等比数列的前 n 项和

教材原文

一般地，如何求一个等比数列的前 $n$ 项和呢？

设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_1$ ，公比为 $q$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和是

$S _ {n} = a _ {1} + a _ {2} + a _ {3} + \dots + a _ {n}.$

根据等比数列的通项公式，上式可写成

$$S _ {n} = a _ {1} + a _ {1} q + a _ {1} q ^ {2} + \dots + a _ {1} q ^ {n - 1}.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

我们发现，如果用公比 $q$ 乘①的两边，可得

$$q S _ {n} = a _ {1} q + a _ {1} q ^ {2} + \dots + a _ {1} q ^ {n - 1} + a _ {1} q ^ {n}.\tag{\text{\textcircled{2}}}$$

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 $S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}$ ，即

$(1 - q) S _ {n} = a _ {1} (1 - q ^ {n}).$

因此，当 $q \neq 1$ 时，我们就得到了等比数列的前 $n$ 项和公式

$$S _ {n} = \frac {a _ {1} (1 - q ^ {n})}{1 - q} (q \neq 1).\tag{1}$$

因为 $a_{n} = a_{1}q^{n - 1}$ ，所以公式（1）还可以写成

$$S _ {n} = \frac {a _ {1} - a _ {n} q}{1 - q} (q \neq 1).\tag{2}$$

公式

当 $q\neq 1$ 时

用法

• 分段关系：$S_{2n}=S_n+q^{\,n}S_n=S_n\,(1+q^{\,n})$——后 $n$ 项是前 $n$ 项的 $q^{\,n}$ 倍。
• 由 $\dfrac{S_{2n}}{S_n}=1+q^{\,n}$ 可直接解公比。