浙江 2012 年数学真题

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q01设集合 $A = \{x \mid 1 < x < 4\}$ ，集合 $B = \{x \mid x^2 - 2x - 3 \leq 0\}$ ，则 $A \cap (C_R B) =$
q02已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 - i} =$
q03设 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $l_1: ax + 2y - 1 = 0$ 与直线 $l_2: x + (a + 1)y + 4 = 0$ 平行”的
q04把函数 $y = \cos 2x + 1$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
q05设 $a, b$ 是两个非零向量
q06若从 1, 2, 3, …, 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有
q07设 $S_{n}$ 是公差为 $d$ （ $d \neq 0$ ）的无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题错误的是
q08如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线 $F_{1}B$ 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M．若 $\left|MF_{1}\right| = \left|F_{1}F_{2}\right|$ ，则 C 的离心率是
q09设 $a > 0, b > 0$
q10已知矩形 $ABCD$ ， $AB = 1$ ， $BC = \sqrt{2}$ 。将 $\Delta ABD$ 沿矩形的对角线 $BD$ 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
q11已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ____ cm³.
q12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是____。
q13设公比为 $q(q > 0)$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
q14若将函数 $f(x) = x^5$ 表示为
q15在 $\Delta ABC$ 中， $M$ 是 $BC$ 的中点， $AM = 3$ ， $BC = 10$ ，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =$ ____.
q16定义：曲线 $C$ 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离．已知曲线 $C_1: y = x^2 + a$ 到直线 $l: y = x$ 的距离等于曲线 $C_2: x^2 + (y + 4)^2 = 2$ 到直线 $l: y = x$ 的距离，则实数 $a = \underline{\hspace{2cm}}$ ．
q17设 $a \in R$ ，若 $x > 0$ 时均有 $\left[(a - 1)x - 1\right]\left(x^2 - ax - 1\right) \geq 0$ ，
q18(本题满分14分)在 $\Delta ABC$ 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 $\cos A=\frac{2}{3}$ ,
q19已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量 $X$ 为取出此3球所得分数之和.
q20如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面是边长为 $2\sqrt{3}$ 的菱形， $\angle BAD = 120^{\circ}$ ，且 $PA \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA = 2\sqrt{6}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $PB$ ， $PD$ 的中点.
q21如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分。（I）求椭圆 $C$ 的方程；
q22已知 $a > 0$ ， $b\in R$ ，函数 $f(x) = 4ax^{3} - 2bx - a + b$