3.2.2 双曲线的简单几何性质

这一节是 §3.1.2 那张「几何性质清单」跑第二遍：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。清单一样，但 双曲线是两支、无界、有两族渐近线、离心率大于 1——每一条的答案都和椭圆不同，而且不同的原因都在 同一个地方：方程里那一项减号。所以这一节的讲法是：清单整体过一遍（前三条快、渐近线和离心率停）， 然后例 5 把第二定义从椭圆搬过来、例 6 看直线与双曲线和与椭圆差在哪。§3.1.2 讲解里那句 「直线平行于渐近线时会退化成一次方程，先记住，学到 §3.2.2 用上」也在这节兑现。

一、清单：五个性质摆成一张变化表

课本开头的「思考」问该研究双曲线的哪些几何性质——答案是和椭圆同一张清单，但每一行都不一样：

每一行的差别都能从方程 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 读出来：椭圆是两项相加等于 1，所以 两个变量都有界；双曲线是相减等于 1，于是 $x$ 被 $\frac{x^2}{a^2} \geqslant 1$ 逼到两侧、$y$ 无界。 背这张表不如会读方程——后面每一条都是这句话的展开。

二、范围与对称性：两条几乎照抄椭圆

范围。 由方程

$\frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} \geqslant 1,$

所以 $x^2 \geqslant a^2$，即 $x \leqslant -a$ 或 $x \geqslant a$；$y$ 没有限制。课本配图（图 3.2-7）里 双曲线位于两条竖直线 $x = \pm a$ 的外侧——两支之间（$|x| < a$）没有曲线上的点，这是双曲线 与椭圆视觉上最大的差别：椭圆围住一块区域，双曲线反而把中间挖空。

对称性。 方程里 $x$、$y$ 都只出现偶次幂，所以关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点都对称——理由和椭圆一字不差。 双曲线的对称中心也叫双曲线的中心。

三、顶点、实轴与虚轴：双曲线只有两个顶点

令 $y = 0$，得 $x = \pm a$，于是双曲线与 $x$ 轴交于 $A_1(-a,0)$、$A_2(a,0)$——这就是顶点， 线段 $A_1A_2$ 是实轴，长 $2a$。

令 $x = 0$，得 $y^2 = -b^2$，没有实数解——双曲线与 $y$ 轴没有公共点！但课本还是把 $B_1(0,-b)$、$B_2(0,b)$ 画了上去，称线段 $B_1B_2$ 为虚轴，长 $2b$。

虚轴是”虚”的：它的两个端点不在双曲线上。 这是与椭圆最本质的一处差别——椭圆的四个顶点都 在曲线上，双曲线的四个”顶点”里只有两个是真的。所以：

• 把 $(0, \pm b)$ 代进方程一定不成立，它们不能拿来求切点、求弦长；
• 但虚轴不是没用的——下一节的渐近线就是从实轴、虚轴四条平行线围成的矩形里长出来的。

四、渐近线：这一节真正的新东西

渐近线从哪来。 过 $A_1$、$A_2$ 作 $y$ 轴的平行线 $x = \pm a$，过 $B_1$、$B_2$ 作 $x$ 轴的 平行线 $y = \pm b$，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线就是

$y = \pm \frac{b}{a} x.$

双曲线的两支向外无限延伸时，与这两条对角线无限接近，但永远不相交。这两条直线叫双曲线的 渐近线。

“无限接近但不相交”不是一句感觉话。 课本末尾的「探究与发现」给了严格证明：在第一象限， 双曲线 $y = \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ 与直线 $y = \frac{b}{a}x$ 的纵差是

$\frac{b}{a}\left(x - \sqrt{x^2-a^2}\right) = \frac{ab}{x + \sqrt{x^2-a^2}} \xrightarrow{x \to +\infty} 0,$

趋近于 0 但永不为 0。想看”多近”的细节就翻那一页；做题时记住结论就够： 渐近线给出曲线向外的走向，画草图、判断交点个数都要靠它。

等轴双曲线。 当 $a = b$ 时方程变成 $x^2 - y^2 = a^2$，实轴虚轴等长。此时三件事绑在一起：

$a = b \;\Longleftrightarrow\; e = \sqrt{2} \;\Longleftrightarrow\; \text{渐近线 } y = \pm x \text{ 互相垂直}.$

题目里出现”等轴双曲线”四个字，通常就是要你用这三件套之一反推 $a$、$b$。

五、离心率：$e > 1$，刻画”张口”

与椭圆一样，$e = \frac{c}{a}$。但双曲线里 $c > a$，所以

$e = \frac{c}{a} > 1.$

$e$ 刻画张口大小：$e$ 越接近 1，张口越小（两支越贴 $x$ 轴）；$e$ 越大，张口越大。

双曲线的 $e$ 与渐近线是一家。 由 $b^2 = c^2 - a^2$，

$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{c^2 - a^2}}{a} = \sqrt{e^2 - 1}.$

所以知道 $e$ 就知道渐近线斜率、知道渐近线斜率就知道 $e$——这是双曲线特有的联结（椭圆没有渐近线， $e$ 只和扁平程度挂钩）。课本「思考」问的正是这件事。

例 3 的动作：先化成标准方程再读性质。 求 $9y^2 - 16x^2 = 144$ 的实半轴长、虚半轴长、焦点、 离心率、渐近线方程。第一步是除以 144：

$\frac{y^2}{4^2} - \frac{x^2}{3^2} = 1.$

于是焦点在 $y$ 轴上：$a = 4$、$b = 3$、$c = 5$，焦点 $(0, \pm 5)$，$e = \frac{5}{4}$， 渐近线 $y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \frac{4}{3}x$。“正项在哪个变量下，实轴就在哪个轴上”—— $9y^2 - 16x^2 = 144$ 直接看会误以为 $a = 3$（$16$ 是 $x^2$ 的系数），标准化一步都不能省。

六、例 5：第二定义，从椭圆原样搬过来

例 5 与 §3.1.2 的例 6 是同一句话：动点到定点 $F$ 的距离与它到定直线 $l$ 的距离之比是常数 $e$。 椭圆那边 $e = \frac{4}{5} < 1$（$F(4,0)$、$l: x = \frac{25}{4}$）得到椭圆；这里 $e = \frac{4}{3} > 1$ （$F(4,0)$、$l: x = \frac{9}{4}$）得到双曲线：

$$\frac{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}}{\left|x - \frac{9}{4}\right|} = \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; 7x^2 - 9y^2 = 63 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1.$$

两处值得停下来：

1. 数字是自洽的，不是随便给的。 椭圆那边 $F(4,0)$ 配 $e = \frac{4}{5}$ 得 $a = 5$、准线 $x = \frac{a^2}{c} = \frac{25}{4}$；这里同一个 $F(4,0)$ 配 $e = \frac{4}{3}$ 得 $a = 3$、准线 $x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{4}$。焦点没变、准线变了，比 $e$ 从小于 1 变成大于 1，曲线就从 椭圆变成双曲线——比值与 1 的大小关系就是三族曲线的分界线（$e = 1$ 是抛物线，§3.3 兑现）。
2. 准线与曲线的相对位置相反。 椭圆时 $x = \frac{25}{4} > a$，准线在曲线外侧；双曲线时 $x = \frac{9}{4} < a$，准线落在两支之间那片没有点的区域里。

七、例 6：直线与双曲线，判别式不再万能

例 6 与 §3.1.2 例 7 是同一个问题（过焦点的直线与曲线交于两点、求弦长），但多了一个椭圆没有的 岔路。直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$ 与 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$ 联立消 $y$：

$5x^2 + 6x - 27 = 0,$

解出 $x_1 = -3$、$x_2 = \frac{9}{5}$，代回直线得 $A\left(-3, -2\sqrt{3}\right)$、 $B\left(\frac{9}{5}, -\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)$，弦长 $|AB| = \frac{16\sqrt{3}}{5}$。到这一步 与椭圆完全同构（联立 → 韦达 → 弦长公式）。

差别在联立后二次项系数可能变成 0：

• 直线平行于渐近线时，消元后是一次方程，只有一个交点——但它不是相切，直线与双曲线另一支 在无穷远处”交”。§3.1.2 讲解里留的那句话在这里落地：椭圆联立永远是二次方程，双曲线不是。
• 判别式 $\Delta = 0$ 才是相切（一个交点）；$\Delta > 0$ 两个交点。所以”一个交点”要分两种 情形讨论：平行于渐近线（一次方程），或相切（二次方程 $\Delta = 0$）。

做题时先看一眼直线斜率是不是 $\pm \frac{b}{a}$，是就直接判”一个交点、平行渐近线”，省掉一整段联立。

八、易错清单

按失分频率排：

1. 实轴认错轴。 正项在哪个变量下，实轴就在哪个轴上；焦点跟着实轴走。$9y^2 - 16x^2 = 144$ 的实轴在 $y$ 轴，渐近线斜率是 $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$ 而不是 $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$。
2. $c^2 = a^2 + b^2$ 记成 $c^2 = a^2 - b^2$。 后者是椭圆的。双曲线里 $c$ 是三条边的最大边， 直角三角形的斜边。
3. 渐近线斜率与轴记混。 焦点在 $x$ 轴是 $\pm \frac{b}{a}$，焦点在 $y$ 轴是 $\pm \frac{a}{b}$。 可靠的记法：令标准方程左边等于 $0$（$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$）解出 $y$。
4. 把虚轴端点当曲线上的点。 $(0, \pm b)$ 不在双曲线上，代进方程不成立，不能求切点、弦长。
5. $e$ 的范围记反。 $e > 1$ 是双曲线、$0 < e < 1$ 是椭圆——题目先给 $e$ 时，先拿它判曲线类型。
6. “一个交点”一律当相切。 直线平行于渐近线时是一次方程的一个交点，不是相切（见第七节）。
7. 等轴双曲线只记得 $a = b$。 $a = b$、$e = \sqrt{2}$、渐近线 $y = \pm x$ 垂直，三件事是一个 整体，题目给其中一件就是为了要你推另外两件。

九、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」现在有十六道，都经由概念 离心率、双曲线的渐近线、实轴、虚轴 与公式 双曲线的离心率（一步公式） 连过来。十六道里真正的双曲线题只有九道，其余六道是椭圆题（借 离心率 连过来的对照组）， 还有一道是误连。按下面的顺序读。

甲、先把本节五个性质各摸一遍（纯双曲线，由易到难）

• 2015 年第 9 题——标准方程一读到底：$a^{2}=2$、$b^{2}=1$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}=3$，答焦距 $2c$。 全节最短的一道，只考第三节那三个字母的关系，做它是为了确认”双曲线是加不是减”已经不用想。
• 2025 年第 3 题——虚轴长是实轴长的 $\sqrt7$ 倍。先把这句话翻成 $2b:2a=\sqrt7:1$， 再走 $e=\sqrt{1+\left(\frac ba\right)^{2}}$。这道题专治第八节第 1 条：实轴长是 $2a$ 不是 $a$， 一旦读成 $b:a=\sqrt7$ 之外的东西，后面全错。
• 2023 年第 16 题——双曲线上的点 $A$、$y$ 轴上的点 $B$，两个向量条件求 $e$。 只用 $e=\frac ca$ 和定义，是第五节内容的直接考法，一两步就完。
• 2019 年第 2 题——渐近线 $y=\pm x$ 定离心率。第四节末尾那套等轴双曲线三件套 （$a=b\iff e=\sqrt2\iff$ 渐近线互相垂直）的正面考法，但它多埋了一层： 渐近线只锁死 $a=b$，锁不住焦点在哪个轴上，两种摆法都得 $\sqrt2$——所以答案唯一， 但”唯一”这件事要说出理由，不能默认焦点在 $x$ 轴。
• 2024 年第 12 题——过右焦点的竖直弦（通径那一族），配出一个 $5$–$12$–$13$ 直角三角形。 把”$a$、$b$、$c$ 是一个直角三角形的三边”练到肌肉记忆。
• 2016 年第 7 题——共焦点的椭圆与双曲线，$m^{2}-n^{2}=2$，问两个离心率之积。 同一个 $c$、两族曲线的 $a$、$b$、$c$ 关系恰好相反，这正是第八节第 2 条最直接的实战， 做完顺手把那一条再念一遍。

乙、渐近线当主角（第四节的两道压轴用法）

• 2022 年第 16 题——过左焦点、斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于 $A$、交渐近线于 $B$， $|FB|=3|FA|$ 求 $e$。渐近线第一次当主角，顺带把 $\frac ba=\sqrt{e^{2}-1}$ 用上了。

• 接着往难处走一格：2014 年第 16 题（直线 $x-3y+m=0$ 交两条渐近线于 $A$、$B$， $P(m,0)$ 满足 $|PA|=|PB|$，求 $e$）。这道题把第四节那对渐近线用到了本节最深的一层， 值得单独说三句：

  第一句，两条渐近线可以合写成一个二次方程。本节是把 $y=\pm\frac{b}{a}x$ 当成两条直线给出的， 但把它们乘起来就是

  $$\left(\frac{b}{a}x-y\right)\left(\frac{b}{a}x+y\right)=0 \iff b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0,$$

  也就是把双曲线方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 右边的 $1$ 换成 $0$。 这一步之后，“直线交两条渐近线于 $A$、$B$“就和”直线交一条圆锥曲线于两点”是同一件事， 联立、韦达、点差法这些老动作全都能直接搬过来——课本正文没写这句话，但它是渐近线出现在 解析几何大题里时最省力的写法。

  第二句，$|PA|=|PB|$ 不要真去开两个根号。记 $Q$ 为 $AB$ 的中点，$A\neq B$ 时 $|PA|=|PB|\iff PQ\perp AB$，一个距离条件立刻变成一个斜率条件。

  第三句，也是这道题的机关：$PQ\perp l$ 且 $Q$ 在 $l$ 上，这两句话已经把 $Q$ 钉死了—— $Q$ 就是 $P$ 到 $l$ 的垂足，算它一个 $a$、$b$ 都用不上。于是全题只剩一个条件： 这个现成的 $Q$ 恰好是那条弦的中点。答案 $e=\frac{\sqrt5}{2}$ 对应 $a=2b$， 代回 $\frac ba=\sqrt{e^{2}-1}$ 正好是第五节那条式子的一次回验。

丙、回到定义那一侧的一道

• 2020 年第 8 题——两个条件各给一条曲线，$P$ 是它们的交点：距离之差认出双曲线的一支， $y=3\sqrt{4-x^{2}}$ 平方成半个椭圆。它靠的是 §3.2.1 的定义而不是本节的性质， 放在这里是提醒一件事：看见”距离之差”先想定义，看见”渐近线、离心率”才轮到本节。 另外它只取右支，“哪一支”这个陷阱本节的图上看得最清楚。

丁、六道椭圆题：当对照组做

2017 年第 2 题（从标准方程读 $a$、$b$ 套关系式，或在短轴端点现推直角三角形）、 2023 年第 5 题（两椭圆离心率成比例）、2021 年第 16 题（椭圆切线条件求斜率与离心率）、 2024 年第 16 题（椭圆上两点定形状，面积反求直线）、2025 年第 18 题（椭圆定方程与最值）、 2016 年第 19 题（圆心钉在上顶点，问什么时候冒出第四个公共点）——这六道都是椭圆题， 连到本节是因为攻略里同时声明了概念 离心率。它们在 §3.1.2 就该做过；放在这里的用法是 对照：两族曲线的 $e$ 都等于 $\frac ca$，但 $a$、$b$、$c$ 的关系恰好相反， $e$ 的取值范围也恰好被 $1$ 隔开（椭圆 $0<e<1$，双曲线 $e>1$）。 做完这一组再回头看第八节第 2 条，会比第一次读时具体得多。

戊、一条要跳过的误连

2017 年第 12 题是复数题，它经由概念 实轴 连到本节。但那道题里的”实轴”是复平面的实轴， 和双曲线两顶点之间的那条线段同名不同物。读到这里直接跳过——顺带记住：本站的概念 实轴 目前只按双曲线的实轴写定义，复平面那个意思还没有独立实体。

本节目录下这九页上共印着三组「练习」与一组「习题 3.2」，本份详解 25 道全收。三组练习全收： 第 121 页（page-0126）那 4 道印在「3.2.2 双曲线的简单几何性质」这个标题之前，练的是上一小节的 双曲线定义与标准方程，但它与本节同页同目录，且 $a$、$b$、$c$ 的关系正是本节读性质要用的，故一并收入； 第 124 页（page-0129）4 道、第 126–127 页（page-0131–page-0132）3 道是本节自己的练习。 「习题 3.2」（第 127–128 页）14 道也全收：第 3、4、6、8、10、11、12、13、14 题正是本节主题 （读方程求性质、由性质定方程、等轴双曲线、公共焦点、第二定义、轨迹、离心率范围、中点弦、切点法线截距）； 第 1、2、5、7、9 题考的是上一小节 §3.2 的双曲线定义、标准方程与轨迹（$||MF_1|-|MF_2||=2a$、待定系数、 垂直平分线、标准形式判别、爆炸声时间差），但这两页（page-0132–page-0133）就在本目录下，而 §3.2 自己的目录里（page-0123–page-0125）一道练习题都没印——题面引文只在这里有靶可比， 所以这 5 道也归本份（ADR-0023 其五：位置构成恒等式）。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 121 页）第 1 题

1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，a=4，b=3；

(2) 焦点在 x 轴上，经过点 $(- \sqrt{2}, -\sqrt{3})$ ， $\left(\frac{\sqrt{15}}{3}, \sqrt{2}\right)$ ;

(3) 焦点为 $(0, -6)$ ， $(0, 6)$ ，且经过点 $(2, -5)$ .

(1) 焦点在 $x$ 轴：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，代入 $a=4$、$b=3$ 得

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$

(2) 设 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，把两个点代进去：

$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{b^2} = 1, \qquad \frac{\frac{15}{9}}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1.$

由第一式 $a^2 = \frac{2b^2}{b^2+3}$，代入第二式：

$$\frac{5}{3} \cdot \frac{b^2+3}{2b^2} - \frac{2}{b^2} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{5(b^2+3)-12}{6b^2} = 1 \;\Longrightarrow\; b^2 = 3,\quad a^2 = 1.$$

方程 $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$。回代核：$(- \sqrt{2})^2 - \frac{(-\sqrt{3})^2}{3} = 2-1 = 1$ ✓； $\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2 - \frac{(\sqrt{2})^2}{3} = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$ ✓。

(3) 焦点在 $y$ 轴：设 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，焦距 $2c = 12$ 给出 $c = 6$，故 $a^2 + b^2 = 36$（双曲线里 $c$ 是斜边）。代入点 $(2,-5)$：

$\frac{25}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1.$

与 $a^2 = 36 - b^2$ 联立（令 $u = a^2$、$v = b^2$，$25v - 4u = uv$）：

$$25v - 4(36-v) = v(36-v) \;\Longrightarrow\; v^2 - 7v - 144 = 0 \;\Longrightarrow\; v = 16 \ (\text{负根舍去}),\quad u = 20.$$

方程 $\frac{y^2}{20} - \frac{x^2}{16} = 1$。回代核：$\frac{25}{20} - \frac{4}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1$ ✓， 且 $c^2 = 20 + 16 = 36$，$c = 6$ ✓。

动作： 三小问都是「把条件翻译成 $a^2$、$b^2$ 的两个方程」。第 (3) 问最容易把 $a^2 + b^2 = c^2$ 写反成椭圆的关系——焦点在 $y$ 轴只换 $a$ 的位置，$c^2 = a^2 + b^2$ 不变。

练习（第 121 页）第 2 题

2. 求证：双曲线 $x^{2}-15y^{2}=15$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同.

双曲线化成标准形：$\frac{x^2}{15} - y^2 = 1$，于是 $a^2 = 15$、$b^2 = 1$， $c^2 = a^2 + b^2 = 16$，$c = 4$，焦点 $(\pm 4, 0)$。

椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$：$a^2 = 25$、$b^2 = 9$，$c^2 = a^2 - b^2 = 16$， $c = 4$，焦点 $(\pm 4, 0)$。

两者的焦点都是 $(\pm 4, 0)$，相同。注意两族曲线求 $c$ 的式子正好相反（双曲线加、椭圆减）： $a$、$b$、$c$ 在两族里都凑成同一个勾股关系，差别只在谁是斜边——椭圆里 $a$ 是斜边 （$a^2 = b^2 + c^2$，故 $c < a$），双曲线里 $c$ 是斜边（$c^2 = a^2 + b^2$，故 $c > a$）。 这就是那一加一减的来由。

练习（第 121 页）第 3 题

3. 已知方程 $\frac{x^2}{2 + m} - \frac{y^2}{m + 1} = 1$ 表示双曲线，求 $m$ 的取值范围.

把方程写成 $\frac{x^2}{2+m} + \frac{y^2}{-(m+1)} = 1$ 看：形如 $\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{C} = 1$ 的曲线是双曲线，当且仅当 $A$、$C$ 异号——即两个分母 $(2+m)$、$(m+1)$ 同号：

$(2+m)(m+1) > 0 \;\Longrightarrow\; m < -2 \ \text{或} \ m > -1.$

这里最容易踩的坑是「分母异号」：分母异号（即 $-2 < m < -1$）时 $\frac{x^2}{2+m} - \frac{y^2}{m+1}$ 两项同为正，是椭圆或圆（$m = -\frac{3}{2}$ 时两个分母相等，得 $2x^2 + 2y^2 = 1$，恰是圆； $m$ 取这个区间里的其他值才是椭圆）。分母同号才出双曲线： 同正时焦点在 $x$ 轴（$m = 0$ 得 $\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$）；同负时两项同变号、化成 $\frac{y^2}{-(m+1)} - \frac{x^2}{-(2+m)} = 1$，焦点在 $y$ 轴（$m = -3$ 得 $\frac{y^2}{2} - x^2 = 1$）， 两种都在答案里。

端点核一下：$m = -2$ 时 $\frac{x^2}{0}$ 无意义；$m = -1$ 时 $\frac{y^2}{0}$ 无意义，都不取。 所以 $m \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$。

练习（第 121 页）第 4 题

4. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{12} = 1 (a > 0)$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$，焦距为8；$M$ 是双曲线上的一点，且 $|MF_{1}| = 5$，求 $|MF_{2}|$ 的值.

焦距为 $8$，故 $c = 4$，$c^2 = a^2 + 12 = 16$，$a^2 = 4$，$a = 2$。

由定义 $||MF_1| - |MF_2|| = 2a = 4$，代入 $|MF_1| = 5$：

$|5 - |MF_2|| = 4 \;\Longrightarrow\; |MF_2| = 9 \ \text{或} \ 1.$

两个候选要过存在性检查。 双曲线上任意一点到任一焦点的距离都不小于 $c - a = 2$ （最近的点是靠近该焦点的顶点）。$|MF_2| = 1 < 2$ 达不到，舍去。也可以直接判支。 题面没说 $F_1$ 是左焦点还是右焦点，所以下面一律按「离哪个焦点近」说，不按左右 （两个标号互换，每句照样成立，结论还是 $9$）： 若 $M$ 在靠 $F_2$ 的那一支，则 $|MF_1| = |MF_2| + 4 \geqslant (c-a) + 4 = 6$， 与 $|MF_1| = 5$ 矛盾，所以 $M$ 必在靠 $F_1$ 的那一支，$|MF_2| = |MF_1| + 2a = 9$。

答案：$|MF_2| = 9$。顺带自检：$9 \geqslant 2$ ✓，且 $9$ 与 $5$ 的差是 $4 = 2a$ ✓。

练习（第 124 页）第 1 题

1. 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率： (1) $x^{2}-8y^{2}=32$ ; (2) $9x^{2}-y^{2}=81$ ; (3) $x^{2}-y^{2}=-4$ ; (4) $\frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{25}=-1$ .

(1) $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{4} = 1$：$a^2 = 32$、$b^2 = 4$，实轴长 $2a = 8\sqrt{2}$、 虚轴长 $2b = 4$；顶点 $(\pm 4\sqrt{2}, 0)$；$c^2 = 36$，焦点 $(\pm 6, 0)$； $e = \frac{6}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$。

(2) $9x^2 - y^2 = 81 \Rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{81} = 1$：$a = 3$、$b = 9$， 实轴长 $6$、虚轴长 $18$；顶点 $(\pm 3, 0)$；$c = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$，焦点 $(\pm 3\sqrt{10}, 0)$；$e = \sqrt{10}$。

(3) $x^2 - y^2 = -4 \Rightarrow \frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{4} = 1$：$a = b = 2$（等轴）， 实轴长 $4$、虚轴长 $4$；焦点在 $y$ 轴，顶点 $(0, \pm 2)$；$c = 2\sqrt{2}$，焦点 $(0, \pm 2\sqrt{2})$；$e = \sqrt{2}$。

(4) $\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{25} = -1 \Rightarrow \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{49} = 1$： $a = 5$、$b = 7$，实轴长 $10$、虚轴长 $14$；顶点 $(0, \pm 5)$；$c = \sqrt{74}$，焦点 $(0, \pm \sqrt{74})$；$e = \frac{\sqrt{74}}{5}$。

动作： 每道先除常数化成标准形，再看正项落在哪个变量下——实轴、顶点、焦点全部跟着它走。 (3) (4) 的负号在 $x^2$ 前，一不小心就会把实轴安到 $x$ 轴上去。

练习（第 124 页）第 2 题

2. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8， $e=\frac{5}{4}$ ;

(2) 焦点在 y 轴上，焦距是 16， $e=\frac{4}{3}$ .

(1) 顶点在 $x$ 轴、两顶点距离 $8$：$2a = 8$，$a = 4$。$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$ 给出 $c = 5$，$b^2 = c^2 - a^2 = 9$。方程 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$。

(2) 焦点在 $y$ 轴、焦距 $16$：$c = 8$。$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$ 给出 $a = \frac{c}{e} = 6$，$b^2 = c^2 - a^2 = 64 - 36 = 28$。方程 $\frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{28} = 1$。

自检：$a^2 + b^2 = 36 + 28 = 64 = c^2$ ✓。

练习（第 124 页）第 3 题

3. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 $F_{1}(-6,0)$ ，求双曲线的标准方程和渐近线方程.

焦点 $(-6, 0)$ 在 $x$ 轴负半轴，故 $c = 6$、焦点在 $x$ 轴。等轴双曲线 $a = b$，于是 $c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2 = 36$，$a^2 = 18$。方程

$\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{18} = 1,$

渐近线 $y = \pm x$。等轴双曲线的三件套（$a = b$、$e = \sqrt{2}$、渐近线互相垂直） 这里用上了前两件——知道 $c$ 直接除以 $\sqrt{2}$ 就得到 $a$。

练习（第 124 页）第 4 题

4. 双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2x$ ，虚轴长为 4，求双曲线的标准方程.

虚轴长 $4$ 给出 $2b = 4$，$b = 2$。题目没说焦点在哪条轴上，两种都要写。

• 焦点在 $x$ 轴：渐近线 $y = \pm \frac{b}{a}x$，故 $\frac{b}{a} = 2$，$a = \frac{b}{2} = 1$： $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$。
• 焦点在 $y$ 轴：渐近线 $y = \pm \frac{a}{b}x$，故 $\frac{a}{b} = 2$，$a = 4$： $\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1$。

两个方程都满足「渐近线 $y = \pm 2x$、虚轴长 $4$」（前者的实轴是 $2$、后者的实轴是 $8$）， 缺焦点位置这一条件时答案必须是两个，写一个算漏。

练习（第 126 页）第 1 题

1. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-6, 0), (6, 0)$，直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$，且它们的斜率之积是 $\frac{2}{9}$。求点 $M$ 的轨迹方程，并判断轨迹的形状。

设 $M(x,y)$。斜率存在要求 $x \neq \pm 6$。由

$$\frac{y}{x+6} \cdot \frac{y}{x-6} = \frac{2}{9} \;\Longrightarrow\; 9y^2 = 2(x^2 - 36) \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{8} = 1 \quad (x \neq \pm 6).$$

轨迹是焦点在 $x$ 轴上的双曲线（$a = 6$、$b = 2\sqrt{2}$、$c = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$）， 挖去 $A$、$B$ 两点——那两点处斜率不存在，是过程引入的定义域限制，最后必须回头补上。

与 §3.1 例 3 对照：那里斜率之积是负的 $-\frac{4}{9}$，轨迹是椭圆；这里是正的 $\frac{2}{9}$， 轨迹是双曲线。乘积的符号决定曲线的族：正积对应两支在 $y$ 轴两侧的双曲线，负积对应椭圆 （积恰为 $-1$ 时两个分母相等，$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{36} = 1$ 退化成圆）。

练习（第 127 页）第 2 题

2. 求下列直线和双曲线的交点坐标： (1) 2x - y - 10 = 0, $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ; (2) 4x - 3y - 16 = 0, $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

(1) $y = 2x - 10$ 代入 $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{5} = 1$（乘 $20$）：

$$x^2 - 4(2x-10)^2 = 20 \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 32x + 84 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 6, \ \frac{14}{3}.$$

代回直线得 $y = 2, -\frac{2}{3}$。交点 $(6, 2)$、$\left(\frac{14}{3}, -\frac{2}{3}\right)$。 回代核：(6,2) 给 $36/20 - 4/5 = 1$ ✓；$\left(\frac{14}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ 给 $\frac{49}{45} - \frac{4}{45} = 1$ ✓。

(2) $y = \frac{4x-16}{3}$ 代入 $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$（乘 $3600$）：

$$144x^2 - 25(4x-16)^2 = 3600 \;\Longrightarrow\; 16x^2 - 200x + 625 = 0.$$

判别式 $\Delta = 200^2 - 4 \times 16 \times 625 = 0$——只有一个交点。$x = \frac{200}{32} = \frac{25}{4}$， $y = \frac{4 \cdot \frac{25}{4} - 16}{3} = 3$。交点 $\left(\frac{25}{4}, 3\right)$，直线与双曲线相切 （回代核：$\frac{625/16}{25} - \frac{9}{16} = \frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1$ ✓）。

注意：直线斜率 $\frac{4}{3}$ 不是渐近线斜率 $\pm \frac{4}{5}$，所以这里的”一个交点”是相切 （二次方程判别式为 $0$），不是”平行渐近线”那种退化情形。

练习（第 127 页）第 3 题

3. 直线 $y = \frac{2}{3} x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{8} = 1 (a > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 两点的横坐标之积为-9，求离心率 $e$.

联立（$y = \frac{2}{3}x$ 代入，$y^2 = \frac{4}{9}x^2$）：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{\frac{4}{9}x^2}{8} = 1 \;\Longrightarrow\; x^2\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{18}\right) = 1.$$

直线过原点，与双曲线的两个交点关于原点对称，横坐标互为相反数，故 $x_1 x_2 = -x^2 = -9$， $x^2 = 9$，代入：

$$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{18} = \frac{1}{9} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{a^2} = \frac{1}{6} \;\Longrightarrow\; a^2 = 6.$$

$c^2 = a^2 + b^2 = 6 + 8 = 14$，$e = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$。

自检：过原点的直线与双曲线有交点的判据是斜率绝对值小于渐近线斜率——这里 $\frac{2}{3} < \frac{b}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$， 两个交点确实存在 ✓（斜率大于 $\frac{b}{a}$ 时直线夹在两支之间，一个交点也没有；恰等于时平行渐近线。 上式里 $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{18} = \frac{1}{9} > 0$ 也正是这件事的代数形态）。动作： 过原点的直线交双曲线，两交点的横坐标自动互为 相反数——不要被”两根之积”绕进去，直接用对称性。

习题 3.2 第 1 题

1. 双曲线 $4x^{2} - y^{2} + 64 = 0$ 上一点 $P$ 与它的一个焦点的距离等于1，那么点 $P$ 与另一个焦点的距离等于____.

先化标准形式：$4x^2 - y^2 + 64 = 0 \Longrightarrow y^2 - 4x^2 = 64$，即

$\frac{y^2}{64} - \frac{x^2}{16} = 1 .$

焦点在 $y$ 轴上，$a = 8$、$b = 4$、$c = \sqrt{64+16} = 4\sqrt{5}$，实轴长 $2a = 16$。

设 $|PF_1| = 1$。由定义 $\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a = 16$，得 $|PF_2| = 17$ 或 $|PF_2| = -15$ （距离不能为负，舍去）。所以点 $P$ 与另一个焦点的距离是 $\mathbf{17}$。

这道题真正要验的是那个 $1$ 存不存在。 双曲线上的点到同侧焦点的距离最小值在顶点处取到， 等于 $c - a = 4\sqrt{5} - 8 \approx 0.944$。因为 $1 > 0.944$，距离 $1$ 确实取得到；题目若把 $1$ 换成 $0.5$，这道题就无解，而 $\bigl||PF_1|-|PF_2|\bigr| = 16$ 照样能算出个 $16.5$ 来。

自检（把点找出来）：$P$ 在靠 $F_1(0, 4\sqrt{5})$ 的上支上，焦半径 $|PF_1| = ey - a$，其中 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。由 $\frac{\sqrt{5}}{2}y - 8 = 1$ 得 $\frac{\sqrt{5}}{2}y = 9$， 即 $y = \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5} \approx 8.05$——比顶点纵坐标 $8$ 只高出 $0.05$， 擦着边过，正对应 $1$ 只比下界 $0.944$ 大一点。此时 $x^2 = 16\left(\frac{y^2}{64} - 1\right) = 16 \times \frac{64.8 - 64}{64} = 0.2$， $P \approx (\pm 0.447,\ 8.05)$；另一个焦半径 $|PF_2| = ey + a = 9 + 8 = 17$ ✓。

也顺手排除「$P$ 在远支」：那一支上的点到 $F_1$ 的距离最小是 $c + a \approx 16.94 > 1$，取不到 $1$， 所以不必再分一种情形。

动作： 「到一个焦点的距离」不要去解坐标，$2a$ 是常数、另一段直接加减；但要回头问一句 「这个距离双曲线上取得到吗」——最小值 $c-a$ 那一验就是本题的全部难点。

习题 3.2 第 2 题

2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上， $a=2\sqrt{5}$ ，经过点 A(-5, 2);

(2) 经过 $A(-7, -6\sqrt{2})$ , $B(2\sqrt{7}, 3)$ 两点.

(1) 焦点在 $x$ 轴、$a = 2\sqrt{5}$（故 $a^2 = 20$），设 $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{b^2} = 1$， 代入 $A(-5, 2)$：

$\frac{25}{20} - \frac{4}{b^2} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{4}{b^2} = \frac{1}{4} \;\Longrightarrow\; b^2 = 16 .$

方程 $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{16} = 1$。自检：$\frac{25}{20} - \frac{4}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1$ ✓ （顺手看一眼 $c^2 = 20 + 16 = 36$，焦点 $(\pm 6, 0)$ 在 $x$ 轴上 ✓）。

(2) 题面没说焦点在哪个轴，别分两种情况各试一遍——用统一形式

$mx^2 + ny^2 = 1 ,$

它表示双曲线的条件正是 $mn < 0$（$m > 0$ 时焦点在 $x$ 轴，$n > 0$ 时焦点在 $y$ 轴）。把两点代进去 （注意 $(-6\sqrt{2})^2 = 72$、$(2\sqrt{7})^2 = 28$）：

$49m + 72n = 1, \qquad 28m + 9n = 1 .$

第二式乘 $8$ 得 $224m + 72n = 8$，与第一式相减消去 $n$：$175m = 7$，$m = \frac{1}{25}$； 回代 $9n = 1 - \frac{28}{25} = -\frac{3}{25}$，$n = -\frac{1}{75}$。系数行列式 $49 \times 9 - 72 \times 28 = -1575 \neq 0$，解唯一。

$mn < 0$ ✓，且 $m > 0$，所以焦点在 $x$ 轴上，方程

$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{75} = 1 .$

自检：$A(-7, -6\sqrt{2})$ 代入得 $\frac{49}{25} - \frac{72}{75} = \frac{147 - 72}{75} = 1$ ✓； $B(2\sqrt{7}, 3)$ 代入得 $\frac{28}{25} - \frac{9}{75} = \frac{84 - 9}{75} = 1$ ✓。

动作： 「不知道焦点在哪个轴」时 $mx^2 + ny^2 = 1$ 比分类讨论省一半功夫：解出来的符号自己 告诉你答案，而这个统一形式恰好覆盖两种标准式，所以不分类不是漏情况。反过来，若解得 $m$、$n$ 同号，那说明这两点定不出双曲线：都为正且 $m \neq n$ 是椭圆、$m = n > 0$ 是圆、都为负则左边恒不 为正而无图象（这三种情形正是下面第 7 题在问的）。

习题 3.2 第 3 题

3. 已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： (1) $16x^{2}-9y^{2}=144;$ (2) $16x^{2}-9y^{2}=-144.$

(1) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$：$a = 3$、$b = 4$、$c = 5$，焦点 $(\pm 5, 0)$， $e = \frac{5}{3}$，渐近线 $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{4}{3}x$。

(2) $\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1$：$a = 4$、$b = 3$、$c = 5$，焦点 $(0, \pm 5)$， $e = \frac{5}{4}$，渐近线 $y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \frac{4}{3}x$。

两题的渐近线相同——把 $144$ 换成 $-144$ 只是实轴、虚轴对调，渐近线的斜率只由 $\frac{b}{a}$（焦点在 $x$ 轴）或 $\frac{a}{b}$（焦点在 $y$ 轴）决定，而 $16$ 和 $9$ 的角色 互换了，比值一样。

习题 3.2 第 4 题

4. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，实轴长是 10，虚轴长是 8；

(2) 焦点在 y 轴上，焦距是 10，虚轴长是 8；

(3) 离心率 $e=\sqrt{2}$ ，经过点 $M(-5,3)$ .

(1) 实轴长 $2a = 10$、虚轴长 $2b = 8$：$a = 5$、$b = 4$，方程 $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$。

(2) 焦距 $2c = 10$：$c = 5$；虚轴长 $2b = 8$：$b = 4$；$a^2 = c^2 - b^2 = 9$， 焦点在 $y$ 轴：$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$。这里 $a$ 从 $c^2 - b^2$ 来，不是 $b^2$ 从 $c^2 - a^2$ 来——但本质都是 $c^2 = a^2 + b^2$。

(3) $e = \sqrt{2}$ 的双曲线一定是等轴双曲线（$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow a = b$）。分两种设：

• 焦点在 $x$ 轴：$x^2 - y^2 = a^2$，代入 $M(-5,3)$ 得 $a^2 = 25 - 9 = 16$；
• 焦点在 $y$ 轴：$y^2 - x^2 = a^2$，代入得 $a^2 = 9 - 25 = -16$，不可能。

所以只有 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1$。“两种设”这一步不能省——等轴只说明 $a = b$， 没说焦点在哪，不试一下第二种就把答案写全了。

习题 3.2 第 5 题

5. 如图，圆 $O$ 的半径为定长 $r$，$A$ 是圆 $O$ 外一个定点，$P$ 是圆 $O$ 上任意一点。线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $OP$ 相交于点 $Q$，当点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹是什么？为什么？

垂直平分线只提供一句话：$l$ 上的点到 $A$、$P$ 等距，所以

$|QA| = |QP| .$

$Q$ 又在直线 $OP$ 上，而 $|OP| = r$ 是定长。三点共线，$Q$ 相对 $O$、$P$ 只有三种位置，逐一看：

• $Q$ 落在线段 $OP$ 上（在射线 $OP$ 上且 $|QO| \le r$）：不可能。 此时 $|QP| = r - |QO|$；而三角形 不等式给 $|QA| \ge |OA| - |QO|$，再用「$A$ 在圆 $O$ 外」的 $|OA| > r$，得 $|QA| > r - |QO| = |QP|$，与 $|QA| = |QP|$ 矛盾。（端点 $|QO| = r$ 即 $Q = P$ 也在其中：那时 $|QA| = |QP| = 0$ 会逼出 $A = P$ 落在圆上，与 $A$ 在圆外矛盾。）
• $Q$ 在射线 $OP$ 上、$P$ 的外侧（$|QO| > r$）： $|QP| = |QO| - r$，于是 $|QO| - |QA| = r$。
• $Q$ 与 $P$ 在 $O$ 的两侧（$O$ 在 $P$、$Q$ 之间）： $|QP| = |QO| + r$，于是 $|QA| - |QO| = r$。

第一条的排除正是「$A$ 在圆外」真正出力的地方——它不只是后面存在性里那个 $2a < 2c$； 图上的 $Q$ 落在圆内但在 $O$ 的另一侧，属第三种情形，不与第一条冲突。后两种合起来就是

$\bigl||QO| - |QA|\bigr| = r \quad (\text{定值}) .$

到两定点 $O$、$A$ 的距离之差的绝对值为定值——这是双曲线的定义。存在性也要验： $|OA| > r$ 即 $2a = r < |OA| = 2c$ ✓（双曲线要求 $0 < 2a < 2c$）。

所以点 $Q$ 的轨迹是以 $O$、$A$ 为焦点、实轴长为 $r$ 的双曲线，两支都取到。若取直线 $OA$ 为 $x$ 轴、线段 $OA$ 的中点为原点，则 $a = \frac{r}{2}$、$c = \frac{|OA|}{2}$、 $b^2 = c^2 - a^2 = \frac{|OA|^2 - r^2}{4}$，方程

$\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}} - \frac{y^2}{\frac{|OA|^2 - r^2}{4}} = 1 .$

自检（取 $r = 1$、$O(0,0)$、$A(3,0)$，此时中心 $(1.5, 0)$、$a = 0.5$、$b^2 = 2$，两顶点为 $(1,0)$ 与 $(2,0)$）：$P(1,0)$ 时 $l$ 是 $x = 2$，$Q(2,0)$，$|QO| - |QA| = 2 - 1 = 1 = r$ ✓；$P(-1,0)$ 时 $l$ 是 $x = 1$，$Q(1,0)$，$|QA| - |QO| = 2 - 1 = 1$ ✓——两支各来一个顶点。再取个不在 $x$ 轴上的： $P(0,1)$ 时 $AP$ 的中点是 $(1.5, 0.5)$、方向 $(-3,1)$，$l$ 是 $y = 3x - 4$，与直线 $OP$（即 $y$ 轴） 交于 $Q(0,-4)$：$|QA| = 5$、$|QP| = 5$ ✓，$|QA| - |QO| = 5 - 4 = 1$ ✓，代方程 $\frac{(0-1.5)^2}{1/4} - \frac{(-4)^2}{2} = 9 - 8 = 1$ ✓（这就是图上那个构型：$Q$ 与 $P$ 分居 $O$ 两侧）。

一句边界：$AP \perp OP$ 时 $l$ 与直线 $OP$ 平行，$Q$ 不存在——这样的 $P$ 有两个（在以 $OA$ 为直径的 圆与圆 $O$ 的交点上），它们对应双曲线上「跑到无穷远」的方向，不影响结论。

两处对照（都只改 $A$ 的位置，「等距换定长」那一步照旧）：$A$ 若在圆内且不与 $O$ 重合， $Q$ 落在线段 $OP$ 内，$|QO| + |QA| = |QO| + |QP| = r$，$2a = r > |OA| = 2c > 0$，轨迹换成以 $O$、$A$ 为焦点的椭圆（§3.1 那道同源题；$A$ 恰好落在 $O$ 上时 $2c = 0$，椭圆退化成以 $O$ 为心、$\frac{r}{2}$ 为半径的圆）；$A$ 若正好在圆上，$O$ 到 $A$、$P$ 的距离都等于 $r$，$O$ 自己就在 $l$ 上，交点只能 是 $O$，轨迹缩成一个点，连退化的射线都没有。

习题 3.2 第 6 题

6. 求经过点 $A(3, -1)$，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程.

等轴双曲线设 $x^2 - y^2 = \pm a^2$（焦点在 $x$ 轴取正、在 $y$ 轴取负），代入 $A(3, -1)$：

• 焦点在 $x$ 轴：$9 - 1 = a^2$，$a^2 = 8$，方程 $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$；
• 焦点在 $y$ 轴：$1 - 9 = a^2$，$a^2 = -8$，不可能。

答案为 $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$。自检：$9/8 - 1/8 = 1$ ✓；渐近线 $y = \pm x$、 $e = \sqrt{2}$，等轴三件套齐全。

习题 3.2 第 7 题

7. $m$ ， $n$ 为何值时，方程 $\frac{x^2}{m} +\frac{y^2}{n} = 1$ 表示下列曲线：

(1) 圆；(2) 椭圆；(3) 双曲线？

先记住前提：$m \neq 0$、$n \neq 0$（分母不能为零）。这道题三问都只在问两个分母的符号与大小。

(1) 圆。 圆的方程是 $x^2 + y^2 = R^2$，写成分母形式两个分母必须相等且为正：

$m = n > 0 ,$

此时曲线是圆心在原点、半径 $\sqrt{m}$ 的圆。

(2) 椭圆。 两个分母都为正，且不相等：

$m > 0,\quad n > 0,\quad m \neq n ,$

焦点在分母大的那个轴上（$m > n$ 则在 $x$ 轴，$n > m$ 则在 $y$ 轴）。$m = n$ 要排除，因为那时它是 圆——本题第 (1) 问把圆单列了，两问不能重叠。

(3) 双曲线。 两个分母异号：

$mn < 0 .$

细分：$m > 0 > n$ 时方程即 $\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{-n} = 1$，焦点在 $x$ 轴；$n > 0 > m$ 时即 $\frac{y^2}{n} - \frac{x^2}{-m} = 1$，焦点在 $y$ 轴。

自检各取一组数：$m = n = 4$ 给 $x^2 + y^2 = 4$ ✓；$m = 4$、$n = 1$ 给 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$， 是椭圆 ✓；$m = 4$、$n = -1$ 给 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$，是双曲线 ✓。符号组合还剩一种，值得看 一眼：$m < 0$ 且 $n < 0$ 时左边恒不为正，等不到 $1$，图象是空集——这就是「$m$、$n$ 同为负」不 出现在任何一问里的原因。四种组合至此穷尽。

动作： 不要急着去凑 $a$、$b$。先判「两个分母是同号还是异号」，再在同号里比大小、看是否相等。

习题 3.2 第 8 题

8. 求与椭圆 $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$ 有公共焦点，且离心率 $e=\frac{5}{4}$ 的双曲线的方程.

椭圆的 $c^2 = a^2 - b^2 = 49 - 24 = 25$，$c = 5$，焦点 $(\pm 5, 0)$——这也是双曲线的焦点 （在 $x$ 轴）。双曲线 $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$，故 $a = 4$， $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9$。方程

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$

动作： “公共焦点”翻译成 $c$ 相同（连带焦点所在轴相同）；“公共焦点”不是”公共焦距”的一半 或两倍，$c$ 就是 $5$。自检：$\frac{25}{16} - \frac{0}{9} = 1.56 \neq 1$……等等，那只是说顶点 $(\pm 4, 0)$ 不在别的曲线上——真正要核的是 $c$ 与 $e$：$c^2 = 16 + 9 = 25$ ✓， $e = \frac{5}{4}$ ✓，且焦点 $(\pm 5, 0)$ 与椭圆一致 ✓。

习题 3.2 第 9 题

9. 相距 $1400 \, m$ 的 A, B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 $3 \, s$ ，已知声速是 $340 \, m/s$ ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程.

设爆炸点为 $P$。声速 $340 \ \mathrm{m/s}$、两处听到的时间相差 $3 \ \mathrm{s}$，故

$\bigl||PA| - |PB|\bigr| = 340 \times 3 = 1020 \ (\mathrm{m}) ,$

到两定点的距离之差的绝对值为定值，$P$ 在以 $A$、$B$ 为焦点的双曲线上。

读常数：$2a = 1020$，$a = 510$；$2c = |AB| = 1400$，$c = 700$。存在性 $0 < 2a = 1020 < 2c = 1400$ ✓（若时间差恰给出 $1020 = 1400$ 就退化成两条射线，超过 $1400$ 则 无解）。于是

$b^2 = c^2 - a^2 = 700^2 - 510^2 = 490000 - 260100 = 229900 .$

取直线 $AB$ 为 $x$ 轴、线段 $AB$ 的中点为原点（单位：$\mathrm{m}$，$A(-700, 0)$、$B(700, 0)$）， 曲线的方程是

$\frac{x^2}{260100} - \frac{y^2}{229900} = 1 .$

两支都要。 题面只说「时间相差 $3 \ \mathrm{s}$」，没说哪个哨所先听到，所以爆炸点既可能靠 $A$ 也可能靠 $B$，整条双曲线都是它的可能位置，方程后面不该附加范围。对照 §3.2 例 2：那道题写的是 「$A$ 处比 $B$ 处晚 $2 \ \mathrm{s}$ 听到」，方向定了，答案就只取靠 $B$ 的那一支，并带着 $x \ge 340$ 这个范围。差一个「晚」字，答案差一半曲线。

自检：取顶点 $(510, 0)$，$|PA| = 700 + 510 = 1210$、$|PB| = 700 - 510 = 190$， 差 $1020$ ✓，时间差 $\frac{1020}{340} = 3 \ \mathrm{s}$ ✓。

习题 3.2 第 10 题

10. 设动点 $M$ 与定点 $F(c, 0) (c > 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$ 的距离的比是 $\frac{c}{a} (a < c)$, 求动点 $M$ 的轨迹方程, 并说明轨迹的形状.

设 $M(x,y)$，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离是 $\left|x - \frac{a^2}{c}\right|$。由题意

$\frac{\sqrt{(x-c)^2 + y^2}}{\left|x - \frac{a^2}{c}\right|} = \frac{c}{a}.$

两边平方（两边都是非负量，平方不增解、不减解）：

$(x-c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}\left(x - \frac{a^2}{c}\right)^2.$

展开整理（左边 $x^2 - 2cx + c^2$，右边 $\frac{c^2}{a^2}x^2 - 2cx + a^2$，一次项正好抵消）：

$$\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right)x^2 + y^2 + c^2 - a^2 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \left(b^2 = c^2 - a^2\right).$$

轨迹是焦点在 $x$ 轴上的双曲线，实半轴 $a$、虚半轴 $b$、离心率 $\frac{c}{a}$。

这与例 5 是同一句话的字母版（例 5 里 $c = 4$、$a = 3$、$b = \sqrt{7}$）；也和 §3.1.2 例 6 同一句话——比值小于 $1$ 得椭圆、大于 $1$ 得双曲线，这里条件 $a < c$ 正是比值大于 $1$ 的保证。

习题 3.2 第 11 题

11. $M$ 是一个动点，$MA$ 与直线 $y = x$ 垂直，垂足 $A$ 位于第一象限，$MB$ 与直线 $y = -x$ 垂直，垂足 $B$ 位于第四象限．若四边形 $OAMB$（$O$ 为原点）的面积为3，求动点 $M$ 的轨迹方程.

设 $M(x,y)$。点 $M$ 到 $y = x$ 的距离是 $\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$，到 $y = -x$ 的距离是 $\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$。因为 $A$、$B$ 是垂足，$\triangle OAM$ 与 $\triangle OBM$ 都是 直角三角形：

$S_{OAMB} = \frac{1}{2}|OA| \cdot |AM| + \frac{1}{2}|OB| \cdot |BM|.$

用距离公式分别算：$|AM| = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$，$|OA| = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$（$A$ 在 $y = x$ 上，$OA$ 与 $AM$ 垂直，$|OA|$ 是 $M$ 到 $y = -x$ 方向的距离）；$|BM| = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$， $|OB| = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$。于是

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} \cdot \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} \cdot \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} = \frac{|x^2 - y^2|}{2}.$$

由 $S = 3$ 得 $|x^2 - y^2| = 6$，即 $x^2 - y^2 = 6$ 或 $y^2 - x^2 = 6$。再上象限条件筛支： $A$ 在第一象限——垂足 $A = \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ 在第一象限要求 $x + y > 0$；$B = \left(\frac{x-y}{2}, \frac{y-x}{2}\right)$ 在第四象限要求 $x - y > 0$。 合起来是 $x > |y|$。

在 $y^2 - x^2 = 6$ 上 $y^2 > x^2$ 恒成立，与 $x > |y|$ 矛盾——这支整支舍去。所以轨迹是

$x^2 - y^2 = 6 \quad (x > 0),$

等轴双曲线的右支（顶点 $(\sqrt{6}, 0)$）。自检：取 $M(\sqrt{7}, 1)$， $|x^2 - y^2| = 6$ ✓，且 $A$、$B$ 确实在第一、四象限。

习题 3.2 第 12 题

12. 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$，双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $e_1$ 和 $e_2$ 的取值范围.

两族曲线共用 $a$、$b$。椭圆侧 $c_1^2 = a^2 - b^2$，双曲线侧 $c_2^2 = a^2 + b^2$。记 $t = \frac{b}{a} > 0$：

$e_1^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = 1 - t^2, \qquad e_2^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 1 + t^2.$

双曲线渐近线斜率是 $t = \frac{b}{a}$，条件 $t < \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 给出 $t^2 < \frac{4}{5}$。 于是

$e_1^2 > 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}, \qquad e_2^2 < 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}.$

椭圆离心率恒在 $(0,1)$、双曲线恒在 $(1, +\infty)$，故

$e_1 \in \left(\frac{\sqrt{5}}{5},\ 1\right), \qquad e_2 \in \left(1,\ \frac{3\sqrt{5}}{5}\right).$

动作： 两族共用 $a$、$b$ 时，$e_1$、$e_2$ 由同一个比值 $t = \frac{b}{a}$ 决定，一头的条件 翻译到 $t$ 上，另一头就出来了。端点取不到：条件里是”小于”而不是”≤”。

习题 3.2 第 13 题

13. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$，过点 $P(1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $A$，$B$ 两点，$P$ 能否是线段 $AB$ 的中点？为什么？

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 且 $P$ 是 $AB$ 的中点：$x_1 + x_2 = 2$、$y_1 + y_2 = 2$。 先排除竖直弦：若 $x_1 = x_2 = 1$，代回双曲线得 $y^2 = 0$，$y_1 = y_2 = 0$，即 $A = B = (1, 0)$， 与「相交于 $A$、$B$ 两点」矛盾（竖直线 $x = 1$ 也只与双曲线相切于一个公共点），所以弦不竖直、 斜率存在。两式相减（点差法）：

$$\left(x_1^2 - x_2^2\right) - \frac{y_1^2 - y_2^2}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 2.$$

所以这样的直线若有，斜率必须是 $2$，即 $l: y - 1 = 2(x-1)$，$y = 2x - 1$。点差法只给出必要条件——还得验这条直线真的与双曲线相交于两点。联立：

$$x^2 - \frac{(2x-1)^2}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 4x + 3 = 0.$$

判别式 $\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$，直线与双曲线没有公共点。所以 $P$ 不能是 $AB$ 的中点。

为什么：点差法把中点弦的斜率钉死为 $2$，但斜率为 $2$ 的平行族 $y = 2x + b$ 代入双曲线得

$2x^2 + 4bx + (b^2 + 2) = 0, \qquad \Delta = 8(b^2 - 2).$

只有截距 $|b| > \sqrt{2}$ 的平行线才与双曲线交于两点（$|b| = \sqrt{2}$ 时是相切的一个交点）； 候选线 $y = 2x - 1$ 的 $b = -1$ 恰好落在这个空档里（$|b| < \sqrt{2}$），整条线不与曲线相交。 （等价地：双曲线的弦中点 $M(x_0, y_0)$ 必须落在 $x_0^2 - \frac{y_0^2}{2} \geqslant 1$ 或 $\leqslant 0$ 的可行域内，而 $P(1, 1)$ 处的值是 $\frac{1}{2}$，不在其中。）

动作： 中点弦题点差法 + 判别式两步都要写，只写点差法就把”必要条件”当成了”充要条件”。

习题 3.2 第 14 题

14. 已知双曲线 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ 与直线 $l: y = kx + m (k \neq \pm 2)$ 有唯一的公共点 $M$，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A(x, 0)$，$B(0, y)$ 两点。当点 $M$ 运动时，求点 $P(x, y)$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？

第一步：$k$、$m$ 的关系。 $k \neq \pm 2$ 保证联立后是真正的二次方程（$\pm 2$ 正是渐近线斜率）， “唯一公共点”即判别式为 $0$。联立：

$$\frac{x^2}{4} - \frac{(kx+m)^2}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; (4-k^2)x^2 - 2kmx - (m^2 + 16) = 0,$$ $$\Delta = 4k^2m^2 + 4(4-k^2)(m^2+16) = 0 \;\Longrightarrow\; m^2 = 4(k^2 - 4).$$

所以 $|k| > 2$（两条切线 $m = \pm 2\sqrt{k^2-4}$ 各对应一个切点）。

第二步：切点 $M$。 重根 $x_0 = \frac{km}{4-k^2} = -\frac{km}{k^2-4}$， $y_0 = kx_0 + m = -\frac{4m}{k^2-4}$。

第三步：法线截距。 过 $M$ 且垂直于 $l$ 的直线斜率为 $-\frac{1}{k}$，令 $A(X,0)$、$B(0,Y)$ （先别与题面的 $x$、$y$ 混）：

$X = x_0 + ky_0 = -\frac{5km}{k^2-4}, \qquad Y = y_0 + \frac{x_0}{k} = -\frac{5m}{k^2-4}.$

于是 $X = kY$，且 $Y^2 = \frac{25m^2}{(k^2-4)^2} = \frac{100}{k^2-4}$，联立消去 $k$、$m$：

$$X^2 = k^2Y^2 = \left(4 + \frac{100}{Y^2}\right)Y^2 \;\Longrightarrow\; X^2 - 4Y^2 = 100.$$

第四步：轨迹与挖点。 换回题面的 $x$、$y$：轨迹是

$\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{25} = 1 \quad (x \neq \pm 10),$

焦点在 $x$ 轴的双曲线（$a = 10$、$b = 5$）。顶点 $(\pm 10, 0)$ 要挖去：$Y = 0$ 需 $m = 0$， 而 $m^2 = 4(k^2-4) > 0$ 矛盾——顶点是 $|k| \to +\infty$（切线趋于竖直）时的极限点，取不到。

推广。 对一般双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$c^2 = a^2 + b^2$， $k \neq \pm \frac{b}{a}$）：同样的三步给出 $m^2 = a^2k^2 - b^2$、$X = kY$、 $Y^2 = \frac{c^4}{a^2k^2-b^2}$，轨迹是

$\frac{x^2}{\frac{c^4}{a^2}} - \frac{y^2}{\frac{c^4}{b^2}} = 1 \quad (x \neq \pm \frac{c^2}{a}),$

仍是焦点在 $x$ 轴的双曲线（半实轴 $\frac{c^2}{a}$、半虚轴 $\frac{c^2}{b}$），同样挖去两顶点。 本题是 $a = 2$、$b = 4$、$c^2 = 20$ 的情形。