3.2.2 双曲线的简单几何性质

文字转写

利用两个不同的观测点 $A$ ， $B$ 测得同一点 $P$ 发出信号的时间差，可以确定点 $P$ 所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点 $C$ ，利用 $B$ ， $C$ （或 $A$ ， $C$ ）两处测得的点 $P$ 发出信号的时间差，就可以确定点 $P$ 所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点 $P$ 的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.

探究

如图 3.2-6，点 A，B 的坐标分别是 $(-5, 0)$ ， $(5, 0)$ ，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 $\frac{4}{9}$ ，试求点 M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与 3.1 例 3 比较，你有什么发现？

练习

1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，a=4，b=3；

(2) 焦点在 x 轴上，经过点 $(- \sqrt{2}, -\sqrt{3})$ ， $\left(\frac{\sqrt{15}}{3}, \sqrt{2}\right)$ ;

(3) 焦点为 $(0, -6)$ ， $(0, 6)$ ，且经过点 $(2, -5)$ .

2. 求证：双曲线 $x^{2}-15y^{2}=15$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同.

3. 已知方程 $\frac{x^2}{2 + m} - \frac{y^2}{m + 1} = 1$ 表示双曲线，求 $m$ 的取值范围.

4. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{12} = 1 (a > 0)$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$，焦距为8；$M$ 是双曲线上的一点，且 $|MF_{1}| = 5$，求 $|MF_{2}|$ 的值.

3.2.2 双曲线的简单几何性质

思考

类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线

\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0)\tag{①}

的哪些几何性质？如何研究这些性质？

1. 范围

类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是 $x \leqslant -a$，或 $x \geqslant a$，纵坐标的范围是 $y \in \mathbf{R}$（图3.2-7）.

下面利用双曲线的方程求出它的范围.

由方程①可得

$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} = 1 + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} \geqslant 1,$

于是，双曲线上点的坐标 $(x, y)$ 都适合不等式 $\frac{x^2}{a^2} \geqslant 1, y \in \mathbf{R}$，即

$x ^ {2} \geqslant a ^ {2}, y \in \mathbf {R}.$

所以 $x \leqslant -a$，或 $x \geqslant a$；$y \in \mathbf{R}$.

这说明双曲线位于直线 x = -a 及其左侧和直线 x = a 及其右侧的区域.

2. 对称性

类比研究椭圆 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > b > 0$ ）对称性的方法，容易得到，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）关于 $x$ 轴、 $y$ 轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

3. 顶点

类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令 $y = 0$ ，得 $x = \pm a$ 因此双曲线和 $x$ 轴有两个交点 $A_{1}(-a,0), A_{2}(a,0)$ 。因为 $x$ 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。

令 x=0，得 $y^{2}=-b^{2}$ ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴没有公共点，但我们也把 $B_{1}(0,-b)$ ， $B_{2}(0,b)$ 两点画在 y 轴上（图 3.2-8）.

图3.2-8

线段 $A_{1}A_{2}$ 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的

实半轴长；线段 $B_{1}B_{2}$ 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长.

4. 渐近线

探究

利用信息技术画出双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 和两条直线 $\frac{x}{3}\pm\frac{y}{2}=0$ （图3.2-9）。在双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的右支上取一点 M，测量点 M 的横坐标 $x_{M}$ 以及它到直线 $\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=0$ 的距离 d。沿曲线向右上方拖动点 M，观察 $x_{M}$ 与 d 的大小关系，你发现了什么？

可以发现，点 M 的横坐标 $x_{M}$ 越来越大，d 越来越小，但是 d 始终不等于 0.

实际上，经过两点 $A_{1}$，$A_{2}$ 作 $y$ 轴的平行线 $x = \pm 3$，经过两点 $B_{1}$，$B_{2}$ 作 $x$ 轴的平行线 $y = \pm 2$，四条直线围成一个矩形（图3.2-9），矩形的两条对角线所在直线的方程是 $\frac{x}{3} \pm \frac{y}{2} = 0$。可以发现，双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ 的两支向外延伸时，与两条直线 $\frac{x}{3} \pm \frac{y}{2} = 0$ 逐渐接近，但永远不相交。

一般地，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两支向外延伸时，与两条直线 $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{b} = 0$ 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.

在双曲线方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad(a>0,\quad b>0)$ 中，如果a=b，那么方程变为 $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ ，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，四条直线 $x=\pm a,\quad y=\pm a$ 围成正方形，渐近线方程为 $y=\pm x$ ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

5. 离心率

与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 $\frac{c}{a}$ ，叫做双曲线的离心率。因为c>a>0， 所以双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}>1$ 。

思考

椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？

双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.

例3 求双曲线 $9y^{2} - 16x^{2} = 144$ 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：把双曲线的方程 $9y^{2} - 16x^{2} = 144$ 化为标准方程

$\frac {y ^ {2}}{4 ^ {2}} - \frac {x ^ {2}}{3 ^ {2}} = 1.$

由此可知，实半轴长 $a = 4$ ，虚半轴长 $b = 3$ ； $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ ，焦点坐标是$(0, - 5),(0,5)$ ；离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$ ；渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$

练习

1. 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率： (1) $x^{2}-8y^{2}=32$ ; (2) $9x^{2}-y^{2}=81$ ; (3) $x^{2}-y^{2}=-4$ ; (4) $\frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{25}=-1$ .

2. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8， $e=\frac{5}{4}$ ;

(2) 焦点在 y 轴上，焦距是 16， $e=\frac{4}{3}$ .

3. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 $F_{1}(-6,0)$ ，求双曲线的标准方程和渐近线方程.

4. 双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2x$ ，虚轴长为 4，求双曲线的标准方程.

例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图 3.2-10（1））。它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m。试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1 m）。

解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10（2）所示的直角坐标系 $Oxy$ ，使小圆的直径 $AA^{\prime}$ 在 $x$ 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径 $CC'$，$BB'$ 都平行于 $x$ 轴，且 $|CC'| = 13 \times 2$，$|BB'| = 25 \times 2$.

设双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad(a>0,\quad b>0)$ ，点C的坐标为 $(13,\quad y)$ ，则点B的坐标为 $(25,\quad y-55)$ .

因为直径 $AA'$ 是实轴，所以 a=12。又 B，C 两点都在双曲线上，所以

\frac {2 5 ^ {2}}{1 2 ^ {2}} - \frac {(y - 5 5) ^ {2}}{b ^ {2}} = 1,\tag{①}

\frac {1 3 ^ {2}}{1 2 ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1.\tag{②}

由方程②，得 $y = \frac{5b}{12}$ （负值舍去）．代入方程①，得

$\frac {2 5 ^ {2}}{1 2 ^ {2}} - \frac {\left(\frac {5 b}{1 2} - 5 5\right) ^ {2}}{b ^ {2}} = 1.$

化简得

1 9 b ^ {2} + 2 7 5 b - 1 8 1 5 0 = 0.\tag{③}

解方程③，得

$b \approx 2 5 (\text {负值舍去}).$

因此所求双曲线的方程为

$\frac {x ^ {2}}{1 4 4} - \frac {y ^ {2}}{6 2 5} = 1.$

例 5 动点 $M(x, y)$ 与定点 $F(4, 0)$ 的距离和它到定直线 $l: x = \frac{9}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{3}$ ，求动点 M 的轨迹.

解：设 $d$ 是点 $M$ 到直线 $l$ 的距离，根据题意，动点 $M$ 的轨迹就是点的集合

$P = \left\{M \left| \frac {| M F |}{d} = \frac {4}{3} \right. \right\},$

由此得

$\frac {\sqrt {(x - 4) ^ {2} + y ^ {2}}}{\left| x - \frac {9}{4} \right|} = \frac {4}{3}.$

将上式两边平方，并化简，得

$7 x ^ {2} - 9 y ^ {2} = 6 3,$

即

$\frac {x ^ {2}}{9} - \frac {y ^ {2}}{7} = 1.$

图3.2-11

所以，点 $M$ 的轨迹是焦点在 $x$ 轴上，实轴长为6、虚轴长为 $2\sqrt{7}$ 的双曲线（图3.2-11）.

思考

将例 5 与椭圆一节中的例 6 比较，你有什么发现？

例6 如图3.2-12，过双曲线 $\frac{x^2}{3} -\frac{y^2}{6} = 1$ 的右焦点 $F_{2}$ 倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|AB|$

解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为 $F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$.

因为直线 AB 的倾斜角是 $30^{\circ}$ ，且经过右焦点 $F_{2}$ ，所以直线 AB 的方程为

图3.2-12

y = \frac {\sqrt {3}}{3} (x - 3).\tag{①}

由 $\left\{\begin{aligned}y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3),\\ \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1\end{aligned}\right.$ 消去y，得

$5 x ^ {2} + 6 x - 2 7 = 0.$

解方程，得

$x _ {1} = - 3, x _ {2} = \frac {9}{5}.$

将 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的值分别代入 $①$ ，得

$y _ {1} = - 2 \sqrt {3}, y _ {2} = - \frac {2 \sqrt {3}}{5}.$

于是， $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(-3, -2\sqrt{3})$ ， $\left(\frac{9}{5}, -\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)$ 所以

$\begin{array}{r l} {| A B | =} & {\sqrt {(x _ {1} - x _ {2}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {2}) ^ {2}}} \\ & {= \sqrt {\left(- 3 - \frac {9}{5}\right) ^ {2} + \left(- 2 \sqrt {3} + \frac {2 \sqrt {3}}{5}\right) ^ {2}}} \\ & {= \frac {1 6 \sqrt {3}}{5}.} \end{array}$

练习

1. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-6, 0), (6, 0)$，直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$，且它们的斜率之积是 $\frac{2}{9}$。求点 $M$ 的轨迹方程，并判断轨迹的形状。

2. 求下列直线和双曲线的交点坐标： (1) 2x - y - 10 = 0, $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ; (2) 4x - 3y - 16 = 0, $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

3. 直线 $y = \frac{2}{3} x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{8} = 1 (a > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 两点的横坐标之积为-9，求离心率 $e$.

习题3.2

复习巩固

1. 双曲线 $4x^{2} - y^{2} + 64 = 0$ 上一点 $P$ 与它的一个焦点的距离等于1，那么点 $P$ 与另一个焦点的距离等于____.

2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上， $a=2\sqrt{5}$ ，经过点 A(-5, 2);

(2) 经过 $A(-7, -6\sqrt{2})$ , $B(2\sqrt{7}, 3)$ 两点.

3. 已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： (1) $16x^{2}-9y^{2}=144;$ (2) $16x^{2}-9y^{2}=-144.$

4. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，实轴长是 10，虚轴长是 8；

(2) 焦点在 y 轴上，焦距是 10，虚轴长是 8；

(3) 离心率 $e=\sqrt{2}$ ，经过点 $M(-5,3)$ .

5. 如图，圆 $O$ 的半径为定长 $r$，$A$ 是圆 $O$ 外一个定点，$P$ 是圆 $O$ 上任意一点。线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $OP$ 相交于点 $Q$，当点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹是什么？为什么？

6. 求经过点 $A(3, -1)$，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程.

综合运用

7. $m$ ， $n$ 为何值时，方程 $\frac{x^2}{m} +\frac{y^2}{n} = 1$ 表示下列曲线：

(1) 圆；(2) 椭圆；(3) 双曲线？

8. 求与椭圆 $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$ 有公共焦点，且离心率 $e=\frac{5}{4}$ 的双曲线的方程.

9. 相距 $1400 \, m$ 的 A, B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 $3 \, s$ ，已知声速是 $340 \, m/s$ ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程.

10. 设动点 $M$ 与定点 $F(c, 0) (c > 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$ 的距离的比是 $\frac{c}{a} (a < c)$, 求动点 $M$ 的轨迹方程, 并说明轨迹的形状.

11. $M$ 是一个动点，$MA$ 与直线 $y = x$ 垂直，垂足 $A$ 位于第一象限，$MB$ 与直线 $y = -x$ 垂直，垂足 $B$ 位于第四象限．若四边形 $OAMB$（$O$ 为原点）的面积为3，求动点 $M$ 的轨迹方程.

12. 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$，双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $e_1$ 和 $e_2$ 的取值范围.

拓广探索

13. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$，过点 $P(1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $A$，$B$ 两点，$P$ 能否是线段 $AB$ 的中点？为什么？

14. 已知双曲线 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ 与直线 $l: y = kx + m (k \neq \pm 2)$ 有唯一的公共点 $M$，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A(x, 0)$，$B(0, y)$ 两点。当点 $M$ 运动时，求点 $P(x, y)$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？

6 探究与发现

为什么 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线

前面我们利用信息技术，直观地得到了直线 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线，下面我们给出证明.

如图1, 在第一象限内, 双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的方程可写为 $y = \frac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2} (x > a)$. 设 $M(x, y)$ 是其图象上的点, $N(x, Y)$ 是直线 $y =$

$\frac{b}{a}x$ 上的点，且与 $M(x, y)$ 有相同的横坐标，则 $Y=\frac{b}{a}x$。 因为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^{2}}<\frac{b}{a}x=Y$， 所以 |MN|=Y-y=\frac{b}{a}(x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})$$=\frac{b}{a}\cdot\frac{(x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})}{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}

$= \frac {a b}{x + \sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}}}.$

设 $|MQ|$ 是点M到直线 $y=\frac{b}{a}x$ 的距离，则 $|MQ|<|MN|$ .

当 $x$ 逐渐增大时, $|MN|$ 逐渐减小, $x$ 无限增大时, $|MN|$ 无限接近于 0 , $|MQ|$ 也无限接近于 0 . 也就是说, 双曲线在第一象限向右上方延伸时, 是从射线 $ON$ ( $O$ 为原点) 的下方逐渐接近于射线 $ON$, 但与射线 $ON$ 永远不相交.

根据双曲线的对称性，在其他象限内，也有类似的结论.

另外，我们也可直接计算 $|MQ|$，证明当 $x$ 无限增大时， $|MQ|$ 无限接近于0.