浙江 2025 · 数学 q04

先看清楚：「对称中心」这四个字要求什么

假设你刚学正切。题面只有一句话，但里头有三件事得先弄明白。

第一件：什么叫图象的对称中心。 把图象绕着点 $P$ 转 $180^\circ$，若转完与原图象完全重合，$P$ 就是它的一个对称中心。转 $180^\circ$ 等于「以 $P$ 为中点把每个点反射过去」，所以当 $P=(a,0)$ 落在横轴上时，这句话写成式子就是

$$f(a+t)+f(a-t)=0\qquad(\text{对一切使两边都有定义的 }t)$$

左右等距的那两个点，纵坐标互为相反数——它们的中点恰好是 $(a,0)$。这个式子是本题唯一的出发点，两条路都从它长出来。

第二件：前面的系数 $2$ 与这件事无关。 本题 $f(x)=2\tan\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，上式两边同除以 $2$ 就把它约掉了。$2$ 只把图象竖直拉伸，不动任何一个对称中心。所以下面只需盯住 $\tan\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$。

第三件：要的是「最小的正 $a$」。 注意这句话的分量——对称中心不是一个点，而是一整族（正切有无穷多个），所以必须先把全族写出来，再从里面挑最小的正数。撞见一个就交卷，很可能不是最小的那个。

下面两条路。解法一套一句现成的通式，最短；解法二一句结论都不用背，直接从上面那个定义式把通式现场推出来——考场上记不准通式时，这条路是你的保险。

解法一：整体代换套通式

怎么想到的。 括号里那一整块 $x-\dfrac{\pi}{3}$ 只是「把自变量换了个名字」：令 $u=x-\dfrac{\pi}{3}$，函数就退回最基本的 $y=2\tan u$。基本函数的对称中心是一句可以背下来的话，套上去、再把 $u$ 解回 $x$ 就完了。这套「设整体 → 套通式 → 解回 $x$」就是整体代换，$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 那一类题也全用它。

第一步：基本函数的通式（别只记一半）。 $y=\tan u$ 周期是 $\pi$、是奇函数，图象在 $u=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 处断开（那里有竖直渐近线）。它的对称中心有两类：

• 零点处 $(k\pi,\,0)$：图象从这一点穿过横轴，绕它转 $180^\circ$ 与自己重合（奇函数加上周期性）；
• 渐近线处 $\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,0\right)$：两支之间的那个「断口」也是中心——左边一支冲向 $+\infty$、右边一支从 $-\infty$ 上来，绕断口转半圈正好换位。

对称中心不必是图象上的点，所以第二类一点也不矛盾。两类合起来正是正切函数的对称中心

$$u=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}$$

分母那个 $2$ 就是「两类各占一半」留下的痕迹。只记零点 $u=k\pi$ 会漏掉一半中心——这是本题最容易踩的地方。

第二步：代换、解回 $x$。 把 $u=x-\dfrac{\pi}{3}$ 代进通式：

$$x-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}$$

也就是说，$y=2\tan\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的对称中心是 $\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2},\,0\right)$。题目里的 $a$ 只能取这一族里的值。

解法二：回到定义现推通式

怎么想到的。 解法一第一步那句「$u=\dfrac{k\pi}{2}$」是背来的，而它偏偏最容易记错：到底是 $k\pi$ 还是 $\dfrac{k\pi}{2}$？与其赌记性，不如当场推。推的依据只有开头那个定义式，一条关于正切的现成结论都不需要。

第一步：把定义式写出来。 记 $c=a-\dfrac{\pi}{3}$（等于把待定的那个点搬到括号里面去）。约掉系数 $2$ 后，$(a,0)$ 是对称中心这件事就是：对一切使两边有定义的 $t$，

$$\tan(c+t)+\tan(c-t)=0$$

难点在「对一切 $t$」——一个含 $t$ 的式子要恒等于 $0$，光代几个 $t$ 试是不够的，得把它整体算出来。

第二步：通分合并（这一步是全解法的枢纽）。 把两个正切按 $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$ 通分：

$$\tan(c+t)+\tan(c-t)=\frac{\sin(c+t)\cos(c-t)+\cos(c+t)\sin(c-t)}{\cos(c+t)\cos(c-t)}$$

分子正好是和角公式 $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$ 的样子，取 $\alpha=c+t$、$\beta=c-t$，两者一加 $t$ 就抵消了：

$$\tan(c+t)+\tan(c-t)=\frac{\sin 2c}{\cos(c+t)\cos(c-t)}$$

分子里 $t$ 没了。 这就是值得通分的理由——含 $t$ 的东西全被赶进分母。

第三步：让它对一切 $t$ 恒为 $0$。 分子与 $t$ 无关，分母只在个别 $t$ 处为 $0$（那几个 $t$ 本来就不在讨论范围里，因为那时 $\tan$ 没定义）。所以整个分式恒为 $0$ 当且仅当

$$\sin 2c=0$$

第四步：解出来，顺带看清「两类中心」是从哪儿来的。 用二倍角公式 $\sin 2c=2\sin c\cos c$：

$$2\sin c\cos c=0\ \Longleftrightarrow\ \sin c=0\ \text{或}\ \cos c=0$$ $$\Longleftrightarrow\ c=k\pi\ (\text{正切的零点})\quad\text{或}\quad c=\frac{\pi}{2}+k\pi\ (\text{正切的渐近线})$$

两族并起来，间隔恰好是 $\dfrac{\pi}{2}$：

$$c=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}$$

这正是解法一背下来的那句话，现在它是算出来的——而且顺带解释了为什么分母是 $2$：$\sin c=0$ 给零点那一类，$\cos c=0$ 给渐近线那一类，一族都不能丢。代回 $c=a-\dfrac{\pi}{3}$：

$$a=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}$$

这两条路差在哪。 解法一是用结论：认出「$A\tan(\omega x+\varphi)$ 型 + 求对称中心」这个组合，套通式，三行写完；代价是通式记错就整题错，而它恰恰是最容易记成 $k\pi$ 的一句。解法二是造结论：只用对称中心的定义 + 和角公式，把通式当场造出来；慢一些，但它对 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 一视同仁——换成 $y=\sin(2x+1)$，把 $f(a+t)+f(a-t)$ 照样用和角公式展开、让与 $t$ 无关的那个因子为零，条件一样算得出来——而且它把「为什么正切多出渐近线那一族」这件事讲清楚了——记住这个推法，就再也不必赌自己记得住哪一句。

合流：在这一族里挑最小的正数

两条路给出同一族值：

$$a=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}$$

族里的数每隔 $\dfrac{\pi}{2}$ 出现一个，逐个试 $k$：

$$k=-1:\ -\frac{\pi}{6}\ (<0,\ \text{舍});\qquad k=0:\ \frac{\pi}{3};\qquad k=1:\ \frac{5\pi}{6};\qquad k=2:\ \frac{4\pi}{3}$$

从 $k=-1$ 的 $-\dfrac{\pi}{6}$ 直接跳到 $k=0$ 的 $\dfrac{\pi}{3}$，中间没有别的值，所以

$$a_{\min}=\frac{\pi}{3}$$

图上还能看出一件事：$k=0$ 那个中心 $\dfrac{\pi}{3}$ 是零点型的（曲线从它穿过横轴），而 $k=1$ 那个 $\dfrac{5\pi}{6}$ 是渐近线型的（曲线在那里断开）——两类中心交替出现，这就是间隔为 $\dfrac{\pi}{2}$ 而不是 $\pi$ 的样子。

对照选项。 A. $\dfrac{\pi}{4}$、B. $\dfrac{\pi}{2}$、C. $\dfrac{\pi}{3}$、D. $\dfrac{4\pi}{3}$，最小值 $\dfrac{\pi}{3}$ 对应 C，故选 C。

🕳️ 避坑

• 干扰项 A、B 压根不是对称中心：把 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 代进括号得 $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{12}$，不是 $\dfrac{k\pi}{2}$ 的形式；$x=\dfrac{\pi}{2}$ 代进去得 $\dfrac{\pi}{6}$，同样不是。别被「看起来更小」骗了——先验它是不是中心，再比大小。
• 只记零点 $u=k\pi$ 是这类题的头号失分点。本题即便只记零点也恰好得 $\dfrac{\pi}{3}$（最小正中心正好是零点型的那个），蒙对了不等于会了：把题面换成 $y=2\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$，最小正中心是渐近线型的 $\dfrac{\pi}{4}$，只记零点就会答成 $\dfrac{3\pi}{4}$。
• 系数 $2$ 是竖直放缩，不改变任何一个中心的横坐标；若误以为它把横坐标也缩了，整族值都会算歪。
• 「是对称中心」不等于「是最小正的对称中心」：D 给的 $\dfrac{4\pi}{3}$（$k=2$）确实是一个中心，只是更大；$k=-1$ 给的 $-\dfrac{\pi}{6}$ 也确实是中心，但它是负的、被 $a>0$ 挡在门外。求最小正值就得在整族里逐个试 $k$。
• 走解法二时别急着「代几个 $t$ 试试」：恒等式要对一切 $t$ 成立，代两三个数只能证伪、不能证成立。老老实实通分，把 $t$ 逼进分母。