含参导数漏掉参数非正的一支

易错点

含参函数求导后，$f'(x)$ 的符号常常随参数的符号整体改变，必须先按参数分情况，再在每种情况里看 $f'$ 能否变号。最典型：

• $a\le 0$：$a e^x\le0<1$，故 $f'(x)<0$ 恒成立，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，没有极值点。
• $a>0$：$f'(x)=0\Leftrightarrow e^x=\dfrac1a\Leftrightarrow x=\ln\dfrac1a$，先减后增，有唯一极小值。

最常翻的车是只写 $a>0$ 那一支——因为 $a>0$ 才有「令 $f'=0$ 解出 $x$」的好戏，手就忘了 $a\le0$ 时 $f'=0$ 根本无解、是另一种单调性。漏了这一支，「讨论单调性」就不完整。

类似的还有 $f'(x)=a-\dfrac1x$、$f'(x)=ax^2+\cdots$ 等：参数的正负（乃至是否为 $0$、二次项系数是否为 $0$）都会改变 $f'$ 的零点结构，切点要穷尽。

自检

写完分类问一句：我的切点（$a$ 与 $0$ 比、与某临界值比）是否互斥且穷尽？尤其 $a=0$、$a<0$ 这两段，有没有被「只想着 $a>0$」吞掉。