全概率公式

教材原文

$\boxed {P (B) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}) P (B \mid A _ {i}).}$

我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）。全概率公式是概率论中最基本的公式之一。

公式

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 两两互斥、$A_1\cup\cdots\cup A_n=\Omega$（一组完备事件）且 $P(A_i)>0$，则对任意事件 $B$：

用法

• 分情形求概率：当 $B$ 的发生「取决于先发生哪个 $A_i$」时，按 $A_i$ 把样本空间拆成互斥的几块，每块用乘法公式 $P(A_i)P(B\mid A_i)$，再相加。
• 列状态递推：若「第 $n+1$ 次的状态」取决于「第 $n$ 次的状态」，把第 $n$ 次的各状态取作 $A_i$，全概率公式直接给出 $P_{n+1}$ 关于 $P_n$ 的递推（典型如「命中则续投、否则换人」这类两步转移问题）。