浙江 2025 · 数学 q08

共用的开头：把三个数写成同一个参数的式子

这是一道比较大小题：条件把 $x,y,z$ 三个量绑在同一根链子上，问的是它们谁大谁小。这类题的主线永远是同一句话——先把各量统一表示，再想办法比。下面假设你刚会对数的定义，从零走一遍。

第一件事：对数式能反解成幂。 $a^{t}=N$ 与 $t=\log_a N$ 说的是同一件事，只是同一句话的两种写法。所以「$2+\log_2 x=$ 某个数」这句话，最后一定能把 $x$ 单独解出来。

第二件事：三段连等里藏着一个自由参数。 题面说

$$2+\log_2 x=3+\log_3 y=5+\log_5 z$$

它只说三段彼此相等，没说等于多少——这个「等于多少不知道」正是本题全部的自由度所在。既然是一个不知道的数，就先给它起个名字 $m$：

$$2+\log_2 x=3+\log_3 y=5+\log_5 z=m$$

于是三段各自变成一句关于 $m$ 的话，$\log_2 x=m-2$、$\log_3 y=m-3$、$\log_5 z=m-5$，再按第一件事反解成幂：

$$x=2^{\,m-2},\qquad y=3^{\,m-3},\qquad z=5^{\,m-5}$$

这一步就是引入参数比较：三个本来互不相干的量，现在都成了同一个 $m$ 的式子。反过来也成立——$m$ 随便取哪个实数，上面三个式子都算得出来、都是正数，配出的 $(x,y,z)$ 一定满足题面。所以这道题真正在问的是：

让 $m$ 在实数轴上跑遍一遍，$x,y,z$ 的大小顺序会出现哪几种？哪一种一次都不出现？

注意问的是「不可能」。 这个问法给了两个下手方向，正好对应下面两条路：

• 要说某个顺序可能，只需举出一个 $m$ 让它真的发生——这是解法一。
• 要说某个顺序不可能，必须把所有 $m$ 一次排查完——这是解法二。

解法一：取特值排除

怎么想到的。 这是单选题，四个顺序里恰好一个不可能。那就别去正面证「谁不可能」（难），改去给另外三个各抓一个现行（易）：找到一个 $m$，代进去算出来的顺序正好是那一项，那一项就可能、就被划掉。三个都划掉，剩下的那个不用算也知道是答案。这是把一道「证明题」换成三道「举例题」。

$m$ 该怎么挑。 三个式子 $2^{\,m-2}$、$3^{\,m-3}$、$5^{\,m-5}$ 的指数分别是 $m-2$、$m-3$、$m-5$。想算得干净，指数最好是整数——而 $m$ 取整数就同时把三个指数变成整数。所以只在整数 $m$ 里扫。

从哪个方向扫。 底数越大，指数式随 $m$ 涨得越快。$m$ 很小时三个指数都是很负的数，底数最大的 $z=5^{\,m-5}$ 掉得最狠、必然是最小的那个；$m$ 很大时它涨得最猛、必然是最大的那个。所以让 $m$ 从小往大走，顺序会一档一档翻过来，三种不同的顺序都扫得到：

• $m=2$：$x=2^{0}=1$，$y=3^{-1}=\dfrac13$，$z=5^{-3}=\dfrac{1}{125}$。因为 $1>\dfrac13>\dfrac{1}{125}$，此时 $x>y>z$——A 可能，划掉。
• $m=5$：$x=2^{3}=8$，$y=3^{2}=9$，$z=5^{0}=1$。因为 $9>8>1$，此时 $y>x>z$——C 可能，划掉。
• $m=8$：$x=2^{6}=64$，$y=3^{5}=243$，$z=5^{3}=125$。因为 $243>125>64$，此时 $y>z>x$——D 可能，划掉。

A、C、D 全被划掉，故答案是 B（$x>z>y$）。

挑 $2,5,8$ 不是碰运气：$m=2$ 让 $x$ 的指数归零、$m=5$ 让 $z$ 的指数归零，都是最好算的点；再往右多取一个 $m=8$，顺序又翻过一档。真做的时候从 $m=2$ 起一个个整数试过去，六七次乘方就够，考场上一分钟内出答案。

但这条路的短板要看清。 它证出来的只有「A、C、D 可能」三句话；「B 不可能」是靠「四选一、恰好剩一个」这个额外前提推出来的，不是算出来的。把这道题改成填空题「写出所有不可能的顺序」，解法一当场交不出答案。下面那条路才是正面回答。

解法二：取对数分段读顺序

怎么想到的。 解法一是抽样：抓到三个见证的 $m$ 就收工。要正面证「$x>z>y$ 从不出现」，抽样帮不上忙——非得把 $m$ 取遍实数，一次看完不可。

难处在于 $2^{\,m-2}$ 与 $3^{\,m-3}$ 直接比很难受：底数不一样，通分、约分都无从下手。钥匙是取对数。 $\ln$ 是单调递增的（这是对数函数的性质），而单调递增意味着取对数不改变大小顺序：

$$x>y\iff \ln x>\ln y$$

于是可以放心取。而取完之后，「指数式」正好被压成「一次式」：

$$\ln x=(m-2)\ln 2,\qquad \ln y=(m-3)\ln 3,\qquad \ln z=(m-5)\ln 5$$

三个数的大小之争，就变成了三条直线谁高谁低。直线的好处在于：两条斜率不同的直线恰好交一次，交点之前谁在上、之后就换成谁在上，不会来回摇摆。这里的斜率是 $\ln 2<\ln 3<\ln 5$，两两不等，所以三对比较各有恰好一个翻转点。

算三个翻转点。 逐对令两个一次式相等：

$$(m-2)\ln 2=(m-3)\ln 3\ \Longrightarrow\ m=\frac{3\ln 3-2\ln 2}{\ln 3-\ln 2}=\frac{\ln\frac{27}{4}}{\ln\frac{3}{2}}\approx 4.71$$ $$(m-2)\ln 2=(m-5)\ln 5\ \Longrightarrow\ m=\frac{5\ln 5-2\ln 2}{\ln 5-\ln 2}=\frac{\ln\frac{3125}{4}}{\ln\frac{5}{2}}\approx 7.27$$ $$(m-3)\ln 3=(m-5)\ln 5\ \Longrightarrow\ m=\frac{5\ln 5-3\ln 3}{\ln 5-\ln 3}=\frac{\ln\frac{3125}{27}}{\ln\frac{5}{3}}\approx 9.30$$

每个翻转点朝哪边翻。 看差式 $\ln x-\ln y=(\ln 2-\ln 3)\,m+(3\ln 3-2\ln 2)$：斜率 $\ln 2-\ln 3<0$，所以它随 $m$ 递减——$m$ 小的那一边是正的。三对都长这个样（底数小的减底数大的，斜率必为负），于是

$$x>y\iff m<4.71,\qquad x>z\iff m<7.27,\qquad y>z\iff m<9.30$$

三个点把 $m$ 轴切成四段，逐段把三句话读成一个顺序。

$m$ 的范围	$x,y$ 谁大	$x,z$ 谁大	$y,z$ 谁大	合起来的顺序
$m<4.71$	$x>y$	$x>z$	$y>z$	$x>y>z$（A）
$4.71<m<7.27$	$y>x$	$x>z$	$y>z$	$y>x>z$（C）
$7.27<m<9.30$	$y>x$	$z>x$	$y>z$	$y>z>x$（D）
$m>9.30$	$y>x$	$z>x$	$z>y$	$z>y>x$

（三个翻转点本身对应「两个数相等」，谈不上严格的大小顺序，不算一档。）

四段之外没有第五种。 三个数的排法一共 $3\times2\times1=6$ 种，上表只出现了四种；没出现的是 $x>z>y$（正是 B）与 $z>x>y$。

为什么恰好漏掉这两种：$y$ 永远不是最小的那个。 「$y$ 最小」这句话等于「$x>y$ 且 $z>y$」两句话。回头查那三条判据：$x>y$ 逼着 $m<4.71$，而 $z>y$ 逼着 $m>9.30$。一个 $m$ 不可能既小于 $4.71$ 又大于 $9.30$，所以 $y$ 最小这件事永不发生。而把 $y$ 摆在最后的排法只有 $x>z>y$ 与 $z>x>y$ 两种，它们就是那两个漏掉的。选项里只列了前一个，它就是答案：B。

（$4.71$ 与 $9.30$ 是近似值，但两者差了四点几，四舍五入再怎么抖也不会让这两个区间接上——这个矛盾不靠精确到小数点后第几位。）

这两条路差在哪。 解法一是抽样，解法二是普查。抽样借了题目的选择题结构（「四个里恰好一个不可能」），只要三个见证值，考场上最快；代价是它对 B 本身一无所知，只知道「剩下的那个」。普查不借任何结构：它把 $m$ 取遍实数、给出能出现的全部四种顺序，于是「B 不可能」是算出来的结论，还白送两个副产品——$z>y>x$ 也能出现，以及那句更本质的「$y$ 永远不是最小的」。代价是要动对数、要解三个方程。

所以两条路不是替代关系：先走解法一拿分，再用解法二给自己交底。

🕳️ 避坑

• 问的是「不可能」。A、C、D 三种顺序都真的会出现，算出其中任何一个都不是答案——最常见的失分就是把第一个试出来的顺序填上去。
• 移项方向别搞反：$2+\log_2 x=m$ 给的是 $\log_2 x=m-2$，不是 $m+2$。三个偏移量 $2,3,5$ 搬错任何一个，四段顺序全乱，而错的那份照样凑得出一个字母，错得毫无察觉。
• 只试一两个 $m$ 就宣布某个顺序「不可能」是站不住的——没试出来只说明你没试到那一段。解法一之所以能收工，全靠「四选一恰好剩一个」这个额外前提；若题目改问「写出所有不可能的顺序」，答案是两种（$x>z>y$ 与 $z>x>y$），必须走解法二。
• 取对数之后比的是 $\ln$ 值，不是原来那三个数。图上有直线跑到横轴下方，那只是说对应的数小于 1（如 $m=2$ 时 $z=\dfrac{1}{125}$），不是那个数变成了负数——$x,y,z$ 作为指数式永远为正。