浙江 2023 · 数学 q11

冷启动：抽象函数，手里只有那条等式

$f$ 没有解析式，唯一的线索是恒等式

$$f(xy)=y^2 f(x)+x^2 f(y)\qquad(\forall x,y\in\mathbb{R})$$

要判四个命题。抽象函数的标配手法是往等式里塞特殊的 $x,y$，让某一项消失、把想要的值挤出来；判「是不是偶函数」则凑 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。另一条更「看结构」的路是把等式变形，认出它背后的 Cauchy 型方程。

解法一：取特值 0,1,-1 逐项验证

怎么想到的。 等式对所有 $x,y$ 成立，那就挑能让式子塌缩的值代进去。

A。 取 $x=y=0$：$f(0)=0\cdot f(0)+0\cdot f(0)=0$。✓

B。 取 $x=y=1$：$f(1)=1\cdot f(1)+1\cdot f(1)=2f(1)\ \Rightarrow\ f(1)=0$。✓

C。 先求 $f(-1)$：取 $x=y=-1$，$f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)\ \Rightarrow\ f(-1)=\tfrac{1}{2}f(1)=0$。再取 $y=-1$（这一步是奇偶周期化归里凑 $f(-x)$ 的标准动作）：

$$f(-x)=(-1)^2 f(x)+x^2 f(-1)=f(x)+x^2\cdot 0=f(x)$$

故 $f$ 是偶函数。✓

D。 这是个全称命题（要对每个满足等式的 $f$ 都成立），否定它只需一个反例。取

$$f(x)=x^2\ln|x|\ (x\ne 0),\quad f(0)=0$$

它满足等式（$f(xy)=x^2y^2(\ln|x|+\ln|y|)=y^2 f(x)+x^2 f(y)$）。而在 $0$ 附近 $|x|<1\Rightarrow\ln|x|<0\Rightarrow f(x)<0=f(0)$，所以 $x=0$ 反而是极大值点，谈不上极小值——D 不恒成立。✗（官方另给的反例 $f\equiv 0$ 也行：常函数按严格定义无极值。）

解法二：化归 g(xy)=g(x)+g(y) 看结构

怎么想到的。 等式右边是「$y^2$ 配 $f(x)$、$x^2$ 配 $f(y)$」的对称结构，提示两边同除 $x^2y^2$。对 $x,y\ne 0$ 令 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$，则

$$\frac{f(xy)}{x^2y^2}=\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f(y)}{y^2}\quad\Longrightarrow\quad g(xy)=g(x)+g(y)$$

这是个把「乘」变「加」的 Cauchy 型方程，$g$ 的代数性质一下就把 A、B、C 全交代了：

• $g(1)=g(1\cdot1)=2g(1)\Rightarrow g(1)=0\Rightarrow f(1)=1^2 g(1)=0$（B）；
• $g(1)=g((-1)^2)=2g(-1)\Rightarrow g(-1)=0$，于是 $g(-x)=g(-1)+g(x)=g(x)\Rightarrow f(-x)=x^2 g(-x)=x^2 g(x)=f(x)$（C，偶函数）；
• $f(0)=0$ 仍由原式取 $x=y=0$ 得到（A，这一步 $g$ 管不到 $0$，得回原式）。

D 为何不成立：通解形如 $f(x)=x^2 g(x)$，而 $g$ 在 $0$ 附近的模样并不被等式锁死。取 $g(x)=\ln|x|$ 即上面的 $f(x)=x^2\ln|x|$，$0$ 是极大值点；取 $g\equiv 0$ 即 $f\equiv 0$，无极值。所以「$0$ 是极小值点」并非对每个合法 $f$ 都成立。✗

这两条路差在哪。 解法一是「点射」：每个选项挑一组特值打过去，快、直接、不易错，是考场的默认打法。解法二是「透视」：它把等式背后的 $g(xy)=g(x)+g(y)$ 揪出来，于是 B、C 不再是「凑出来的巧合」，而是 $g(1)=0$、$g(-1)=0$、$g(-x)=g(x)$ 的必然结果，连 D 的「不恒成立」也看得通透——$g$ 在原点附近是自由的。前者赢在手速，后者赢在把整族解看明白。

🕳️ 避坑

• 看到 $f(0)=0$ 别顺嘴说「$0$ 是极值点」——$f(0)$ 的值和「$0$ 是不是极值点」毫无关系（见抽象函数极值点的恒成立误判）。
• D 这种「是极小值点」是全称命题：要否定它，一个反例函数足矣；别因为它对某个特例成立就以为恒成立。

对照选项 A. $f(0)=0$、B. $f(1)=0$、C. $f$ 是偶函数、D. $x=0$ 为极小值点，故选 ABC。