复平面

教材原文

如图 7.1-2，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 $z = a + bi$ 可用点 $Z(a, b)$ 表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

要点

复平面把「复数」这种代数对象搬到了平面上：复数 $z=a+bi$ 就是点 $Z(a,b)$，也可以看作从原点出发的向量 $\overrightarrow{OZ}$。于是复数的运算全都有了几何动作与之对应——加法是向量相加，而乘以 $i$ 恰好是绕原点逆时针旋转 $90^\circ$（把点 $(x,y)$ 送到 $(-y,x)$）。

这条对应关系是「代数算不出来就画出来看」的入口：涉及复数的模、辐角、旋转、轨迹的题，往往在复平面上一眼看穿。