8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

这一节不引入任何新的计算，它只做一件事：把空间中点、直线、平面之间可能有的位置关系一次数清，并给每一条配上符号与画法。它是整个立体几何的词汇表——后面所有关于平行、垂直的定理，都在这一节的框架里说话。

课本的舞台是长方体 $ABCD-A'B'C'D'$：8 个顶点、12 条棱、6 个面，把全部位置关系都摆出来了。先把这张总账放在这里，后面每一节都会回来查它：

点与直线、点与平面这两种关系初中就熟，这一节真正的新东西是异面直线，以及「直线在平面外」「面面相交」这两个说法的准确含义。

一、两条直线的三种位置关系

两条直线的位置关系由「有没有公共点」和「能不能共面」联合决定：

• 相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；
• 平行：在同一平面内，没有公共点；
• 异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。

「异面」的定义里最关键的是「任何一个平面」：不是这张图上没有平面同时装下它们，而是不存在任何一个平面同时包含这两条直线。所以长方体里，$AB$ 与 $DC$ 平行（同在面 $ABCD$ 内），$AB$ 与 $BC$ 相交于 $B$，$AB$ 与 $CC'$ 是异面直线——$AB$ 与 $CC'$ 既不平行也不相交（一个水平、一个竖直，没有公共点），而空间两条直线的位置关系只有三种，排除了前两种就只剩异面。

画异面直线时，课本用平面衬托（图 8.4-12 的画法），目的就是让人看出「不共面」：两条异面直线直接画在一起，容易被误读成相交或平行。

判断异面直线的两个武器：

1. 例 2 的结论（最常用）：与一个平面相交的直线，和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。例 2 中 $AB \cap \alpha = B$、$a \subset \alpha$ 且 $B \notin a$，所以 $AB$ 与 $a$ 异面。这个结论可以直接用，不必每次重证。
2. 反证法（例 2 的证明就是它）：假设两条直线共面，推出矛盾。例 2 中若 $AB$ 与 $a$ 共面于 $\beta$，则 $B \in \beta$、$a \subset \beta$——而过点 $B$ 与直线 $a$ 的平面有且仅有一个（推论 1），所以 $\beta$ 只能是 $\alpha$，于是 $AB \subset \alpha$、$A \in \alpha$，与 $A \notin \alpha$ 矛盾。

顺带记下例 2 里起作用的推论链：「过直线外一点与这条直线有且仅有一个平面」。立体几何的证明经常是「8.4.1 的推论 + 基本事实」的组合拳。

二、直线与平面的三种位置关系

• 直线在平面内：有无数个公共点，记 $a \subset \alpha$；
• 直线与平面相交：有且只有一个公共点，记 $a \cap \alpha = A$；
• 直线与平面平行：没有公共点，记 $a \parallel \alpha$。

注意「直线在平面外」不是第三种位置关系，它是相交与平行的合称。判断题里出现「在平面外」，先分两支想。

画图有一条规范（课本 ●● 里提醒的）：直线在平面内，画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外，把直线或它的一部分画在平行四边形外。这条规范是读图的基础——课本里的图就是照它画的，看图判断位置关系时才有据可依。

三、两个平面的两种位置关系

• 平行：没有公共点，记 $\alpha \parallel \beta$；
• 相交：有一条公共直线，记 $\alpha \cap \beta = l$。

两个平面不可能「只有一个公共点」：由基本事实 3，两个不重合的平面有一个公共点，就有且只有一条过该点的公共直线。所以面面相交的公共部分永远是一条直线——不是一点，不是一段弧线。画平行平面时，让两个平行四边形的对应边平行。

四、判断套路：先数公共点，再谈共面

三类位置关系的判据有一个共同的骨架——公共点的个数：

• 两条直线：有公共点 → 相交；没有 → 还要再查共面：共面则平行，不共面则异面。
• 直线与平面：无数个 → 在平面内；恰一个 → 相交；零个 → 平行。「零个公共点」本身就是线面平行的定义，不用再查。
• 两个平面：零个 → 平行；有一个 → 相交（且公共部分是整条直线）。

「没有公共点」这句话在三种情形下分量不同：对两条直线，它只说明「不是相交」，平行还是异面要看共面；对线面、面面，它直接就给出了平行。

「共面」的判断，小题里靠图，证明题里靠推论：两条相交直线确定一个平面（推论 2），两条平行直线确定一个平面（推论 3）。习题 8.4 第 6 题是这条思路的完整演示：两条平行直线确定平面 $\alpha$，第三条直线与它们各有一个交点，两个交点都在 $\alpha$ 内，由基本事实 2 整条直线在 $\alpha$ 内——三线共面。

五、长方体：整章的教具

课本反复用长方体不是随手挑的：它的 12 条棱（12 条直线）、6 个面（6 个平面）把每种位置关系都提供了实例。判断一组直线、平面的位置关系时，先在长方体里找一组同构的实例，再照实例回答——练习 1(2)（相邻两个面的对角线：可能相交，也可能异面）、练习 2（$AB$ 与 $AC$、$A'B$ 与 $AC$ 等四对）都在用这个办法。正方体、长方体题占立体几何小题的相当比例，认熟它们的棱、面对角线之间的关系，是本节最划算的投入。

六、易错清单（按失分频率排）

1. 「没有公共点」直接说「平行」——两条直线没有公共点，还可能是异面直线（练习 1(1) 选 D）。「异面」的定义里「不同在任何一个平面内」这个条件不能省：只有先确认共面，没有公共点才是平行。
2. 断言「异面」却不给理由。判断异面要用例 2 的结论或反证法；凭「看着不共面」答证明题拿不到分。同理，「分别在两个平面内的直线是异面直线」也不对（习题 3(3)）——它们可能平行。
3. 「直线在平面外」=「与平面平行」。在平面外是相交与平行的合称。习题 2(2) 里 $a$ 不平行 $\alpha$ 且 $a \not\subset \alpha$，则 $a$ 与 $\alpha$ 相交，四个选项中只有「$\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线」成立。
4. 由一条平行线直接推另一条。两条平行直线中的一条与平面平行，另一条不一定与该平面平行——它可能在这个平面内（练习 3(3) 是错的）。同源的一处：与两个平行平面中的一个平面平行的直线，与另一个平面是平行或在这个平面内（习题 4(2)），别漏掉「在平面内」那一支。
5. 「无数个点不在平面内」≠ 线面平行。直线与平面相交时，除交点外的所有点都不在平面内（练习 3(1) 是错的）。「无数个点」与「所有点」不是一回事。
6. 「四边形确定一个平面」——只有平面四边形（梯形、矩形等）确定一个平面；空间四边形不能（习题 3(2) 是错的）。确定平面的条件只有五个：不共线的三点、直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线。
7. 符号混用。点在直线上、点在平面内用 $\in$（$A \in \alpha$）；直线在平面内用 $\subset$（$a \subset \alpha$）；线面相交用 $\cap$（$a \cap \alpha = A$）。$\in$ 与 $\subset$ 写反、把「直线在平面内」写成 $\in$，是立体几何最初期最高频的笔误。
8. 面面相交写成「有一个公共点」。两个平面只要有公共点，公共部分就是整条直线（基本事实 3）。「面面相交于一点」在空间中不可能。

七、这一节的题怎么读

本节页面上的练习（第 135 页 4 道 + 第 138 页 4 道）与习题 8.4 第 1–9 题都收在旁边的《习题详解》里；第 10 题是开放思考题（刻画直线的基本特征），没有唯一答案，不收。

做这一节的题，动作是固定的三步：把题里的图形或条件翻译成位置关系 → 数公共点 → 对表查答案。选择题把每个选项都当成一个「命题」逐条对定义；判断题逐条对照本节的总账表；证明题用基本事实 3 的变身——「两个平面的交线」是证多点共线、多线共点的主入口（习题 8.4 第 8 题：$P, Q, R$ 都在 $\triangle ABC$ 所在平面与 $\alpha$ 的交线上）。

下方「考过本节的真题」是构建期从知识图谱派生的清单。位置关系本身很少直接命制大题，它更多作为立体几何大题第一问的词汇出现——「证明直线与平面平行/垂直」的题设与结论都用这一节的符号。做真题时重点看它们怎么把「位置关系」翻译成「可以证的命题」。

清单里有一道是例外，「异面」在那里不是词汇而是全部内容，值得单独读：

• 2015 年浙江第 13 题（三棱锥 $A\text{-}BCD$，$AB=AC=BD=CD=3$、$AD=BC=2$， $M$、$N$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点，求异面直线 $AN$、$CM$ 所成角的余弦值）。 它把本节那句定义原样考了一遍：$AN$ 与 $CM$ 既不相交也不平行，按定义要先 「把其中一条平移到与另一条相交」，角才谈得上。做法是取 $ND$ 的中点 $E$， $\triangle AND$ 的中位线给出 $ME\parallel AN$，于是所求的角落在 $\angle EMC$ 上， 一次余弦定理得 $\frac{7}{8}$。 两处细节正对着本节的表述：一是「异面」的判断——$AN$ 在平面 $ABC$ 内、$M$ 在平面外， 两线无公共点又不平行；二是所成角的范围只到 $\frac{\pi}{2}$， 所以用向量算出负的余弦时要取绝对值。学完本节可以先把「为什么这两条是异面的」说清楚， 求角那一步等学到 §8.6 或空间向量再补。

本节页面上的课本习题共 17 道：两组「练习」8 道（第 135 页 4 道、第 138 页 4 道），加「习题 8.4」印在本节页面上的 9 道（第 1—9 题），逐题全做。

两处跨节的说明。 第 135 页那组练习排在 §8.4.2 的标题之前，内容考的是 §8.4.1「平面」的确定平面与符号表示——按「跨节归节」它本应收在 §8.4 那一节，但那组题只印在本节页面上（§8.4 的页面是第 131—134 页，够不着第 135 页的题面），故收在这里。习题 8.4 整组印在本节页面上（第 138—139 页），逐题全收，其中第 2(1)、3(1)、3(2)、6、7、8 题考的是 §8.4.1 的确定平面与基本事实，同样因页面归属收在这里。

未收的一道：习题 8.4 第 10 题。它问「直线有什么基本特征、如何刻画」，是开放式的思考题，没有唯一解答，不收。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 135 页）第 1 题

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 书桌面是平面. ( )

(2) 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交，它们只有有限个公共点. （）

（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （）

(1) ×。 书桌面只是平面的一部分。平面是无限延伸的，桌面这样有边界的实物只能看作是平面的一部分，不能等于平面。

(2) ×。 由基本事实 3，两个不重合的平面有一个公共点时，它们有且只有一条过该点的公共直线，公共点全在这条直线上，是无限多个，不是有限个。

(3) √。 由基本事实 1，过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面；两个平面都经过这三个不共线的点，所以它们重合。

练习（第 135 页）第 2 题

2. 下列命题正确的是（）.

(A) 三点确定一个平面

(B) 一条直线和一个点确定一个平面

(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面

(D) 梯形可确定一个平面

(A) ×。 基本事实 1 说的是「不在一条直线上的三个点」确定一个平面；若三点共线，过这条直线的平面有无数个，不能唯一确定。

(B) ×。 必须是「直线外一点」与这条直线确定一个平面（推论 1）；若点在直线上，过该直线有无数个平面。

(C) ×。 圆心和圆上两点可能共线——当这两个点是直径的两个端点时，圆心在直径上，三点共线，不能确定唯一平面。

(D) √。 梯形的两条底边平行，由推论 3，两条平行直线确定一个平面，整个梯形（两条底边所在的整个图形）都在这个平面内。

所以答案是 (D)。

练习（第 135 页）第 3 题

3. 不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.

结论：可以确定 4 个平面。

第一步：任意三个点都不共线。 若其中有三个点共线，则四个点必共面：第四点也在这条直线上时，四个点同线，都在任意一个过该直线的平面内；第四点在直线外时，由推论 1，这条直线与第四点确定一个平面，四个点都在其中。两种情形都与题设「不共面」矛盾。

第二步：每三个点确定一个平面。 由基本事实 1，任意三个不共线的点确定唯一一个平面。四个点任取三个共有 $\mathrm{C}_4^3 = 4$ 组取法，所以至多（也至少）得到 4 个平面。

第三步：这 4 个平面互不相同。 若两个三点组（比如 $A,B,C$ 与 $A,B,D$）确定同一个平面，则该平面同时含 $A,B,C,D$ 全部四个点，四个点共面——矛盾。

画法说明： 把四个点两两相连，得到一个四面体（三棱锥），它的四个三角形面恰好就是上述 4 个平面；画出这个四面体即说明了结论。图上看，四面体的四个面两两相交于一条棱，但整个图形不共面。

练习（第 135 页）第 4 题

4. 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

(1) 点 A 在平面 $\alpha$ 内，点 B 在平面 $\alpha$ 外；

(2) 直线 a 既在平面 $\alpha$ 内，又在平面 $\beta$ 内.

(1) 符号：$A \in \alpha$，$B \notin \alpha$。

画法：画一个平行四边形表示平面 $\alpha$，在平行四边形内部取一点标 $A$，在外部取一点标 $B$。

(2) 符号：$a \subset \alpha$ 且 $a \subset \beta$。

画法：由基本事实 3，平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 若相交则交于一条直线；直线 $a$ 同时在两个平面内，所以 $a$ 就是这两个平面的交线。画两个相交的平行四边形，把它们的交线标为 $a$（被遮挡的部分画成虚线）。

练习（第 138 页）第 1 题

(1) 如果两条直线 $a$ 与 $b$ 没有公共点，那么 $a$ 与 $b$ ( ).

(A) 共面 (B) 平行

(C) 是异面直线 (D) 可能平行，也可能是异面直线

(2) 设直线 $a, b$ 分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则 $a$ 与 $b$ ( ). (A) 平行 (B) 相交 (C) 是异面直线 (D) 可能相交，也可能是异面直线

(1) 选 (D)。 空间两条直线没有公共点只有两种可能：在同一平面内（平行），或不同在任何一个平面内（异面）。“没有公共点”推不出共面与否，所以 (A)(B)(C) 都太绝对。

(2) 选 (D)。 相邻两个面的对角线可能相交，也可能异面：

• 相交：底面 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与前面 $ABB'A'$ 的对角线 $AB'$ 都过顶点 $A$，相交于 $A$；
• 异面：底面 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与前面 $ABB'A'$ 的另一条对角线 $A'B$：$AC \subset$ 底面，$A'B$ 与底面相交于 $B$，而 $B \notin AC$，由例 2 的结论（与平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线），$AC$ 与 $A'B$ 异面。

另外它俩也不可能平行：底面的对角线方向形如 $\boldsymbol{u} \pm \boldsymbol{v}$，相邻侧面的对角线方向形如 $\boldsymbol{u} \pm \boldsymbol{w}$（$\boldsymbol{u}$ 沿公共棱方向，$\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ 是两面的另外两条边方向），成比例只可能在 $\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{w}$ 时——而 $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{w}$。所以只可能相交或异面，选 (D)。

练习（第 138 页）第 2 题

2. 如图，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，判定直线 $AB$ 与 $AC$ ，直线 $AC$ 与 $A'C'$，直线 $A'B$ 与 $AC$ ，直线 $A'B$ 与 $C'D$ 的位置关系.

(第2题)

$AB$ 与 $AC$：相交。 两条直线都经过顶点 $A$，相交于 $A$。

$AC$ 与 $A'C'$：平行。 四边形 $ACC'A'$ 中，$AA' \parallel CC'$ 且 $AA' = CC'$（都是侧棱），所以 $ACC'A'$ 是平行四边形，故 $AC \parallel A'C'$。

$A'B$ 与 $AC$：异面。 用例 2 的判定：直线 $A'B$ 与平面 $ABCD$ 相交于 $B$（$B \in$ 平面 $ABCD$，而 $A' \notin$ 平面 $ABCD$），$AC \subset$ 平面 $ABCD$，且 $B \notin AC$（$AC$ 是底面过 $A,C$ 的对角线，不经过 $B$）。所以 $A'B$ 与 $AC$ 是异面直线。

$A'B$ 与 $C'D$：异面。 分两步：一是无公共点——$A'B \subset$ 平面 $ABB'A'$，$C'D \subset$ 平面 $DCC'D'$，而这两个平面（前侧面与后侧面）平行，故两直线没有公共点；二是不平行——设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{u}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{v}$，$\overrightarrow{AA'} = \boldsymbol{w}$，则 $A'B$ 的方向向量为 $\overrightarrow{A'B} = \boldsymbol{u} - \boldsymbol{w}$，而 $\overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C'} = \boldsymbol{v} - (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) = -\boldsymbol{u} - \boldsymbol{w}$。若二者平行，则 $\boldsymbol{u} - \boldsymbol{w} = k(-\boldsymbol{u} - \boldsymbol{w})$，即 $(1+k)\boldsymbol{u} + (k-1)\boldsymbol{w} = \boldsymbol{0}$；但 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}$ 是互相垂直的独立方向，只能 $1+k = 0$ 且 $k-1 = 0$，即 $k = -1$ 且 $k = 1$，矛盾。无公共点且不平行，所以 $A'B$ 与 $C'D$ 异面。

（看图也可直接判：$A'B$ 是前侧面的对角线，$C'D$ 是后侧面的对角线，方向一个向右下方、一个向左下方，既不相交也不平行。）

练习（第 138 页）第 3 题

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“✓”，错误的画“×”.

（1）若直线 l 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则 $l \parallel \alpha$ . （）

(2) 若直线 l 与平面 $\alpha$ 平行，则 l 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都平行. （）

（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. （）

（4）若直线 l 与平面 $\alpha$ 平行，则 l 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点. （）

(1) ×。 反例：直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交。这时 $l$ 上只有一个点（交点）在 $\alpha$ 内，其余点全部不在 $\alpha$ 内——有无数个点不在 $\alpha$ 内，但 $l$ 并不与 $\alpha$ 平行。

(2) ×。 反例：$l \parallel \alpha$ 时，$\alpha$ 内与 $l$ 方向不同的直线与 $l$ 既没有公共点（$l$ 与 $\alpha$ 没有公共点），又不平行，它们是异面直线。

(3) ×。 反例：两条平行直线中，一条在平面 $\alpha$ 外且与 $\alpha$ 平行，另一条可以就在 $\alpha$ 内。例如 $\alpha$ 内的直线 $m$，$\alpha$ 外取 $l \parallel m$，则 $l \parallel \alpha$ 但 $m \subset \alpha$，$m$ 不平行于 $\alpha$。

(4) √。 $l \parallel \alpha$ 的定义就是 $l$ 与 $\alpha$ 没有公共点，于是 $l$ 与 $\alpha$ 内任何一条直线（都含在 $\alpha$ 内）都没有公共点。

练习（第 138 页）第 4 题

4. 已知直线 $a, b$，平面 $\alpha, \beta$，且 $a \subset \alpha, b \subset \beta, \alpha // \beta$. 判断直线 $a, b$ 的位置关系，并说明理由.

结论：$a$ 与 $b$ 可能平行，也可能异面，不可能相交。

先排除相交。 $\alpha \parallel \beta$ 意味着两个平面没有公共点；$a \subset \alpha$，$b \subset \beta$，所以 $a$ 上的点全在 $\alpha$ 内，$b$ 上的点全在 $\beta$ 内，$a$ 与 $b$ 不可能有公共点——不是相交。

两种情形都可能。

• 平行：取 $\alpha$ 内直线 $a$，$\beta$ 内直线 $b$，使 $a \parallel b$（比如把 $a$ 平移到 $\beta$ 内）。这时 $a, b$ 无公共点且共面，平行。
• 异面：$\alpha$ 内取 $a$，$\beta$ 内取一条与 $a$ 不平行（方向不同）的直线 $b$。由上面的排除，$a \cap b = \emptyset$，再加上不平行，所以 $a, b$ 是异面直线。

所以答案是：平行或异面。

习题 8.4 第 1 题

1. 画出满足下列条件的图形：

(1) $a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = A, c \cap \alpha = A$;

(2) $\alpha \cap \beta = l, AB \subset \alpha, CD \subset \beta, AB \parallel l, CD \parallel l.$

(1) 画一个平行四边形表示平面 $\alpha$；在 $\alpha$ 内画两条相交于 $A$ 的直线 $a$、$b$；再画一条过 $A$ 的直线 $c$，让 $c$ 与 $\alpha$ 只交于 $A$——即 $c$ 不是画在 $\alpha$ 内，而是穿过点 $A$ 穿出平面（画图时把 $c$ 画成跨过平行四边形的边界、两端都伸到外面，被 $\alpha$ 挡住的部分画成虚线）。

(2) 画两个相交的平行四边形表示 $\alpha$、$\beta$，交线标为 $l$；在 $\alpha$ 内画一条与 $l$ 平行的线段 $AB$；在 $\beta$ 内画一条与 $l$ 平行的线段 $CD$。

自检：$a \cap b = A$ 画成了两条线只交于一点 $A$；$c \cap \alpha = A$ 画成了 $c$ 与平面只有一个公共点——$c$ 不能在 $\alpha$ 内（否则交点不止一个），也不能与 $\alpha$ 平行（那样没有交点）。

习题 8.4 第 2 题

2. 选择题

(1) 经过同一直线上的 3 个点的平面 ( )。

(A) 有且仅有 1 个

(B) 有且仅有 3 个

(C) 有无数个

(D) 不存在

(2) 若直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$，且 $a \not\subset \alpha$，则下列结论成立的是（）.

(A) $\alpha$ 内的所有直线与 $a$ 是异面直线 (B) $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 (C) $\alpha$ 内存在唯一一条直线与 $a$ 平行 (D) $\alpha$ 内的所有直线与 $a$ 都相交

(1) 选 (C)。 基本事实 1 只保证「不在一条直线上的三个点」确定唯一平面；三个点共线时，任何过这条直线的平面都过这三点，而过一条直线的平面有无数个。

(2) 选 (B)。 由线面位置关系只有三种（在面内、相交、平行），$a \not\subset \alpha$ 且 $a$ 不平行于 $\alpha$，所以 $a$ 与 $\alpha$ 相交，设 $a \cap \alpha = A$。

• (A) ×：$\alpha$ 内过 $A$ 的直线都与 $a$ 相交于 $A$，不是异面。
• (B) √：反证。若 $\alpha$ 内存在 $m \parallel a$，则两条平行直线 $a, m$ 确定一个平面 $\gamma$（推论 3）。$\gamma$ 与 $\alpha$ 相交于过 $m$ 的一条直线，即 $\gamma \cap \alpha = m$。于是 $a \subset \gamma$，$A = a \cap \alpha \in \gamma \cap \alpha = m$，即 $A \in m$——但 $m \parallel a$ 意味着 $m \cap a = \emptyset$，与 $A \in a$ 矛盾。所以 $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线。
• (C) ×：由 (B)，一条都没有。
• (D) ×：$\alpha$ 内不经过 $A$ 的直线与 $a$ 不相交（$a$ 与 $\alpha$ 只有 $A$ 一个公共点），它们与 $a$ 是异面直线（例 2 的结论）。

习题 8.4 第 3 题

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面. （）

(2) 四边形可以确定一个平面. ()

（3）若 $a, b$ 是两条直线，$\alpha, \beta$ 是两个平面，且 $a \subset \alpha, b \subset \beta$，则 $a, b$ 是异面直线。（）

(1) √。 设三条直线为 $a, b, c$，交点分别为 $P = a \cap b$，$Q = b \cap c$，$R = c \cap a$。「不共点」保证 $P, Q, R$ 互不相同（若两个交点重合，比如 $Q = R$，则 $Q \in b \cap c$ 且 $Q \in c \cap a$，即 $Q \in a \cap b \cap c$，三线共点）。由推论 2，两条相交直线 $a, b$ 确定一个平面 $\alpha$。$Q \in b \subset \alpha$，$R \in a \subset \alpha$，直线 $c$ 上有 $Q, R$ 两个点在 $\alpha$ 内，由基本事实 2，$c \subset \alpha$。所以三条直线都在平面 $\alpha$ 内，且 $\alpha$ 唯一（$a, b$ 确定的平面唯一）。

(2) ×。 反例：取不共面的四点 $A, B, C, D$，顺次连接得到的空间四边形不能放进任何一个平面。例如四面体的四个顶点组成的四边形——若它确定一个平面，四个顶点就共面了，矛盾。

(3) ×。 反例：$\alpha \parallel \beta$ 时取 $a \parallel b$，则 $a, b$ 是平行直线，不是异面；或 $\alpha \cap \beta = l$ 时取 $a, b$ 都过 $l$ 上同一点 $P$（$a \subset \alpha$，$b \subset \beta$），则 $a, b$ 相交于 $P$，也不是异面。题设只保证两条直线分别躺在两个平面里，两个平面是否相交、两直线方向如何都未定，什么关系都可能。

习题 8.4 第 4 题

4. 填空题

（1）如果 $a$ ， $b$ 是异面直线，直线 $c$ 与 $a$ ， $b$ 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_个；

(2) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是____；

（3）已知两条相交直线 a, b，且 $a \parallel$ 平面 $\alpha$ ，则 b 与 $\alpha$ 的位置关系是 ____.

（1）填 2 个。 $c$ 与 $a$ 相交，由推论 2 确定一个平面；$c$ 与 $b$ 相交，同样确定一个平面。这两个平面互不相同：若它们重合，则 $a, b$ 都在这个平面内，$a, b$ 共面——与 $a, b$ 异面矛盾。而 $a, b$ 异面，不能确定平面。所以共有 $2$ 个。

（2）填「平行或在该平面内」。 设 $\alpha \parallel \beta$，$a \parallel \alpha$（即 $a \cap \alpha = \emptyset$）。

• $a \subset \beta$ 是可能的：比如 $\alpha, \beta$ 是两个水平面，$a$ 在 $\beta$ 内水平延伸，它不与 $\alpha$ 相交；
• $a \parallel \beta$ 也是可能的：$a$ 夹在两个平面中间、与二者都平行；
• $a$ 与 $\beta$ 相交于一点是不可能的：反证，设 $a \cap \beta = \{P\}$。取 $\alpha$ 内一点 $Q$，过 $a$ 与 $Q$ 作平面 $\gamma$（推论 1），$\gamma \cap \alpha = l_1$，$\gamma \cap \beta = l_2$（两个交线都存在：$Q \in \gamma \cap \alpha$，$P \in a \subset \gamma$ 且 $P \in \beta$）。因为 $\alpha \parallel \beta$，$l_1$ 与 $l_2$ 在同一平面 $\gamma$ 内且无公共点，所以 $l_1 \parallel l_2$。又 $a \subset \gamma$ 且 $a \cap \alpha = \emptyset$，故 $a \cap l_1 = \emptyset$，$a \parallel l_1$。于是 $\gamma$ 内 $a \parallel l_1 \parallel l_2$（平行于同一条直线的两条直线平行），但 $a \cap l_2 = \{P\}$（$P \in a \cap \beta$，而 $l_2 = \gamma \cap \beta$）——矛盾。所以只有「平行或在该平面内」两种可能。

（3）填「相交或平行」。 先排除 $b \subset \alpha$：若 $b \subset \alpha$，则 $b$ 上的点都在 $\alpha$ 内，而 $a$ 与 $\alpha$ 没有公共点，于是 $a \cap b = \emptyset$——与「$a, b$ 相交」矛盾。所以 $b \not\subset \alpha$，线面三种关系里只剩相交或平行，两者都确实可能：

• 相交：$a \parallel \alpha$（在 $\alpha$ 外与 $\alpha$ 平行），过 $a$ 上一点 $P$ 作直线 $b$ 与 $\alpha$ 相交于 $A$（$A \neq P$），则 $b \cap a = \{P\}$，$b \cap \alpha = \{A\}$；
• 平行：$a \parallel \alpha$，过 $a$ 上一点 $P$ 在过 $P$ 且平行于 $\alpha$ 的方向上作直线 $b$（$b \neq a$），则 $b \cap a = \{P\}$ 且 $b \cap \alpha = \emptyset$。

习题 8.4 第 5 题

5. 正方体各面所在平面将空间分成几部分？

答案：27 部分。

正方体的 6 个面所在平面分成 3 对平行平面：上、下（设它们分别是平面 $z = 1$ 与 $z = 0$），前、后（$y = 1$ 与 $y = 0$），左、右（$x = 1$ 与 $x = 0$），其中 $x, y, z$ 是取正方体一个顶点为原点的三个坐标方向。

• 每一对平行平面把空间分成 3 个互不相交的部分：比如 $z = 0$ 与 $z = 1$ 把空间分成 $z < 0$、$0 < z < 1$、$z > 1$ 三层；
• 三对平面的方向两两不同，它们的划分互相独立，空间被切成 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 个部分。

自检：把 27 个部分编号为三个区间方向的组合，比如（前、中、后）×（左、中、右）×（上、中、下），任何两部分的编号不同就分属不同的区域——27 个编号恰好对应 27 个互不连通的开区域，不多不少。

习题 8.4 第 6 题

6. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.

共面。理由如下。

设直线 $c$ 与两条平行直线 $a, b$ 分别相交于 $P$ 和 $Q$。

前提验证：$P \neq Q$。 若 $P = Q$，则 $P \in a$ 且 $P \in b$，$a$ 与 $b$ 就有公共点——与 $a \parallel b$ 矛盾。所以 $c$ 与 $a$、$b$ 的交点是两个不同的点。

由推论 3，两条平行直线 $a, b$ 确定一个平面 $\alpha$。$P \in a \subset \alpha$，$Q \in b \subset \alpha$，所以 $P, Q \in \alpha$。由基本事实 2，过 $\alpha$ 内两点的直线 $c$ 在 $\alpha$ 内。于是 $a, b, c$ 三条直线都在平面 $\alpha$ 内，共面。

习题 8.4 第 7 题

7. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？

第一问：3 个。 三条直线两两平行，任取两条都由推论 3 确定一个平面，共有 $\mathrm{C}_3^2 = 3$ 对，每对确定一个平面。这三个平面互不相同：若其中两个重合（比如 $l_1, l_2$ 确定的平面与 $l_2, l_3$ 确定的平面相同），则 $l_1, l_2, l_3$ 都在这个平面内，三条直线共面——与「不共面」矛盾。所以恰好 3 个。

第二问：最多 3 个。 三条直线相交于一点，任取两条相交直线都由推论 2 确定一个平面，至多 $\mathrm{C}_3^2 = 3$ 个。「最多」能取到：当三条直线不共面时，任两个平面若重合，则三条直线共面，矛盾，于是恰好得到 3 个互不相同的平面；若三条直线共面，则只得到 1 个平面。所以最多是 3 个。

习题 8.4 第 8 题

8. 如图，$\triangle ABC$ 在平面 $\alpha$ 外，$AB \cap \alpha = P$，$BC \cap \alpha = Q$，$AC \cap \alpha = R$，求证：$P$，$Q$，$R$ 三点共线.

设 $\triangle ABC$ 所在的平面为 $\beta$（$A, B, C$ 是三角形顶点，不共线，由基本事实 1 存在且唯一）。

前提验证：$\beta \neq \alpha$。 若 $\beta = \alpha$，则 $\triangle ABC$ 在平面 $\alpha$ 内，与题设「$\triangle ABC$ 在平面 $\alpha$ 外」矛盾。

由 $AB \cap \alpha = P$ 知 $P \in AB$ 且 $P \in \alpha$；而 $AB \subset \beta$，故 $P \in \beta$。于是 $P \in \beta \cap \alpha$。同理 $Q \in \beta \cap \alpha$，$R \in \beta \cap \alpha$。

由基本事实 3，两个不重合的平面有一个公共点（比如 $P$）时，它们有且只有一条过该点的公共直线，即 $\beta \cap \alpha$ 是一条直线 $l$。$P, Q, R$ 都在 $l$ 上，所以 $P, Q, R$ 三点共线。

习题 8.4 第 9 题

9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在 $AB$，$CD$，$EF$，$GH$ 这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？

把展开图折回正方体。设正方体的八个顶点为：前上左、前上右、前下左、前下右、后上左、后上右、后下左、后下右。按展开图折叠（上行两个正方形折成上面与后面，中行三个正方形折成左面、前面、右面，下行一个正方形折成下面），折起后重合的顶点有：$C$ 与 $G$ 重合（都在前上左顶点），$B$ 与 $F$ 重合（都在后下右顶点）。四条线段在正方体中的位置是：

• $AB$：后上左到后下右，是后面的对角线；
• $CD$：前上左到后上右，是上面的对角线；
• $EF$：前下左到后下右，是下面的对角线；
• $GH$：前上左到后下左，是左面的对角线。

逐对判断（「无公共点且不平行」即为异面）：

• $AB$ 与 $CD$：异面。 $AB \subset$ 后面，$CD \subset$ 上面，后上棱是两面唯一的公共线，$AB$ 交后上棱于 $A$，$CD$ 交后上棱于 $D$——不同的点，所以无公共点；方向一个是「右—下」，一个是「后—右」，不平行。
• $AB$ 与 $EF$：相交。 都过顶点 $B = F$（后下右）。
• $AB$ 与 $GH$：异面。 $AB \subset$ 后面，$GH \subset$ 左面，后左棱是两面唯一的公共线，$AB$ 交后左棱于 $A$，$GH$ 交后左棱于 $H$——不同的点，无公共点；方向不同，不平行。
• $CD$ 与 $EF$：平行。 $CD$ 是上面从「前上左」到「后上右」的对角线，$EF$ 是下面从「前下左」到「后下右」的对角线，方向完全相同（都是「向后、向右」），所以平行。
• $CD$ 与 $GH$：相交。 都过顶点 $C = G$（前上左）。
• $EF$ 与 $GH$：异面。 $EF \subset$ 下面，$GH \subset$ 左面，下左棱是两面唯一的公共线，$EF$ 交下左棱于 $E$，$GH$ 交下左棱于 $H$——不同的点，无公共点；方向不同，不平行。

结论：异面直线有三对：$AB$ 与 $CD$，$AB$ 与 $GH$，$EF$ 与 $GH$。