抛物线

教材原文

我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点 $F$ 且垂直于直线 $l$ 的直线为 $x$ 轴，垂足为 $K$ ，并使原点与线段 $KF$ 的中点重合，建立平面直角坐标系 $Oxy$ 。设 $|KF| = p(p > 0)$ ，那么焦点 $F$ 的坐标为 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，准线 $l$ 的方程为 $x = -\frac{p}{2}$ 。

设 $M(x, y)$ 是抛物线上任意一点，点 $M$ 到准线 $l$ 的距离为 $d$。由抛物线的定义，

$P = \{M \mid | M F | = d \}.$

因为 $|MF| = \sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2}$, $d = \left|x + \frac{p}{2}\right|$,

$\sqrt {\left(x - \frac {p}{2}\right) ^ {2} + y ^ {2}} = \left| x + \frac {p}{2} \right|.$

将上式两边平方并化简，得

$$y ^ {2} = 2 p x (p > 0).\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点 $(x, y)$ 与抛物线的焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ 的距离和它到准线 $x = -\frac{p}{2}$ 的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上。我们把方程①叫做抛物线的标准方程。它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，准线是 $x = -\frac{p}{2}$ 的抛物线。

定义

平面内到定点 $F$（焦点）与到定直线 $l$（准线）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

标准方程

要点

• 定义式 $|PF|=d(P,l)$ 是解焦半径问题的核心。
• 通径（过焦点垂直于对称轴的弦）长为 $2p$，是焦点弦的最短者。