全集

教材原文

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围.

在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程 $(x - 2)(x^{2} - 3) = 0$ 的解集，在有理数范围内只有一个解2，即

$\{x \in \mathbf {Q} | (x - 2) (x ^ {2} - 3) = 0 \} = \{2 \};$

在实数范围内有三个解： $2, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$，即

$\{x \in \mathbf {R} | (x - 2) (x ^ {2} - 3) = 0 \} = \{2, \sqrt {3}, - \sqrt {3} \}.$

一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set），通常记作 U.

要点

• 全集 $U$ 是「当前问题域」——补集永远是相对某个全集而言的，脱离 $U$ 谈补集无意义。
• 描述法给出的全集要先列举清楚再数元素，如「小于 $9$ 的正整数」即 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$。