构造辅助数列

解题套路

1. 观察目标：题目提示要证的新数列（如 $\{na_n\}$）就是构造对象。
2. 整理递推：对原递推去分母 / 变形，凑出新数列相邻项差（或比）为常数。
3. 回代：得新数列通项后反解原数列通项。

用在本题

$\dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}$ 去分母得 $(n+1)a_{n+1}=na_n+1$，故 $\{na_n\}$ 公差为 $1$。