浙江 2025 · 数学 q01

冷启动：复数是什么

假设你现在完全没学过复数。

第一步：为什么要有 $i$。 在实数里任何数的平方都 $\ge 0$，所以 $x^2=-1$ 无解。数学家干脆造一个新数、取名虚数单位 $i$，规定

$$i^2=-1$$

$i$ 不在实数轴上，它是一个「新方向」上的数。

第二步：复数长什么样。 形如 $a+bi$（$a,b$ 都是实数）的数叫复数。其中 $a$ 是实部、$b$ 是虚部。

⚠️ 最容易错的一点：虚部是 $b$，一个实数——它是 $i$ 前面的系数，不带 $i$。$-5+i$ 的虚部是 $1$，不是 $i$、也不是 $-5$。

题目在问什么。 求 $(1+5i)\,i$ 的虚部。下面两条路：一条老老实实算，一条画出来看。

解法一：展开后代入 i²=-1

怎么想到的。 复数乘法和多项式乘法一模一样、照分配律展开；唯一的新规矩是每遇到 $i^2$ 就换成 $-1$。既然只是一次乘法，直算就是最短的路。

① 分配律展开：

$$(1+5i)\,i=1\cdot i+5i\cdot i=i+5i^{2}$$

② 代入 $i^{2}=-1$（复数的乘法唯一的新规矩）：

$$i+5i^{2}=i+5\times(-1)=i-5$$

③ 化为标准代数形式 $a+bi$（实部写前面）：

$$(1+5i)\,i=-5+i,\qquad a=-5,\ b=1$$

④ 读虚部：$\operatorname{Im}\big((1+5i)\,i\big)=b=1$。

对照选项 A. $-1$、B. $0$、C. $1$、D. $6$，故选 C。

解法二：复平面上逆时针转 90°

怎么想到的。 在复平面上，复数 $a+bi$ 就是点 $(a,b)$（横轴实部、纵轴虚部）。而乘以 $i$ 有一个漂亮的几何动作：

$$(x+yi)\cdot i=xi+yi^{2}=-y+xi$$

也就是把点 $(x,y)$ 送到 $(-y,x)$——绕原点逆时针旋转 $90^\circ$。记住这一句，这类题连笔都不用动。

这道题：起点 $1+5i$ 是点 $(1,5)$，转 $90^\circ$ 落到 $(-5,1)$，即 $-5+i$。虚部就是它的纵坐标：

$$\operatorname{Im}=1$$

这两条路差在哪。 解法一是可以无脑推广的：乘任何复数都能这么展开。解法二只对「乘 $i$（或 $-i$、或模为 1 的数）」特别快，但它换来的是一眼看出结果落在哪个象限——选择题里常常这一眼就够了，也让「虚部是纵坐标」这件事变得没法记错。

🕳️ 避坑

• 虚部要的是 $b=1$（实数），不是 $bi=i$，更不是实部 $-5$。
• 千万别丢掉 $i^2=-1$：若把 $5i\cdot i$ 错当成 $5i$，会得到 $i+5i=6i$、误选 D（6）——这正是 D 这个干扰项埋的坑。
• 走解法二时别把旋转方向记反：$(x,y)\to(-y,x)$ 是逆时针；记反了会得到 $(5,-1)$，虚部答成 $-1$，正好掉进 A。