套路

导数递增就只比两个端点

若 f′f' 在 [a,b][a,b] 上单调递增（例如 f′′⩾0f''\geqslant0，或 f′f' 本身就是一个显然递增的式子），则 ff 在 [a,b][a,b] 上要么单调、要么先减后增，**最大值一定在端点取到**——只比 f(a)f(a) 与 f(b)f(b) 两个数，不必求驻点、不必分类。

结论

f′f' 在 [a,b][a,b] 上单调递增 ⟹\Longrightarrow

max⁡[a,b]f=max⁡{f(a), f(b)}.\max_{[a,b]}f=\max\{f(a),\ f(b)\} .

（最小值没有这条便宜——它可能落在内部的驻点上。）

为什么

f′f' 单调递增，所以它在 [a,b][a,b] 上至多变号一次，且只能由负变正。于是只有三种形态：

  • f′⩾0f'\geqslant0 全程：ff 单调递增，最大值在右端点；
  • f′⩽0f'\leqslant0 全程：ff 单调递减，最大值在左端点；
  • 先负后正：ff 先减后增，中间那个驻点是极小值点，最大值只能在两端。

三种都把最大值逼到端点上。关键是”由负变正”这个方向——若 f′f' 递减，形态反过来， 最大值反倒可能在内部，这条就不成立。

怎么认出「f′f' 递增」

  • 算 f′′f''：f′′⩾0f''\geqslant0 即可。三次函数 f=Ax3+…f=Ax^{3}+\dots（A>0A>0）在 x⩾0x\geqslant0 上就满足， 因为 f′′=6Ax⩾0f''=6Ax\geqslant0。
  • 直接看 f′f' 的样子：f′=12ax2−2bf'=12ax^{2}-2b 在 x⩾0x\geqslant0 上显然随 xx 增大而增大（a>0a>0）， 连二阶导都不用求。
  • f′f' 是若干个递增函数之和：如 f′=ex+x3f'=\mathrm{e}^{x}+x^{3}。

划算在哪

含参问题里，「先求驻点再分类」要按参数讨论驻点在不在区间内、落在哪一段—— 一道题能写半页。这条把最大值直接钉死在两个端点上，参数只出现在 f(a)f(a)、f(b)f(b) 两个式子里， 后面无论是比大小还是解不等式，面对的都是有限个关于参数的表达式。

常见失手

  • 拿去求最小值。最小值可能在内部驻点上，这条一个字都用不上。
  • f′f' 递减时照搬。那时最大值在内部、最小值在端点，结论要整个反过来。
  • 区间跨过了 f′f' 的单调性分界。f′=12ax2−2bf'=12ax^{2}-2b 在 R\mathbf{R} 上不是单调的（它在 x<0x<0 时递减）， 只有限定 x⩾0x\geqslant0 才递增——用之前先确认区间落在哪一侧。

学它之前先会

共 3 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。