构造函数证不等式

解题套路

要证一个不等式，把右边移到左边，构造差函数 $h$，使「不等式成立」等价于「$h>0$（或 $h\ge0$）」。然后对 $h$ 求导：

1. 求 $h'$，找驻点、定单调区间。
2. 由单调性得 $h$ 的最小值（或下确界）。
3. 证 $h_{\min}>0$（或 $\ge0$，且等号取不到时即得严格 $>$）。

当不等式含两个量（如对 $x$ 恒成立、又含参数 $a$）时，常分两步：先对 $x$ 取最值得一个只含 $a$ 的式子，再对 $a$ 构造 $g(a)$ 重复上面的流程。

何时用

• 不等式一边是「任意 $x$ 下的最值」化简后的单变量式子。
• 直接看不出的多项式 / 指对混合不等式，求导后单调性往往很干净。

自检

• 构造的 $h$ 的定义域写了吗（如 $a>0$ 才有 $\ln a$）。
• 求的是最小值还是最大值别反；要证 $h>0$ 就要 $h_{\min}>0$。
• 等号能不能取到：若结论是严格 $>$，确认 $h_{\min}$ 处不取等，或 $h_{\min}$ 本身 $>0$。