浙江 2025 · 数学 q14

先把题意读准（两条路共用）

假设你刚学期望。这道题的第一个坎不在算，在读懂 $X$ 到底是什么。

题面说「记至少取出一次的球的个数 $X$」——数的是球，不是抽取的次数：

三次摸完，把出现过的编号列出来，列出来几个编号，$X$ 就是几。

摸到 $(2,2,5)$，出现过的编号是 $2$ 和 $5$，$X=2$；摸到 $(3,3,3)$ 则 $X=1$。三次机会最多让三个球「出现过」，所以

$$X\in\{1,2,3\}$$

$X$ 的上限是 $3$、不是 $5$。 箱子里确实有 5 个球，但只摸三次——剩下的球没机会出现。这一句读错，后面全白算。

第二件事：期望是什么。 一个离散型随机变量的数学期望，是它各个取值以概率为权的加权平均：

$$E(X)=\sum_i x_i\,p_i$$

想直接按这个式子算，就得先把 $X$ 每个取值的概率都求出来（那张表叫分布列）——这是解法一走的路。解法二压根不去求分布列，另找了一条捷径。

第三件事：等可能的到底是什么。 「有放回」这三个字保证：每一次抽取都面对同样的 5 个球、每个编号机会相同，而且三次互不影响。于是把三次结果记成一个有序三元组 $(a_1,a_2,a_3)$，一共

$$5\times5\times5=5^{3}=125$$

个三元组，且它们等可能。注意题面那句「5 个相同的球」说的是「抽到谁的机会一样」，不是球不可区分——它们带着编号 $1\sim5$，$(1,2,2)$ 与 $(2,1,2)$ 是两个不同的结果。这 125 个等可能结果是解法一全部计数的地基。

解法一：列分布列直算

怎么想到的。 期望的定义式要的就是各个 $p_i$，而手上已经有 125 个等可能结果。那就按 $X$ 的三个取值把这 125 个结果分成三堆，每堆数出个数、除以 125 就是概率。「合意结果数 ÷ 总结果数」是最原始的办法，好处是它不需要任何新工具，只要数得清。

$X=1$：三次摸到同一个球。 只要定下是哪个编号，三元组就唯一确定了（$(k,k,k)$）。编号 5 种选法，故这一堆有 5 个结果：

$$P(X=1)=\frac{5}{125}=\frac{1}{25}$$

$X=3$：三次编号全不同。 按抽取顺序一格一格地定：第一次任选 5 个之一，第二次要避开第一次已用的、剩 4 个，第三次要避开前两次的、剩 3 个：

$$5\times4\times3=60,\qquad P(X=3)=\frac{60}{125}=\frac{12}{25}$$

$X=2$：恰好出现两个编号。 这一堆最容易数错，先看清它长什么样：三格里放两种编号，必然是一种编号占两格、另一种占一格（把 3 拆成两个正整数只有 $2+1$ 这一种拆法）。于是「先定内容、再定位置」：

• 占两格的那个编号：5 种；
• 占一格的那个编号：从剩下 4 个里挑，4 种；
• 那一格落在三个位置里的哪一个：3 种。

$$5\times4\times3=60,\qquad P(X=2)=\frac{60}{125}=\frac{12}{25}$$

$X=2$ 与 $X=3$ 都数出 60，是巧合——两个 $5\times4\times3$ 的来路完全不同：前者是「双格编号 × 单格编号 × 单格的位置」，后者是三格依次挑编号。别把它当成什么规律记下来。

往下算之前先验一遍。 $5+60+60=125$——三堆刚好把 125 个结果分完、不重不漏，概率也就自动加成 $1$：$\dfrac{1}{25}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{12}{25}=1$。这一步花一秒钟，能挡住绝大多数计数错误。

按定义加权：

$$E(X)=1\times\frac{1}{25}+2\times\frac{12}{25}+3\times\frac{12}{25}=\frac{1+24+36}{25}=\frac{61}{25}$$

解法二：指示变量拆分

怎么想到的。 解法一的计数只是勉强能做——因为球只有 5 个、只摸 3 次。换成「10 个球摸 6 次」，$X$ 能取 $1$ 到 $6$，六堆各要单独想一遍形状（$6=5+1=4+2=3+3=\cdots$），没人敢保证不漏。所以换个问法：

与其问「一共出现了几个球」，不如对每个球单独问一句「你出现过吗」。

「出现过」记 $1$、「没出现过」记 $0$，把 5 个答案加起来，正好就是出现过的球的个数。这就是指示变量拆分：把一个难算的计数变量，换成一堆好算的 $0\text{-}1$ 变量之和。

① 拆。 对编号 $i$（$i=1,2,3,4,5$）设

$$I_i=\begin{cases}1,&\text{三次里编号 }i\text{ 至少出现一次}\\[2pt] 0,&\text{三次里编号 }i\text{ 一次都没出现}\end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad X=I_1+I_2+I_3+I_4+I_5$$

这个等号是恒等式：无论摸出哪个三元组，左右两边都相等，不需要附加任何条件。

② $0\text{-}1$ 变量的期望，就是它取 $1$ 的概率。 按定义直接算：

$$E(I_i)=1\cdot P(I_i=1)+0\cdot P(I_i=0)=P(I_i=1)$$

这一句是整条路的枢纽——它把「求一个期望」换成了「求一个概率」。

③ 「至少出现一次」走反面算。 正面数要分「恰好一次 + 恰好两次 + 恰好三次」三项，容易漏、容易重复计；反面只有一种情形：三次全都没摸到 $i$。单次没摸到 $i$ 的概率是 $\dfrac45$，三次互不影响，所以

$$P(I_i=0)=\left(\frac45\right)^{3}=\frac{64}{125},\qquad P(I_i=1)=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}$$

于是 $E(I_i)=\dfrac{61}{125}$，而且对 $i=1,\dots,5$ 全都一样（5 个球地位完全一致，没有哪个球更容易被摸到）。

④ 相加——这一步靠期望的线性性质。

$$E(X)=E\!\left(\sum_{i=1}^{5}I_i\right)=\sum_{i=1}^{5}E(I_i)=5\times\frac{61}{125}=\frac{61}{25}$$

这一步为什么合法，值得单独说一句。 这 5 个 $I_i$ 并不互相独立：三次最多摸出 3 个球，所以一旦有 3 个 $I_i$ 等于 $1$，剩下两个必然是 $0$，它们之间牵连得很紧。但期望的线性性质不要求独立——对任意几个随机变量的和它都成立。正是这一点让我们能绕开「哪几个球会同时出现」那团乱麻：拆开的时候不必管它们的牵连，各算各的再相加就行。

整条路，一张图收得住。 下图把编号 $1\sim5$ 的五个球排成一行，每个球正下方挂的那个标签就是属于它的指示变量 $I_i$；最下面绿色那行写的是两个关键数——单个球的 $E(I_i)=1-\left(\tfrac45\right)^{3}=\tfrac{61}{125}$，以及五份相加后的 $E(X)=5\times\tfrac{61}{125}=\tfrac{61}{25}$。

这两条路差在哪

• 解法一交出的东西更多。 它顺手把整张分布列都算了出来，所以还能回答「$P(X=2)$ 是多少」「方差是多少」。代价是计数量随规模爆炸：把「5 个球摸 3 次」换成「10 个球摸 6 次」，六堆的形状要一堆一堆地想。

• 解法二交出的东西更少，但省力得多。 它对分布列一个字也没说（$P(X=2)$ 它算不出来），可它对规模几乎不敏感。同样三步搬到「$m$ 个球摸 $n$ 次」上，直接得

  $$E(X)=m\left[1-\left(\frac{m-1}{m}\right)^{\!n}\right]$$

  代入 $m=5,\ n=3$：$5\left(1-\dfrac{64}{125}\right)=\dfrac{61}{25}$，与解法一对上。

• 两条路的公共地基是同一句定义 $E(X)=\sum x_ip_i$：解法一把它用在 $X$ 身上，于是要数三堆结果；解法二把它用在 5 个 $I_i$ 身上，于是只要算一个概率。用在谁身上，决定了要数多少东西——这是拆变量这套技法真正的价值所在。

这道题是填空题、只要一个数，考场上首选解法二。但若同一道题后面还追问分布列或方差，解法一那张表就非做不可。

🕳️ 避坑

• $X$ 数的是球的个数、不是抽取次数，上限是 $3$ 不是 $5$。把取值写成 $1\sim5$，整道题从第一步就歪了。
• 「至少一次」必须走反面：$1-\left(\tfrac45\right)^{3}$。写成 $3\times\tfrac15=\tfrac35$ 是错的——那等于把三次「这一次摸到 $i$」的概率硬加起来，把「摸到两次、三次」的情形重复计了。
• 解法二算出 $E(I_i)=\tfrac{61}{125}$ 就交卷，是这道题最常见的失分：那只是一个球的期望，还要乘 5 才是 $E(X)=\tfrac{61}{25}$。$\tfrac{61}{125}$ 与 $\tfrac{61}{25}$ 长得太像，写的时候看清分母。
• 解法一里 $X=2$ 别只数出 $5\times4$ 就收——占一格的那个编号还有 3 个位置可挑，漏掉这个 $3$ 会算出 $P(X=2)=\tfrac{4}{25}$，连概率和都凑不到 $1$。
• 「5 个相同的球」不等于不可区分：它们有编号，$(1,2,2)$ 与 $(2,1,2)$ 是两个不同的等可能结果，所以总数是 $5^{3}$，不是不计顺序的那个数。