浙江 2018 · 数学 q13

给了 $a$、$b$、$A$，求 $\sin B$ 和边 $c$。这是两边和其中一边的对角（SSA），不是两边夹角（SAS）：角 $A$ 对着的是 $a$，并不是 $b$、$c$ 的夹角里已经把 $c$ 钉死的那种。SSA 可能有两解、一解或无解，两解都要写出来再筛，筛完才谈得上填空。

第二空是边 $c$，不是角 $C$。图画的是筛完之后那个唯一的三角形。

解法一：正弦定理求 sin B，余弦定理求 c

怎么想到的。 第一空要的是某个角的正弦，而手上正好有「一边一对角」：$a$ 对着 $A$。正弦定理就是把「边」和「对角的正弦」配对的那座桥，先走它。第三边 $c$ 对的角完全不知道，正弦定理一下子使不上；但 $A$ 已知，余弦定理里出现 $a$、$b$、$c$、$A$ 四个量，缺的正好是 $c$。

① 边角互化，写出 $\sin B$。 正弦定理

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$

先验两个前提：三角形内角的正弦都为正，所以分母 $\sin A=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0$，可以交叉相乘。代入 $a=\sqrt{7}$、$b=2$：

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

② 由正弦值定角：两族都写，再逐一淘汰。 这是由正弦值定角漏解最容易踩的一步。$\sin B=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ 本身定不了 $B$：正弦相等的两族解在 $(0,\pi)$ 里给出两个角——一个锐、一个钝。记

$$\beta=\arcsin\frac{\sqrt{21}}{7}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$

则 $B=\beta$ 或 $B=\pi-\beta$。两支都要过内角和这一关：$A+B<\pi$（否则角 $C$ 没地方放）。

先比大小，不用估度数。$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，平方之后

$$\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)^{2}=\frac{21}{49}=\frac{3}{7},\qquad \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4},$$

$\dfrac{3}{7}<\dfrac{3}{4}$，故 $\sin\beta<\sin 60^{\circ}$。$\beta$ 与 $60^{\circ}$ 都在 $\bigl(0,\dfrac{\pi}{2}\bigr)$ 里，正弦在这段上递增，所以 $\beta<60^{\circ}$。于是钝角那一支

$$A+(\pi-\beta)=\frac{\pi}{3}+\pi-\beta=\frac{4\pi}{3}-\beta>\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\pi,$$

已经撑破内角和，舍去。只剩 $B=\beta$（锐角）。

另一条更快的筛法：大边对大角。$b=2$、$a=\sqrt{7}$，而 $2^{2}=4<7$，故 $b<a$，从而 $B<A=60^{\circ}$，$B$ 必是锐角，钝角那一支直接出局。两条筛法结论相同，写一条就够。

③ 余弦定理求 $c$。 把已知的 $A$ 放进余弦定理：

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$$

$\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$，$a^{2}=7$，$b=2$，代入得

$$7=4+c^{2}-2\cdot 2\cdot c\cdot\frac{1}{2}=4+c^{2}-2c,$$

即 $c^{2}-2c-3=0$，$(c-3)(c+1)=0$。边长必须为正，所以 $c=3$（$c=-1$ 舍）。

④ 回代自检。 把 $c=3$ 代回余弦定理的推论：

$$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{4+9-7}{2\cdot 2\cdot 3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},$$

与 $\cos 60^{\circ}$ 一致。再核对大小关系：$b=2<a=\sqrt{7}$ 对应 $B<A$，而刚才已经得到 $B$ 是比 $60^{\circ}$ 小的锐角，相符。

故

$$\sin B=\frac{\sqrt{21}}{7},\qquad c=3.$$

解法二：先余弦定理求 c，再由面积求 sin B

怎么想到的。 解法一是「先角后边」。也可以反过来：余弦定理把 $a$、$b$、$A$ 收成关于 $c$ 的二次方程，正根的个数本身就是 SSA 有几个三角形的判据——一根就一解，两根就两解，没有正根就无解。先把三角形的形状钉死，再从面积读 $\sin B$，就不必在正弦的两族解上打转。

① 对 $c$ 列方程。 仍是

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,$$

代入之后同样得到 $c^{2}-2c-3=0$。前提：$c>0$，故 $c=3$（$c=-1$ 舍）。只有一个正根，所以这个 SSA 只有一个三角形。 两解的那一支在这一步已经被二次方程滤掉了。

② 用面积把 $\sin B$ 读出来。 三角形面积公式两边夹角：

$$S=\frac12 bc\sin A=\frac12\cdot 2\cdot 3\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

另一组夹角是 $B$（夹 $a$、$c$）：

$$S=\frac12 ac\sin B.$$

$a>0$、$c>0$，可以除：

$$\sin B=\frac{2S}{ac}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

（面积公式里的正弦取正值，与三角形内角落在 $(0,\pi)$ 相符，这里没有正负号可讨论。）

③ 仍要确认 $B$ 是锐角。 面积只交出 $\sin B$，若题目问的是 $B$ 本身，钝角那一支还得另说。本题问的是 $\sin B$，数值已经唯一。若想把角也钉死，再用一次余弦定理：

$$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{7+9-4}{2\cdot\sqrt{7}\cdot 3}=\frac{2}{\sqrt{7}}>0,$$

故 $B$ 是锐角。这与解法一「$b<a\Rightarrow B<A$」是同一件事。

回代与解法一相同：$c=3$ 代回 $\cos A=\dfrac12$，边角大小关系 $b<a$ 对应 $B<A$，都相符。

两条路怎么选

填空题两空独立给分，解法一可以先把 $\sin B$ 填上再去折腾 $c$。解法二适合用来复核：两条路的工具几乎不重叠（一条用正弦定理，一条用面积），算出同一个数，基本可以断定没算错。

避坑

1. 由 $\sin B$ 直接写 $B$ 的锐角，钝角那一支提都不提。 即使最后要舍，也得写出来再舍，并写一句理由（内角和，或 $b<a\Rightarrow B<A$）。只写 $\sin B=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ 本题碰巧够用——问的就是正弦；若下一空改成求 $B$，漏写钝角就是漏解。
2. 第二空看成角 $C$。 题面问的是边 $c$。有人用 $C=180^{\circ}-A-B$ 去填，还得先把 $B$ 的度数算出来，既绕又容易把近似值写进填空。
3. 余弦定理展开时代错边。 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ 里，等式左边是角 $A$ 的对边，右边是另两边。写成 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos A$ 就是把已知角当成了 $c$ 的对角。
4. 二次方程漏舍负根。 $c=-1$ 必须写出来再标「边长为正，舍」。直接写 $c=3$ 是漏了理由。
5. 没核 $b$ 与 $a$ 的大小。 $2<\sqrt{7}$，所以 $B<A$，答案里的 $B$ 必须是锐角。这一行既筛两解，也给填完之后的自检。