二面角与法向量夹角互补漏判

易错点

用空间向量法求二面角，算的是两个半平面法向量的夹角 $\theta$，而真正的二面角 $\alpha$ 与它要么相等、要么互补：

取决于两个法向量是「一起指向二面角内部 / 一起指向外部」还是「一进一出」。直接套 $\cos\theta=\dfrac{\vec m\cdot\vec n}{|\vec m||\vec n|}$ 而不看取向，得到的可能是补角的余弦，符号就反了。

两种处理：

• 求二面角的值：算出 $|\cos\theta|$ 后，回图看二面角是锐是钝，决定符号（钝角取负）。光看 $|\cos|$ 给的是锐角答案，钝二面角必错。
• 已知二面角 = $\alpha$，反求参数：列 $|\cos\alpha|=\dfrac{|\vec m\cdot\vec n|}{|\vec m||\vec n|}$。取绝对值会把「法向量夹角 $=\alpha$ 还是 $=\pi-\alpha$」合在一起，解出的参数往往不止一个——每一个都要回验二面角真为 $\alpha$，别只看落在参数范围内就留。常见情形：图形让二面角在可行域内恒钝，则 $\alpha$ 取锐角时对应根是假的；$\alpha$ 取钝角时，又可能因对称而两根都真（二面角随参数先升后降、两次穿过 $\alpha$）。

自检

写完结论问两句：① 我求的是法向量夹角还是二面角？两者差了「是否互补」这一步补了没？② 如果是「已知角反求量」用了 $|\cos|$，方程的每个根都验过范围了吗——它们可能对应法向量的两种取向，都合法。