点弦：点差法的完整写法，以及它省掉了什么

上面那条”很省时间”的结论，推导只有三行，大题里照抄即可。

设弦的两端 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 都在 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上， 两式相减：

$$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0 .$$

设弦不竖直（$x_1\neq x_2$），两边除以 $x_1-x_2$；再记中点 $M(x_0,y_0)$、斜率 $k$， 即 $x_1+x_2=2x_0$、$y_1+y_2=2y_0$、$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k$：

$$\frac{2x_0}{a^2}+k\cdot\frac{2y_0}{b^2}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad k\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{b^2}{a^2}\quad(x_0\neq0) .$$

联立、韦达、判别式一步都没用上——这正是它快的原因，也正是它的代价。

整个推导只用了”$A$、$B$ 在椭圆上”这一件事，没有用到”这条弦真的存在”。所以用完必须补三句：

1. 竖直弦被除法排除了，要单独说（那时中点在 $x$ 轴上，斜率不存在）。

2. $y_0=0$ 的水平中点线要单独看：式子给出 $k=\infty$，对应的其实是竖直弦。

3. 最要紧的一条：给定一点 $M$，上式解出的 $k$ 只说明”如果存在以 $M$ 为中点的弦， 它的斜率只能是这个”。这样的弦真的存在，当且仅当 $M$ 落在椭圆内部：

   $$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}+\frac{y_0^{2}}{b^{2}}<1 .$$

   换成联立的语言，这句话就是 $\Delta>0$。点差法省掉的判别式，必须在结论处补回来—— 否则你可能给出一条压根不与椭圆相交的直线。

把椭圆压成圆：那条式子其实是垂径定理被压扁的样子

上面那条结论要背，可它在圆里是不用背的。令

$$X=\frac{x}{a},\qquad Y=\frac{y}{b} ,$$

椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 就变成单位圆 $X^{2}+Y^{2}=1$。 这是一个线性变换，所以共线、平行、中点、同一直线上的线段之比、以及任意两块图形的面积之比 全都保住；坏掉的只有长度与角度。

在圆里，“一族平行弦的中点共线”是垂径定理的直接推论：中点连圆心的那条线垂直于弦， 所以所有中点都落在过圆心、垂直于这族弦的那条直径上。压回椭圆，“垂直”这条坏掉了， “中点共线且过中心”却留了下来——而那条要背的式子，正是”垂直”被压扁之后的样子：

$$K\cdot K_{OM'}=-1,\qquad k=\frac{b}{a}K,\qquad \frac{y_0}{x_0}=\frac{b}{a}\cdot\frac{Y_0}{X_0} ,$$

两式相乘即得 $k\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\,K\,K_{OM'}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}$。

面积也能压。 $x=aX$、$y=bY$ 把所有面积统一放大 $ab$ 倍：

$$S_{\text{椭圆里}}=ab\cdot S_{\text{圆里}} .$$

所以”面积最大时的直线是哪条”这类问题，在圆里求出的最大值点，就是椭圆里的最大值点 （$ab$ 是常数，不影响谁最大）。只有”面积等于 $9$“这种绝对数值，才要把 $ab$ 乘回去。

别把它用在长度和角度上：圆里的”垂直""等长”回到椭圆里一般都不再成立。

顺着这两条门读一道真题：浙江 2012 年第 21 题

题目：椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac12$， 左焦点到 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$；不过原点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$、$B$，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分。 (I) 求 $C$；(Ⅱ) 求 $\triangle ABP$ 面积最大时 $l$ 的方程。

(I) 左焦点 $F(-c,0)$，由 $(2+c)^{2}+1=10$ 得 $c=1$；$\dfrac{c}{a}=\dfrac12$ 给 $a=2$， $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$，故 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$。

(Ⅱ) 第一句话就把斜率锁死。 「$AB$ 被 $OP$ 平分」= ”$AB$ 的中点 $M$ 在 $OP$ 上”， 而 $P(2,1)$ 给出 $k_{OM}=\dfrac12$，代进中点弦那条式子：

$$k_{AB}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\Big/k_{OM}=-\frac{3}{4}\Big/\frac{1}{2}=-\frac{3}{2} .$$

斜率不是待定的，是被条件算出来的。 第（Ⅱ）问真正的变量只剩截距 $m$： 一族斜率 $-\frac32$ 的平行线扫过椭圆，问哪一条截出的三角形最大。

第二句话是那三条补充。 设 $l:\ y=-\frac32x+m$，联立得 $3x^{2}-3mx+m^{2}-3=0$，

$$\Delta=3(12-m^{2})>0\ \Longrightarrow\ m^{2}<12 ,$$

再加上题设”不过原点”给的 $m\neq0$——这就是点差法欠下的那笔账， 在这里恰好等价于”中点 $M\left(\frac m2,\frac m4\right)$ 落在椭圆内部”。

第三句话是面积。 由韦达得 $\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{\dfrac{12-m^{2}}{3}}$，于是

$$S=\frac12\lvert AB\rvert\cdot d(P,l)=\frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{(12-m^{2})(m-4)^{2}} .$$

令 $u(m)=(12-m^{2})(m-4)^{2}$，$u^{\prime}(m)=-4(m-4)(m^{2}-2m-6)$；在 $m\in(-2\sqrt3,2\sqrt3)$ 上 $m-4<0$ 且 $m<1+\sqrt7$，故 $u$ 在 $m=1-\sqrt7$ 处由增转减，最大值就在那里（它落在区间内且非零）。

$$l:\ y=-\frac32x+1-\sqrt7,\qquad\text{即}\qquad 3x+2y+2\sqrt7-2=0 .$$

换个坐标系看同一件事。 把这道题整个压成圆（$X=\frac x2$、$Y=\frac y{\sqrt3}$）： 条件变成”弦的中点在 $OP^{\prime}$ 上”，垂径定理立刻给出”弦 $\perp OP^{\prime}$”， 斜率一步就出来；面积则化成 $2\sqrt3\sqrt{1-t^{2}}\left(\frac{2}{\sqrt3}-t\right)$， 其中 $t$ 是原点到弦的有向距离——一个参数，一条曲线，一个峰。 两条路最后落到同一个二次方程上，只差一次 $m=2\sqrt3\,t$ 的换元。

四、焦半径：把「到焦点的距离」换成横坐标

课本正文没有单列这条式子，但它就是第 1 条（范围）与第 4 条（离心率）合起来的直接产物， 而且高考几乎年年在用。设 $P(x_0,y_0)$ 在 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 上， 焦点 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，则

$$|PF_1| = a + ex_0 \quad (\text{到左焦点}), \qquad |PF_2| = a - ex_0 \quad (\text{到右焦点}).$$

推导两步，考场上现推比背稳：

$$|PF_1|^2 = (x_0+c)^2 + y_0^2 = (x_0+c)^2 + b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right) = \frac{c^2}{a^2}x_0^2 + 2cx_0 + a^2 = \left(a + \frac{c}{a}x_0\right)^2,$$

中间只用了 $b^2 = a^2-c^2$。而第 1 条给的 $|x_0|\leqslant a$ 与第 4 条给的 $0<e<1$ 一起保证 $a+ex_0>0$，所以开方不必带绝对值，直接得 $|PF_1| = a+ex_0$。

别去记哪个式子是加号，记这件事：点往左走（$x_0$ 变小）时离左焦点越来越近， 所以左焦半径必须随 $x_0$ 递增——只有 $a+ex_0$ 满足。两个自检点：

• 代端点：$x_0=-a$（左顶点）时 $a+ex_0 = a-c$ ✓，左顶点到左焦点正是 $a-c$；
• 和为 $2a$：$(a+ex_0)+(a-ex_0)=2a$ ✓，这一条同时保证两条式子没配错边。

由此还白得一条范围（求最值时常常就是它）：

$$a-c \leqslant |PF| \leqslant a+c,$$

两端分别在长轴的两个顶点取到。第 1 条给的是点的活动范围，这一条给的是距离的活动范围， 是同一件事的两种读法——课本那道行星轨道的例题（近日点 $a-c$、远日点 $a+c$）用的就是它。

焦点三角形：两条焦半径 $+$ 焦距

$P$ 与两焦点连成的 $\triangle PF_1F_2$ 是这一小节最常见的图形。它的三条边天生是 $|PF_1|$、$|PF_2|$、$|F_1F_2|=2c$，而椭圆定义又白送一条 $|PF_1|+|PF_2|=2a$。 于是「给一条焦半径求另一条」「给一个角求面积」都只是一次余弦定理的事。记 $\angle F_1PF_2=\theta$：

$$4c^2 = |PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos\theta = (2a)^2 - 2|PF_1||PF_2|(1+\cos\theta) \;\Longrightarrow\; |PF_1|\,|PF_2| = \frac{2b^2}{1+\cos\theta},$$ $$S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2}|PF_1|\,|PF_2|\sin\theta = \frac{b^2\sin\theta}{1+\cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2}.$$

（第一步把 $|PF_1|^2+|PF_2|^2$ 写成 $(|PF_1|+|PF_2|)^2-2|PF_1||PF_2|$，定义就进来了。） 最后那个 $b^2\tan\frac{\theta}{2}$ 在填空题上很省时间，但大题里要像上面这样推一遍再用， 不能直接引用——与第三节末那条中点弦斜率结论同理。另一条永远可用的写法是 $S=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot|y_0|$：给角用前者，给坐标用后者。

2019 年浙江卷第 15 题：这两件事的一次合演

题：椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的左焦点为 $F$，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方， 若线段 $PF$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心、$|OF|$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是____。

先读出 $a=3$、$b^2=5$、$c=2$，左焦点 $F(-2,0)$，右焦点记作 $F_1(2,0)$。然后三步：

1. 把「中点在圆上」翻译成长度。记那个中点为 $M$，那句长条件全部内容就是 $|OM| = |OF| = c = 2$。
2. 数中点。$M$ 是 $PF$ 的中点（题面给的），$O$ 是 $FF_1$ 的中点（题面没给， 但两个焦点天生对称于原点）。两个中点连起来，$OM$ 就是 $\triangle PFF_1$ 的中位线，于是 $|PF_1| = 2|OM| = 4$——配的是 $PF_1$ 不是 $PF$（中位线配的是它绕开的那个顶点的对边）。 再由定义得 $|PF| = 2a - |PF_1| = 2$。
3. 焦半径反求横坐标。$F$ 是左焦点，所以 $|PF| = a+ex_P = 3+\frac{2}{3}x_P = 2$， 得 $x_P = -\frac{3}{2}$；代回方程、按「在 $x$ 轴的上方」取正根得 $y_P = \frac{\sqrt{15}}{2}$，于是 $k = \dfrac{\sqrt{15}/2}{-3/2+2} = \sqrt{15}$。

这道题值得单独摆出来的地方：第 3 步换成焦点三角形更短。三条边已经是 $2$、$4$、$4$， 对 $\angle PFF_1$ 用一次余弦定理得 $\cos\angle PFF_1 = \frac{4+16-16}{2\cdot 2\cdot 4} = \frac{1}{4}$； 而 $F_1$ 在 $F$ 的正右方、$P$ 在上半平面，射线 $FF_1$ 就是 $x$ 轴正方向， 所以这个角就是直线 $PF$ 的倾斜角，它的正切正是斜率：$k = \tan\angle PFF_1 = \sqrt{15}$。 只问斜率（或角、面积）就留在三角形里；还要点的坐标、直线的方程，才落到坐标系里去。

五、易错清单

按失分频率排：

1. “轴长”与”半轴长”读混（见第一节第 3 条）。长轴长 $2a$、长半轴长 $a$；焦距 $2c$、半焦距 $c$。
2. 焦点位置未定时只写一种。 只给 $a$、$b$（或 $a$、$e$、长轴长之类）而没说焦点在哪条轴上时， 两个方程都要写。
3. 求最值时忘了 $x\in[-a,a]$。 把椭圆上的量写成关于 $x$ 的函数之后，定义域是那段闭区间， 最值可能在端点取到。
4. 算 $c$ 时用错关系式。 椭圆是 $c^2 = a^2 - b^2$（$a$ 最大）；写成 $c^2=a^2+b^2$ 就串到双曲线去了。
5. 联立后忘了检验 $\Delta$。 只要题目里出现”交于两点”，$\Delta>0$ 就是一个必须写出来的条件， 它常常还是求参数范围的那个不等式本身。
6. 弦长公式漏掉 $\sqrt{1+k^2}$，或者在 $k$ 不存在（竖直弦）时硬套公式。竖直弦直接用 $|y_1-y_2|$。
7. 第二定义里焦点与准线配错边。
8. 左右焦半径的加减号用反。 左焦半径是 $a+ex_0$、右焦半径是 $a-ex_0$（第四节）。 用反了 $x_0$ 会解成相反数，点被放到椭圆的另一侧，后面全错。代一次 $x_0=-a$ 就能验出来。
9. 点差法用完不补判别式。 它只用了”两点在椭圆上”，没用”弦真的存在”； 结论处必须补一句 $\Delta>0$，等价于中点落在椭圆内部。这是中点弦题最常见的失分点。
10. 把仿射压缩用到长度或角度上。 压成圆之后”垂直""等长”都不再对应原图； 能搬回去的只有共线、平行、中点、定比、面积之比。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。这一节挂着两个实体—— 公式 椭圆的离心率 与概念 对称中心——它们把两类很不一样的题拉了进来，读的时候要分开：

• 经由 椭圆的离心率 连过来的那些，是本节的正题，下面按由易到难挑四道：
  • 2023 年第 5 题（两个椭圆的离心率成比例）。只用第一节第 4 条那组换算， 走 $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ 比先求 $c$ 更快。它是那组换算的最短检验。
  • 2019 年第 15 题（$PF$ 的中点落在 $\odot O$ 上，求 $k_{PF}$）。它考的正是第四节那条焦半径： $|PF|=2$ 一经 $|PF|=a+ex_P$ 翻译，就变成了 $x_P=-\frac{3}{2}$，$e=\frac{2}{3}$ 在这里是主角而不是配角。 上面第四节已把它整道拆开讲过，在这份清单里它的位置是「焦半径的最短检验」。
  • 2024 年第 16 题（椭圆上两点定形状，由面积 $9$ 反求直线 $l$）。它把本节的椭圆性质与 §2.3.3 的点到直线距离公式接在一起：面积给出高，高给出 $l$ 的截距。
  • 2025 年第 18 题（椭圆定方程与最值）。第一问定 $a^2$、$b^2$；第二问是本节第三节那套 “联立 + 韦达”的完整演出，也可以用一步向量数乘绕过去。这道是本节的上限。
• 经由 对称中心 连过来的两道（2024 年第 18 题的对数函数、2025 年第 4 题的正切函数） 不是圆锥曲线题。它们与本节的交集只有”对称中心”这一个概念——本节第一节第 2 条给出了 椭圆的对称中心是原点，而那两道题问的是函数图象的对称中心。可以拿它们来体会同一个概念在不同 对象上的用法，但别指望本节的方法能做那两道题。

本节目录下这九页上共印着三组「练习」与一组「习题 3.1」，本份详解收 19 道。三组练习全收： 第 109 页（page-0114）那 4 道印在「3.1.2 椭圆的简单几何性质」这个标题之前，练的是上一小节的 椭圆定义与标准方程，但它与本节同页同目录，且它的内容正是本节四条性质的地基，故一并收入； 第 112 页（page-0117）5 道、第 114 页（page-0119）2 道是本节自己的练习。 「习题 3.1」（第 115–116 页）14 道里收属于本节主题的 8 道——第 3、4、5、7、8、12、13、14 题 （范围与顶点、离心率、第二定义、直线与椭圆）；第 1、2、6、9、10、11 题考的是 §3.1.1 的椭圆定义、 标准方程与轨迹（相关点法、两圆相切），归它自己那一节。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 109 页）第 1 题

1. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上一点 P 与焦点 $F_{1}$ 的距离等于 6，那么点 P 与另一个焦点 $F_{2}$ 的距离是 ____.

直接用椭圆的定义：椭圆上任一点到两焦点的距离之和是常数 $2a$。

由方程读出 $a^2 = 100$、$b^2 = 36$，故 $a = 10$，$2a = 20$。由定义

$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 20 \;\Longrightarrow\; |PF_2| = 20 - 6 = 14.$

这个 $6$ 取得到吗（否则算出来的 $14$ 是个空话）：$c^2 = a^2 - b^2 = 100 - 36 = 64$，$c = 8$， 椭圆上的点到一个焦点的距离在 $[a-c,\ a+c] = [2,\ 18]$ 之间取值（最近是长轴的近端顶点、最远是远端顶点）。 $6 \in [2, 18]$，这样的 $P$ 确实存在。

所以填 $14$。

练习（第 109 页）第 2 题

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) a=4, b=1, 焦点在 x 轴上;

(2) $a = 4, c = \sqrt{15}$, 焦点在 $y$ 轴上;

(3) $a + b = 10$ , $c = 2\sqrt{5}$ .

标准方程只有 $a^2$、$b^2$ 两个待定的数，所以每一小问的活儿都是”把 $a^2$、$b^2$ 凑齐， 再决定写成哪一种形式”。要用的关系只有 $b^2 = a^2 - c^2$（椭圆里 $a$ 最大）。

(1) $a = 4$、$b = 1$，焦点在 $x$ 轴上，所以 $a^2$ 在 $x^2$ 底下：

$\frac{x^2}{16} + y^2 = 1.$

(2) $a = 4$、$c = \sqrt{15}$，则 $b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 15 = 1$。焦点在 $y$ 轴上， 所以 $a^2$ 在 $y^2$ 底下：

$\frac{y^2}{16} + x^2 = 1.$

(3) 由 $c = 2\sqrt{5}$ 得 $c^2 = 20$，于是

$a^2 - b^2 = 20 \;\Longrightarrow\; (a+b)(a-b) = 20.$

已知 $a + b = 10$，代入得 $10(a-b) = 20$，即 $a - b = 2$。与 $a+b=10$ 联立：

$a = 6, \qquad b = 4.$

（核一下：$a^2 - b^2 = 36 - 16 = 20 = c^2$ ✓，且 $a > b > 0$ 成立。）

这一小问没有说焦点在哪条轴上，两种都满足条件，必须都写：

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \qquad \text{或} \qquad \frac{y^2}{36} + \frac{x^2}{16} = 1.$

只写一个是这道题唯一的错法——(1)(2) 都点明了焦点位置，(3) 故意没点。

练习（第 109 页）第 3 题

3. 经过椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $AB$，交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$F_{1}$ 是椭圆的左焦点.

(1) 求 $\triangle AF_{1}B$ 的周长；

(2) 如果 AB 不垂直于 x 轴， $\triangle AF_{1}B$ 的周长有变化吗？为什么？

由方程读出 $a^2 = 25$、$b^2 = 16$，故 $a = 5$、$b = 4$、$c = \sqrt{25-16} = 3$， $F_1(-3,0)$、$F_2(3,0)$。

(1) 三角形的三边是 $AF_1$、$BF_1$、$AB$。关键的一步是把 $|AB|$ 拆开： 弦 $AB$ 经过 $F_2$，且 $A$、$B$ 分居 $F_2$ 两侧（直线 $x=3$ 与椭圆交于 $(3, \pm\frac{16}{5})$， $F_2$ 在这两点之间），所以

$|AB| = |AF_2| + |BF_2|.$

于是周长

$L = |AF_1| + |BF_1| + |AB| = \big(|AF_1| + |AF_2|\big) + \big(|BF_1| + |BF_2|\big) = 2a + 2a = 4a = 20.$

用具体数字核一遍：把 $x = 3$ 代进椭圆方程，$\frac{9}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$， $y^2 = 16 \times \frac{16}{25} = \frac{256}{25}$，$y = \pm\frac{16}{5}$。于是 $A\left(3, \frac{16}{5}\right)$、 $B\left(3, -\frac{16}{5}\right)$，$|AF_2| = |BF_2| = \frac{16}{5}$，$|AB| = \frac{32}{5}$； $|AF_1| = 2a - |AF_2| = 10 - \frac{16}{5} = \frac{34}{5}$，$|BF_1|$ 同样是 $\frac{34}{5}$。 周长 $= \frac{34}{5} + \frac{34}{5} + \frac{32}{5} = \frac{100}{5} = 20$，与 $4a$ 相符。

(2) 周长不变，仍是 $20$。 理由：上面那段推导一次都没用到 $AB$ 垂直于 $x$ 轴， 只用到两件事——$A$、$B$ 都在椭圆上（给出两个 $2a$），以及弦 $AB$ 过右焦点 $F_2$ （给出 $|AB| = |AF_2|+|BF_2|$）。只要过焦点的弦这个条件还在，$A$、$B$ 就仍分居 $F_2$ 两侧， 拆分照旧成立，周长恒等于 $4a = 20$。

这道题的关键动作：看见”过焦点的弦”，就把它拆成两条焦半径，再用两次 $|MF_1|+|MF_2|=2a$。 “过焦点的三角形周长恒为 $4a$“是这个动作最短的一个推论。

练习（第 109 页）第 4 题

4. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-1, 0), (1, 0)$，直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$，且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的商是 2，点 $M$ 的轨迹是什么？为什么？

注意这道题给的是斜率之”商”，不是”积”（课本例 3 给的是积，结果是椭圆）。一字之差， 结果完全不同，这正是本题的用意。

设 $M(x,y)$。要让 $AM$、$BM$ 都有斜率且能相除，需要

$$x \neq -1 \ (\text{否则 } k_{AM} \text{ 不存在}), \qquad x \neq 1 \ (\text{否则 } k_{BM} \text{ 不存在}), \qquad y \neq 0 \ (\text{否则 } k_{BM} = 0，\text{商无意义}).$$

在这个前提下

$k_{AM} = \frac{y}{x+1}, \qquad k_{BM} = \frac{y}{x-1},$

由题设

$\frac{k_{AM}}{k_{BM}} = \frac{\dfrac{y}{x+1}}{\dfrac{y}{x-1}} = \frac{x-1}{x+1} = 2.$

（$y \neq 0$，所以分子分母里的 $y$ 可以约掉。）解这个方程：

$x - 1 = 2(x+1) \;\Longrightarrow\; x - 1 = 2x + 2 \;\Longrightarrow\; x = -3.$

$x = -3$ 自动满足 $x \neq \pm 1$，而 $y$ 只受 $y \neq 0$ 的限制。所以

点 $M$ 的轨迹是直线 $x = -3$，但要除去点 $(-3, 0)$。

为什么：条件里 $y$ 被整个约掉了，方程对 $x$ 是一次的——它约束的只是横坐标， 纵坐标可以取任意非零值，于是轨迹是一条竖直直线而不是椭圆。

回代核一遍：取 $M(-3, 4)$，则 $k_{AM} = \frac{4}{-3+1} = -2$，$k_{BM} = \frac{4}{-3-1} = -1$， 商 $\frac{-2}{-1} = 2$ ✓；再取 $M(-3,-7)$，$k_{AM} = \frac{-7}{-2} = 3.5$，$k_{BM} = \frac{-7}{-4} = 1.75$， 商 $= 2$ ✓。而 $M(-3,0)$ 时两条斜率都是 $0$，商写不出来，确实要挖掉。

练习（第 112 页）第 1 题

1. 你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？

能，一弧即可。 作法与依据如下。

依据。 设短轴的一个端点为 $B(0, b)$（图中椭圆短轴的上端点）。由对称性 $|BF_1| = |BF_2|$， 而由椭圆定义 $|BF_1| + |BF_2| = 2a$，所以

$|BF_1| = |BF_2| = a,$

即短轴端点到每个焦点的距离都等于长半轴长 $a$。（这也正是 $a^2 = b^2 + c^2$ 那个直角三角形： $\triangle BOF_2$ 中 $|BO| = b$、$|OF_2| = c$、斜边 $|BF_2| = a$。）

作法。 图中椭圆的长轴与短轴都已画出，于是长半轴长 $a$ 就是从中心 $O$ 到长轴端点的那一段。

1. 用圆规量取长半轴长 $a$（针尖放中心 $O$、笔尖放长轴的一个端点）；
2. 保持这个开度，把针尖移到短轴的一个端点 $B$，画弧；
3. 该弧与长轴交于两点，这两点就是焦点 $F_1$、$F_2$。

为什么这两个交点就是焦点：弧上的点到 $B$ 的距离都是 $a$，而落在长轴上、到 $B$ 的距离为 $a$ 的点 恰好有两个（关于中心对称），它们到中心的距离是 $\sqrt{a^2-b^2} = c$——正是焦点的位置。

练习（第 112 页）第 2 题

2. 求下列椭圆的焦点坐标：

(1) $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1;$

(2) $2x^{2}+y^{2}=8.$

求焦点坐标只需三步：化成标准形式 → 比较两个分母、大的那个是 $a^2$（焦点就在它对应的轴上）→ $c = \sqrt{a^2-b^2}$。

(1) 已是标准形式。两个分母 $100 > 36$，所以 $a^2 = 100$（在 $x^2$ 底下）、$b^2 = 36$， 焦点在 $x$ 轴上。

$c = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8 \;\Longrightarrow\; F_1(-8,\, 0),\ F_2(8,\, 0).$

(2) $2x^2 + y^2 = 8$ 不是标准形式（右边不是 $1$）。两边除以 $8$：

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1.$

两个分母 $8 > 4$，所以 $a^2 = 8$（在 $y^2$ 底下）、$b^2 = 4$，焦点在 $y$ 轴上。

$c = \sqrt{8-4} = 2 \;\Longrightarrow\; F_1(0,\, -2),\ F_2(0,\, 2).$

(2) 的坑在”$x^2$ 的系数大，焦点却在 $y$ 轴上”：要比的是标准形式里的分母，不是原方程里的系数。 系数越大，分母越小，方向正好相反。

练习（第 112 页）第 3 题

3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，a=6， $e=\frac{1}{3}$ ；(2) 焦点在 y 轴上，c=3， $e=\frac{3}{5}$ .

两小问都给了焦点位置，所以只要凑出 $a^2$、$b^2$。用 $e = \frac{c}{a}$ 在 $a$、$c$ 之间换算， 再用 $b^2 = a^2 - c^2$。

(1) $a = 6$，$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$，所以

$c = ae = 6 \times \frac{1}{3} = 2, \qquad b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 4 = 32.$

焦点在 $x$ 轴上，故

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1.$

(2) $c = 3$，$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$，所以

$a = \frac{c}{e} = \frac{3}{\frac{3}{5}} = 5, \qquad b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.$

焦点在 $y$ 轴上，故 $a^2$ 要写在 $y^2$ 底下：

$\frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1.$

两问都核一下 $0 < e < 1$ 与 $a > b > 0$：(1) 中 $a=6 > b=\sqrt{32} \approx 5.66$ ✓； (2) 中 $a=5 > b=4$ ✓。

练习（第 112 页）第 4 题

4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 经过 $P(-3, 0)$ ， $Q(0, -2)$ 两点； (2) 长轴长等于 20，离心率等于 $\frac{3}{5}$ .

(1) 两个已知点都在坐标轴上，这是一个很强的信息：椭圆与坐标轴的交点就是它的四个顶点， 所以 $P(-3,0)$ 是长轴或短轴在 $x$ 轴上的那个端点，$Q(0,-2)$ 是在 $y$ 轴上的那个端点。于是

$\text{$x$ 方向的半轴长} = 3, \qquad \text{$y$ 方向的半轴长} = 2.$

$3 > 2$，所以长轴在 $x$ 轴上、焦点在 $x$ 轴上，$a = 3$、$b = 2$：

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1.$

（也可以设 $mx^2 + ny^2 = 1\ (m>0,\ n>0,\ m \neq n)$，代入两点得 $9m = 1$、$4n = 1$， 即 $m = \frac{1}{9}$、$n = \frac{1}{4}$，同一个答案。这种设法的好处是不必先猜焦点在哪条轴上。）

(2) 长轴长 $2a = 20$，所以 $a = 10$（别把 $20$ 当成 $a$）。由 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ 得

$c = ae = 10 \times \frac{3}{5} = 6, \qquad b^2 = a^2 - c^2 = 100 - 36 = 64.$

这一小问没说焦点在哪条轴上，两种都要写：

$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1 \qquad \text{或} \qquad \frac{y^2}{100} + \frac{x^2}{64} = 1.$

练习（第 112 页）第 5 题

5. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ (1) $9x^{2} + y^{2} = 36$ 与 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ; (2) $x^{2} + 9y^{2} = 36$ 与 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ .

判据：离心率 $e = \frac{c}{a}$ 越小，椭圆越接近于圆（$e \to 0$ 时 $c \to 0$、两焦点合并， $b \to a$，图形变成圆）。所以每一组各算一个 $e$，比大小即可。注意不能比 $a$ 或 $b$ 的绝对大小—— 那说的是椭圆多大，不是多扁。

(1) 第一个：$9x^2+y^2=36$ 除以 $36$ 得 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{36} = 1$， $a^2 = 36 > b^2 = 4$，$a = 6$、$b = 2$，

$c = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \qquad e_1 = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.9428.$

第二个：$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$，$a^2 = 16$、$b^2 = 12$，$a = 4$，

$c = \sqrt{16-12} = 2, \qquad e_2 = \frac{2}{4} = 0.5.$

$e_2 = 0.5 < e_1 \approx 0.9428$，所以 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 更接近于圆。

(2) 第一个：$x^2+9y^2=36$ 除以 $36$ 得 $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{4} = 1$， $a^2 = 36$、$b^2 = 4$，$a = 6$，

$c = \sqrt{36-4} = 4\sqrt{2}, \qquad e_1 = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.9428.$

第二个：$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{10}=1$，两个分母 $10 > 6$，所以 $a^2 = 10$（焦点在 $y$ 轴上）、 $b^2 = 6$，$a = \sqrt{10}$，

$c = \sqrt{10-6} = 2, \qquad e_2 = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \approx 0.6325.$

$e_2 \approx 0.6325 < e_1 \approx 0.9428$，所以 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{10}=1$ 更接近于圆。

换一条路核一遍：由 $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2}$ 可知，$\dfrac{b}{a}$ 越大 $e$ 越小。 (1) 中 $\frac{b}{a}$ 分别是 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 与 $\frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0.866$； (2) 中分别是 $\frac{1}{3}$ 与 $\frac{\sqrt6}{\sqrt{10}} \approx 0.775$。两组都是后者的 $\frac{b}{a}$ 更大， 结论一致。（第二个椭圆在 (2) 里焦点在 $y$ 轴上，比 $\frac{b}{a}$ 时要拿短半轴比长半轴， 别按 $x$、$y$ 的位置去比。）

练习（第 114 页）第 1 题

1. 求下列直线与椭圆的交点坐标：

(1) $3x + 10y - 25 = 0, \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1;$ (2) $3x - y + 2 = 0, \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1.$

求交点就是解方程组：从直线方程解出一个变量，代进椭圆方程消元，解出来再回代直线方程求另一个坐标。 （回代直线方程而不是椭圆方程——后者会解出两个 $y$，其中一个不在直线上。）

(1) 由 $3x + 10y - 25 = 0$ 得 $x = \dfrac{25-10y}{3}$。代进 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4}=1$：

$\frac{(25-10y)^2}{9 \times 25} + \frac{y^2}{4} = 1.$

两边同乘 $900$（$= 9\times 25\times 4$）：

$4(25-10y)^2 + 225y^2 = 900.$

$(25-10y)^2 = 625 - 500y + 100y^2$，于是

$$2500 - 2000y + 400y^2 + 225y^2 = 900 \;\Longrightarrow\; 625y^2 - 2000y + 1600 = 0.$$

两边除以 $25$：

$25y^2 - 80y + 64 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (5y - 8)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{8}{5}.$

（判别式 $\Delta = 80^2 - 4\times 25\times 64 = 6400 - 6400 = 0$，只有一个公共点，直线与椭圆相切。）

回代直线方程：$x = \dfrac{25 - 10 \times \frac{8}{5}}{3} = \dfrac{25-16}{3} = 3$。

所以交点只有一个：$\left(3,\ \dfrac{8}{5}\right)$。

核一遍：$\dfrac{9}{25} + \dfrac{(8/5)^2}{4} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{64/25}{4} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$✓；$3\times 3 + 10 \times \frac85 - 25 = 9 + 16 - 25 = 0$✓。

(2) 由 $3x - y + 2 = 0$ 得 $y = 3x + 2$。代进 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$，两边乘 $16$：

$$x^2 + 4(3x+2)^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x^2 + 36x^2 + 48x + 16 = 16 \;\Longrightarrow\; 37x^2 + 48x = 0.$$

$x(37x + 48) = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{48}{37}.$

（$\Delta = 48^2 - 0 > 0$，两个不同的实根，两个交点。）

回代 $y = 3x+2$：$x_1 = 0 \Rightarrow y_1 = 2$； $x_2 = -\dfrac{48}{37} \Rightarrow y_2 = -\dfrac{144}{37} + \dfrac{74}{37} = -\dfrac{70}{37}$。

所以两个交点是 $(0,\ 2)$ 与 $\left(-\dfrac{48}{37},\ -\dfrac{70}{37}\right)$。

核一遍：$(0,2)$ 显然在椭圆上（$\frac{4}{4}=1$）也在直线上； $\left(-\frac{48}{37}\right)^2 / 16 + \left(-\frac{70}{37}\right)^2 / 4 = \dfrac{2304}{16 \times 1369} + \dfrac{4900}{4 \times 1369} = \dfrac{144}{1369} + \dfrac{1225}{1369} = \dfrac{1369}{1369} = 1$ ✓。

练习（第 114 页）第 2 题

2. 经过椭圆 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，求线段 $AB$ 的长.

第一步：定出焦点。 $a^2 = 2$、$b^2 = 1$，$c^2 = a^2 - b^2 = 1$，$c = 1$， 左焦点 $F_1(-1, 0)$。

第二步：写出直线。 倾斜角 $60^\circ$，斜率 $k = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$，过 $F_1(-1,0)$：

$l: y = \sqrt{3}(x+1).$

第三步：联立消元。 代进 $\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$，两边乘 $2$：

$$x^2 + 2 \times 3(x+1)^2 = 2 \;\Longrightarrow\; x^2 + 6(x^2 + 2x + 1) = 2 \;\Longrightarrow\; 7x^2 + 12x + 4 = 0.$$

先验 $\Delta$（这是”确有两个交点”的前提，不能跳）：

$\Delta = 12^2 - 4 \times 7 \times 4 = 144 - 112 = 32 > 0,$

两个不同实根，$A$、$B$ 存在。由韦达定理

$x_1 + x_2 = -\frac{12}{7}, \qquad x_1x_2 = \frac{4}{7}.$

第四步：弦长公式。 因为 $y_1 - y_2 = k(x_1-x_2)$，所以

$|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{1+k^2}\,\big|x_1 - x_2\big|,$

而

$$(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = \frac{144}{49} - \frac{16}{7} = \frac{144}{49} - \frac{112}{49} = \frac{32}{49},$$

故 $|x_1-x_2| = \dfrac{\sqrt{32}}{7} = \dfrac{4\sqrt{2}}{7}$，而 $\sqrt{1+k^2} = \sqrt{1+3} = 2$。于是

$|AB| = 2 \times \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{8\sqrt{2}}{7}.$

换一条路核一遍（解出坐标硬算）：$x = \dfrac{-12 \pm \sqrt{32}}{14} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt2}{7}$， 两根之差 $\dfrac{4\sqrt2}{7}$，与上面一致；纵坐标之差为 $\sqrt3 \times \dfrac{4\sqrt2}{7} = \dfrac{4\sqrt6}{7}$， 于是 $|AB| = \sqrt{\dfrac{32}{49} + \dfrac{96}{49}} = \sqrt{\dfrac{128}{49}} = \dfrac{8\sqrt2}{7}$ ✓。

这道题的关键动作：弦长不必先解出两点坐标——$\sqrt{1+k^2}$ 配上韦达定理的两个式子就够， 遇到系数难看的方程时能省一大截计算。

习题 3.1 第 3 题

3. 求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形： (1) $x^{2} + 4y^{2} = 16$ ; (2) $9x^{2} + y^{2} = 81$ .

两问都是”由方程读性质”，动作固定：化标准形式 → 认 $a^2$、$b^2$ 与焦点所在轴 → 算 $c$ → 逐项写出。

(1) $x^2 + 4y^2 = 16$ 两边除以 $16$：

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1.$

$16 > 4$，故 $a^2 = 16$（在 $x^2$ 底下）、$b^2 = 4$，即 $a = 4$、$b = 2$，焦点在 $x$ 轴上，

$c = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$

• 长轴长 $2a = 8$，短轴长 $2b = 4$；
• 离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.866$；
• 焦点 $\left(-2\sqrt3,\, 0\right)$、$\left(2\sqrt3,\, 0\right)$；
• 顶点 $(-4,0)$、$(4,0)$、$(0,-2)$、$(0,2)$。

图形：先在坐标系里标出四个顶点 $(\pm4, 0)$、$(0,\pm2)$，用直线 $x=\pm4$、$y=\pm2$ 围出一个 $8 \times 4$ 的矩形框（第一节的”范围”说的就是它），再在框内把四个顶点光滑地连成一条闭曲线； 焦点标在 $x$ 轴上距原点 $2\sqrt3 \approx 3.46$ 处，位于顶点 $(\pm 4,0)$ 与中心之间、靠近顶点。

(2) $9x^2 + y^2 = 81$ 两边除以 $81$：

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{81} = 1.$

$81 > 9$，故 $a^2 = 81$（在 $y^2$ 底下）、$b^2 = 9$，即 $a = 9$、$b = 3$，焦点在 $y$ 轴上，

$c = \sqrt{81-9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$

• 长轴长 $2a = 18$，短轴长 $2b = 6$；
• 离心率 $e = \dfrac{6\sqrt2}{9} = \dfrac{2\sqrt2}{3} \approx 0.943$；
• 焦点 $\left(0,\, -6\sqrt2\right)$、$\left(0,\, 6\sqrt2\right)$；
• 顶点 $(0,-9)$、$(0,9)$、$(-3,0)$、$(3,0)$。

图形：矩形框是 $6 \times 18$（横窄竖高），长轴在 $y$ 轴上，焦点标在 $y$ 轴距原点 $6\sqrt2 \approx 8.49$ 处，很靠近上下两个顶点——这与 $e \approx 0.943$ 接近 $1$、椭圆很扁相符。

两问对照着看正好说明一件事：$x^2$ 的系数大，反而是 $x$ 方向的半轴短。(2) 里 $x^2$ 的系数 $9$ 最大，而 $x$ 方向的半轴只有 $3$。

习题 3.1 第 4 题

4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 经过 $P(-2\sqrt{2}, 0)$ , $Q(0, \sqrt{5})$ 两点；

(2) 长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 $P(3,0)$ ;

(3) 焦距是 8，离心率等于 0.8.

(1) 两个点都在坐标轴上，所以它们就是椭圆的顶点：$x$ 方向的半轴长是 $2\sqrt2$， $y$ 方向的半轴长是 $\sqrt5$。比较大小——$(2\sqrt2)^2 = 8 > 5 = (\sqrt5)^2$，所以 $2\sqrt2 > \sqrt5$，长轴在 $x$ 轴上：

$a^2 = 8, \qquad b^2 = 5, \qquad \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{5} = 1.$

（核：两点都满足此方程——$\frac{8}{8} + 0 = 1$ ✓，$0 + \frac{5}{5} = 1$ ✓。）

(2) “长轴长是短轴长的 3 倍”即 $2a = 3 \times 2b$，也就是 $a = 3b$。 点 $P(3,0)$ 在 $x$ 轴上，所以它是椭圆在 $x$ 方向的顶点，$x$ 方向的半轴长是 $3$。 但 $x$ 方向的半轴是长半轴还是短半轴，题目没说，两种情形都要讨论：

情形一：焦点在 $x$ 轴上（$x$ 方向是长轴）。此时 $a = 3$，由 $a = 3b$ 得 $b = 1$：

$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1.$

核：$a = 3 > b = 1 > 0$ ✓，$2a = 6 = 3 \times 2 = 3 \times 2b$ ✓，过 $P(3,0)$ ✓。

情形二：焦点在 $y$ 轴上（$x$ 方向是短轴）。此时 $b = 3$，由 $a = 3b$ 得 $a = 9$：

$\frac{y^2}{81} + \frac{x^2}{9} = 1.$

核：$a = 9 > b = 3 > 0$ ✓，$2a = 18 = 3 \times 6 = 3 \times 2b$ ✓，过 $P(3,0)$ ✓。

两个都是答案。只写第一种是这道题最常见的失分：$P(3,0)$ 只说明”$x$ 方向的顶点在 $3$”， 没说那是长轴。

(3) 焦距 $2c = 8$，所以 $c = 4$；由 $e = \dfrac{c}{a} = 0.8 = \dfrac45$ 得

$a = \frac{c}{e} = \frac{4}{0.8} = 5, \qquad b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9.$

焦点在哪条轴上没说，两种都写：

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \qquad \text{或} \qquad \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{9} = 1.$

习题 3.1 第 5 题

5. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上的一点，且以点 $P$ 及焦点 $F_1, F_2$ 为顶点的三角形的面积等于1，求点 $P$ 的坐标.

第一步：定出焦点。 $a^2 = 5$、$b^2 = 4$，$c^2 = 5 - 4 = 1$，$c = 1$， $F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$，$|F_1F_2| = 2c = 2$。

第二步：把面积写成 $P$ 的纵坐标。 设 $P(x_0, y_0)$。以 $F_1F_2$ 为底，它在 $x$ 轴上、长为 $2$， 则底边上的高就是 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $|y_0|$：

$S = \frac{1}{2} \times |F_1F_2| \times |y_0| = \frac{1}{2} \times 2 \times |y_0| = |y_0|.$

由 $S = 1$ 得 $|y_0| = 1$，即 $y_0 = \pm 1$。

（顺带说明三角形存在这个前提：$y_0 \neq 0$，$P$ 不在 $x$ 轴上，$P$、$F_1$、$F_2$ 不共线， 确实构成三角形。$|y_0| = 1$ 已经保证了这一点。）

第三步：回椭圆方程求横坐标。 把 $y_0^2 = 1$ 代进 $\dfrac{x_0^2}{5} + \dfrac{y_0^2}{4} = 1$：

$$\frac{x_0^2}{5} = 1 - \frac14 = \frac34 \;\Longrightarrow\; x_0^2 = \frac{15}{4} \;\Longrightarrow\; x_0 = \pm\frac{\sqrt{15}}{2}.$$

$y_0$ 与 $x_0$ 的符号互不牵连，所以共有四个点：

$$P\left(\frac{\sqrt{15}}{2},\, 1\right),\quad P\left(-\frac{\sqrt{15}}{2},\, 1\right),\quad P\left(\frac{\sqrt{15}}{2},\, -1\right),\quad P\left(-\frac{\sqrt{15}}{2},\, -1\right).$$

核一遍：$|y_0| = 1$ 满足 $|y_0| \leqslant b = 2$（在椭圆的范围内）； $\left|\frac{\sqrt{15}}{2}\right| = \frac{3.873}{2} \approx 1.94 \leqslant a = \sqrt5 \approx 2.236$ ✓； 面积 $= \frac12 \times 2 \times 1 = 1$ ✓。

四个点缺一不可：椭圆关于两条坐标轴都对称，一个解就带出四个对称的兄弟。 只写一个或两个是这道题的典型失分。

习题 3.1 第 7 题

7. 彗星 “紫金山一号” 是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心 1.486 天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心 5.563 天文单位（1 天文单位是太阳到地球的平均距离，约 $1.5 \times 10^{8}$ km），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。

建系。 题目说近日点、远日点与太阳中心共线，这条线就是椭圆的长轴所在直线 （长轴的两个端点正是离焦点最近与最远的点）。取它为 $x$ 轴、椭圆中心为原点， 设太阳位于焦点 $F(c, 0)$（放在正半轴那一侧，另一侧同理，只是图形左右翻转）。

近日点与远日点分别是长轴的两个端点：设长半轴长 $a$、半焦距 $c$，则

$\text{最近距离} = a - c = 1.486, \qquad \text{最远距离} = a + c = 5.563.$

（这两条是本节”范围 + 顶点”的直接推论：椭圆上的点到焦点的距离在 $[a-c,\ a+c]$ 内变化， 两端恰在长轴的两个顶点取到。）

解出 $a$、$c$。 两式相加、相减：

$$a = \frac{5.563 + 1.486}{2} = \frac{7.049}{2} = 3.5245, \qquad c = \frac{5.563 - 1.486}{2} = \frac{4.077}{2} = 2.0385.$$

（单位：天文单位。这里刻意保留到小数点后四位，不提前四舍五入。）

求 $a^2$、$b^2$。

$a^2 = 3.5245^2 = 12.42210025,$

$b^2 = a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) = 1.486 \times 5.563 = 8.266618.$

（用 $(a-c)(a+c)$ 比先算 $c^2 = 2.0385^2 = 4.15548225$ 再相减更省事，两条路结果相同： $12.42210025 - 4.15548225 = 8.266618$ ✓。）

所求轨道方程（单位：天文单位）：

$\frac{x^2}{12.4221} + \frac{y^2}{8.2666} = 1$

（分母保留四位小数）。

核一遍：$c = \sqrt{12.42210025 - 8.266618} = \sqrt{4.15548225} = 2.0385$ ✓； $a - c = 3.5245 - 2.0385 = 1.486$ ✓，$a + c = 5.563$ ✓。 离心率 $e = \dfrac{2.0385}{3.5245} \approx 0.578$，是一个相当扁的椭圆，与彗星轨道的常识相符。

题面里”1 天文单位约 $1.5 \times 10^8$ km”只是给出单位的量级，方程本身用天文单位写最干净； 若一定要换成 km，把 $a$、$b$ 各乘 $1.5 \times 10^8$ 即可（$a \approx 5.29 \times 10^8$ km、 $b \approx 4.31 \times 10^8$ km）。

习题 3.1 第 8 题

8. 点 $M$ 与定点 $F(2,0)$ 的距离和它到定直线 $x = 8$ 的距离的比是 $1:2$，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

这是课本例 6 的同型题——第二定义的正面考法。设 $M(x, y)$，它到直线 $x = 8$ 的距离是 $|x - 8|$， 由题设

$\frac{\sqrt{(x-2)^2 + y^2}}{|x-8|} = \frac{1}{2}.$

（分母 $|x-8| \neq 0$：若 $x = 8$，左边分子 $\sqrt{36+y^2} \geqslant 6 > 0$ 而分母为 $0$， 比值无意义，故 $M$ 不在直线 $x=8$ 上，这个限制在最后的答案里会自动满足。）

去分母：$2\sqrt{(x-2)^2+y^2} = |x-8|$。两边都非负，平方是同解变形：

$4\big[(x-2)^2 + y^2\big] = (x-8)^2.$

展开：

$$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 = x^2 - 16x + 64 \;\Longrightarrow\; 3x^2 + 4y^2 = 48.$$

两边除以 $48$：

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1.$

轨迹是椭圆：$a^2 = 16 > b^2 = 12$，故 $a = 4$、$b = 2\sqrt3$， $c = \sqrt{16-12} = 2$，中心在原点、焦点在 $x$ 轴上，焦点为 $(\pm 2, 0)$， 长轴长 $8$、短轴长 $4\sqrt3$，离心率 $e = \dfrac24 = \dfrac12$。

三处自洽性核对（这道题很值得核，因为它把第二定义的三个量都算出来了）：

1. 题给的定点 $F(2,0)$ 正是算出来的右焦点 ✓；
2. 题给的比 $\frac12$ 正是算出来的离心率 $e$ ✓；
3. 题给的定直线 $x = 8$ 正是相应于该焦点的准线 $x = \dfrac{a^2}{c} = \dfrac{16}{2} = 8$ ✓。

三条对上，说明这道题就是”按第二定义反着造一个椭圆”。而 $x$ 的范围 $[-4, 4]$ 全都小于 $8$， 前面那句”$M$ 不在直线 $x=8$ 上”自动成立，不需要额外挖点。

习题 3.1 第 12 题

12. 已知地球运行的轨道是长半轴长 $a = 1.50 \times 10^{8} \mathrm{~km}$，离心率 $e = 0.0192$ 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离.

与第 7 题是同一件事的正反两面：那边由最远最近距离求方程，这边由 $a$、$e$ 求最远最近距离。

要用的两条：$c = ae$；椭圆上的点到一个焦点的距离在 $[a-c,\ a+c]$ 内变化， 最小值 $a - c$ 在近端顶点取到、最大值 $a + c$ 在远端顶点取到。

先求半焦距：

$c = ae = 1.50 \times 10^{8} \times 0.0192 = 2.88 \times 10^{6}\ (\mathrm{km}).$

（$1.50 \times 0.0192 = 0.0288$，即 $0.0288 \times 10^8 = 2.88 \times 10^6$。）

最大距离：

$a + c = 1.50 \times 10^{8} + 0.0288 \times 10^{8} = 1.5288 \times 10^{8}\ (\mathrm{km}).$

最小距离：

$a - c = 1.50 \times 10^{8} - 0.0288 \times 10^{8} = 1.4712 \times 10^{8}\ (\mathrm{km}).$

核一遍：两者之和 $= 2a = 3.00 \times 10^8$ ✓（这正是椭圆定义里的 $2a$， 因为近端顶点与远端顶点到同一个焦点的距离之和等于到两个焦点的距离之和）； 两者之差 $= 2c = 5.76 \times 10^6$ ✓。

$e = 0.0192$ 很接近 $0$，所以地球轨道几乎是圆——最远与最近只差约 $3.8\%$，这与常识相符。

习题 3.1 第 13 题

13. 已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$，直线 $l: 4x - 5y + 40 = 0$。椭圆上是否存在一点，使得：

(1) 它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？

(2) 它到直线 l 的距离最大？最大距离是多少？

思路：平移法。 把 $l$ 平行地推向椭圆，第一次碰到椭圆的位置给出最小距离， 推到另一侧最后一次碰到的位置给出最大距离。这两个”碰到”就是相切。

设与 $l$ 平行的直线为

$l_m: 4x - 5y + m = 0.$

与椭圆联立（由 $l_m$ 得 $y = \dfrac{4x+m}{5}$，代进 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$，两边乘 $225$）：

$9x^2 + (4x+m)^2 = 225 \;\Longrightarrow\; 25x^2 + 8mx + m^2 - 225 = 0.$

$\Delta = 64m^2 - 100(m^2-225) = -36m^2 + 22500 = 36\,(625 - m^2).$

相切即 $\Delta = 0$，得 $m^2 = 625$，$m = \pm 25$，两条切线

$l_{25}: 4x-5y+25 = 0, \qquad l_{-25}: 4x-5y-25 = 0.$

先确认 $l$ 与椭圆不相交（否则”最小距离”就是 $0$ 了）：把 $m = 40$ 代入判别式， $\Delta = 36(625 - 1600) < 0$，$l$ 与椭圆没有公共点。于是最小距离确实是正数， 且它就是 $l$ 与近侧那条切线之间的距离。

两条平行线之间的距离（$4x-5y+40=0$ 与 $4x-5y+m=0$，系数已配平）：

$d(m) = \frac{|40 - m|}{\sqrt{4^2 + (-5)^2}} = \frac{|40-m|}{\sqrt{41}}.$

(1) 最小距离：取 $m = 25$（与 $l$ 同侧、离得近的那条），

$d_{\min} = \frac{|40-25|}{\sqrt{41}} = \frac{15}{\sqrt{41}} = \frac{15\sqrt{41}}{41} \approx 2.343.$

切点由 $m = 25$ 时的方程给出：$25x^2 + 200x + 400 = 0$，除以 $25$ 得 $x^2+8x+16 = 0$， 即 $(x+4)^2 = 0$，$x = -4$；$y = \dfrac{4 \times (-4) + 25}{5} = \dfrac{9}{5}$。 所以存在这样的点，它是 $\left(-4,\ \dfrac95\right)$，最小距离 $\dfrac{15\sqrt{41}}{41}$。

(2) 最大距离：取 $m = -25$，

$d_{\max} = \frac{|40-(-25)|}{\sqrt{41}} = \frac{65}{\sqrt{41}} = \frac{65\sqrt{41}}{41} \approx 10.152.$

切点：$m = -25$ 时 $25x^2 - 200x + 400 = 0$，即 $(x-4)^2 = 0$，$x = 4$； $y = \dfrac{16-25}{5} = -\dfrac95$。所以存在这样的点，它是 $\left(4,\ -\dfrac95\right)$， 最大距离 $\dfrac{65\sqrt{41}}{41}$。

换一条路核一遍（三角换元）：椭圆上的点可写成 $(5\cos\theta,\ 3\sin\theta)$，于是

$$d(\theta) = \frac{|20\cos\theta - 15\sin\theta + 40|}{\sqrt{41}} = \frac{|25\cos(\theta+\varphi) + 40|}{\sqrt{41}},$$

其中 $\varphi$ 满足 $\cos\varphi = \frac{20}{25}$、$\sin\varphi = \frac{15}{25}$ （由 $20\cos\theta - 15\sin\theta = 25\cos(\theta+\varphi)$ 得，$\sqrt{20^2+15^2} = 25$）。 $25\cos(\theta+\varphi) \in [-25, 25]$，故分子 $\in [15, 65]$（恒为正，再次说明 $l$ 与椭圆不相交）， 距离的范围是 $\left[\dfrac{15}{\sqrt{41}},\ \dfrac{65}{\sqrt{41}}\right]$——与切线法完全一致 ✓。

两个切点也可以顺手核在椭圆上：$\dfrac{16}{25} + \dfrac{(9/5)^2}{9} = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$ ✓。

习题 3.1 第 14 题

14. 已知椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$，一组平行直线的斜率是 $\frac{3}{2}$.

(1) 这组直线何时与椭圆有两个公共点?

(2) 当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

这组平行直线可统一写成

$l_m: y = \frac32 x + m \qquad (m \in \mathbf{R}),$

$m$ 是这一族里唯一变动的参数。

联立消元（代进 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$，两边乘 $36$）：

$$9x^2 + 4\left(\frac32 x + m\right)^2 = 36 \;\Longrightarrow\; 9x^2 + 4\left(\frac94 x^2 + 3mx + m^2\right) = 36,$$ $$9x^2 + 9x^2 + 12mx + 4m^2 - 36 = 0 \;\Longrightarrow\; 18x^2 + 12mx + 4m^2 - 36 = 0,$$

两边除以 $2$：

$$9x^2 + 6mx + 2m^2 - 18 = 0. \tag{$*$}$$

二次项系数 $9 \neq 0$，所以（$*$）恒为二次方程，公共点个数与它的实根个数一致。

(1) 有两个公共点 $\Longleftrightarrow$ （$*$）有两个不相等的实根 $\Longleftrightarrow \Delta > 0$：

$\Delta = (6m)^2 - 4 \times 9 \times (2m^2-18) = 36m^2 - 72m^2 + 648 = -36m^2 + 648 = 36\,(18 - m^2).$

$\Delta > 0 \iff m^2 < 18 \iff -3\sqrt{2} < m < 3\sqrt{2}.$

所以当且仅当直线的纵截距 $m$ 满足 $-3\sqrt2 < m < 3\sqrt2$ 时，这组直线与椭圆有两个公共点。 （$m = \pm 3\sqrt2$ 时相切，只有一个公共点；$|m| > 3\sqrt2$ 时没有公共点。）

(2) 证明。 设 $l_m$ 与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点为 $M(x_0, y_0)$， 其中 $m$ 取遍 $(-3\sqrt2,\ 3\sqrt2)$。由（$*$）与韦达定理

$$x_1 + x_2 = -\frac{6m}{9} = -\frac{2m}{3} \;\Longrightarrow\; x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{m}{3}.$$

中点在直线 $l_m$ 上，故

$y_0 = \frac32 x_0 + m = \frac32 \times \left(-\frac{m}{3}\right) + m = -\frac{m}{2} + m = \frac{m}{2}.$

由 $x_0 = -\dfrac{m}{3}$ 得 $m = -3x_0$，代进 $y_0 = \dfrac{m}{2}$：

$y_0 = \frac{-3x_0}{2} = -\frac32 x_0.$

这说明无论 $m$ 取 $(-3\sqrt2,\ 3\sqrt2)$ 中的哪个值，中点 $(x_0, y_0)$ 都满足同一个方程 $y = -\dfrac32 x$， 即所有中点都在直线 $y = -\dfrac32 x$ 上。证毕。

范围补充（把轨迹说完整）：$m$ 在 $(-3\sqrt2,\ 3\sqrt2)$ 内变化时 $x_0 = -\dfrac{m}{3}$ 取遍 $\left(-\sqrt2,\ \sqrt2\right)$，所以中点的集合是直线 $y = -\frac32 x$ 落在椭圆内部的那一段开线段，而不是整条直线。题目只要求证”在同一条直线上”，这一句是额外的精确化。

核一遍：取 $m = 0$，直线 $y = \frac32 x$ 过原点，与椭圆交于两个关于原点对称的点， 中点是原点 $(0,0)$，确实在 $y = -\frac32 x$ 上 ✓。再取 $m = 3$（$3 < 3\sqrt2 \approx 4.24$）： （$*$）成为 $9x^2 + 18x + 0 = 0$，即 $9x(x+2) = 0$，$x_1 = 0$、$x_2 = -2$， 中点 $x_0 = -1$，$y_0 = \frac32(-1) + 3 = \frac32$；而 $-\frac32 x_0 = \frac32$ ✓。

顺带记一条：这里 $k_{\text{弦}} \cdot k_{\text{中点线}} = \dfrac32 \times \left(-\dfrac32\right) = -\dfrac94$， 而椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的 $-\dfrac{b^2}{a^2}$ 里， $x^2$ 底下是 $4$、$y^2$ 底下是 $9$，两者之比正是 $-\dfrac94$。这条中点弦斜率关系对任何椭圆都成立， 可以用来快速验算，但大题里仍要像上面那样把过程写出来。