等差数列的通项公式

教材原文

设一个等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_1$ ，公差为 $d$ ，根据等差数列的定义，可得

$a _ {n + 1} - a _ {n} = d,$

所以

$a _ {2} - a _ {1} = d, a _ {3} - a _ {2} = d, a _ {4} - a _ {3} = d, \dots .$

于是

$a _ {2} = a _ {1} + d,$

$a _ {3} = a _ {2} + d = (a _ {1} + d) + d = a _ {1} + 2 d,$

$a _ {4} = a _ {3} + d = (a _ {1} + 2 d) + d = a _ {1} + 3 d,$

归纳可得

$a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) d (n \geqslant 2).$

当 $n = 1$ 时，上式为 $a_1 = a_1 + (1 - 1)d = a_1$。这就是说，上式当 $n = 1$ 时也成立。因此，首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为

$a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) d.$

公式

用法

• 判定等差：证明相邻两项差 $a_{n+1}-a_n$ 为常数。
• 求出首项 $a_1$ 与公差 $d$ 后即得通项，进而求任意项。