浙江 2025 · 数学 q13

冷启动：题目只给了两个数

假设你刚学等比数列。

等比数列是什么。 从第 $2$ 项起，每一项都是前一项乘同一个非零常数 $q$（叫公比）：$a_2=a_1q$、$a_3=a_1q^2$，一般地

$$a_n=a_1q^{\,n-1}.$$

$S_n$ 是什么。 前 $n$ 项加起来：$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$。本题给的就是两个这样的和：

$$S_4=4,\qquad S_8=68,$$

问的是 $q$。

先数一下未知量。 一个等比数列由 $a_1$ 与 $q$ 两个数完全定死，题目给了两个方程——数量上够用。但题目只问 $q$、不问 $a_1$，所以真正的问题是：

能不能不去求 $a_1$，直接把 $q$ 逼出来？

下面两条路是对这个问题的两种回答：解法一根本不让 $a_1$ 出场；解法二让它出场，再想办法把它消掉。

解法一：分段作比

怎么想到的。 题目给的是 $4$ 项和与 $8$ 项和——$8=4+4$，这个巧合值得盯一眼。把 $8$ 项按顺序切成两段、每段 $4$ 项：

$$\underbrace{a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4}_{\text{前段}},\qquad \underbrace{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8}_{\text{后段}}$$

后段的第一项 $a_5=a_1q^4$，第二项 $a_6=a_2q^4$，第三、四项同理——往后隔 $4$ 项就是乘 $4$ 次 $q$，所以后段每一项都是前段对应项乘同一个 $q^4$。既然每一项都乘了同一个数，加起来的和也就乘了同一个数：

$$a_5+a_6+a_7+a_8=(a_1+a_2+a_3+a_4)\,q^4=S_4\,q^4 .$$

于是

$$S_8=S_4+S_4q^4=S_4\,(1+q^4)\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{S_8}{S_4}=1+q^4 .$$

这一步就是分段求和作比。注意 $a_1$ 全程没出现过——它在「后段 $=$ 前段 $\times q^4$」这句话里被整块约掉了，这正是上面那个问题的答案。

代数据。

$$1+q^4=\frac{S_8}{S_4}=\frac{68}{4}=17\qquad\Longrightarrow\qquad q^4=16 .$$

解 $q^4=16$。 把 $q^2$ 当成一个数看：$\left(q^2\right)^2=16$ 给出 $q^2=4$ 或 $q^2=-4$，后者在实数里不可能，所以 $q^2=4$，即

$$q=\pm 2 .$$

两个根都要留。 这里最容易犯的错是只写 $q=2$。题面只说「一个等比数列」，没有「正项」「各项为正」这类限定，$q$ 为负完全合法。真的两支都能实现吗？把 $a_1$ 补出来看看：

• $q=2$：$S_4=a_1(1+2+4+8)=15a_1=4$，故 $a_1=\dfrac{4}{15}$；
• $q=-2$：$S_4=a_1(1-2+4-8)=-5a_1=4$，故 $a_1=-\dfrac{4}{5}$。

两个数列都真实存在，且都满足 $S_8=S_4(1+q^4)=4\times 17=68$。所以答案就是 $q=\pm2$，一支都不能扔。（上面那张图画的是 $q=2$ 这一支，$a_1=\dfrac{4}{15}$。）

「再用正项条件取舍符号」是一步有前提的动作。 分段作比这套套路的收尾常被写成「解出 $q$ 之后，再用正项等条件取舍符号」。那句话成立的前提是题面真给了那个条件：正项等比数列的各项都为正，于是必有 $a_1>0$ 且 $q>0$，负根才扔得掉。本题的题面里没有这句话，取舍的依据不存在——所以取舍这一步不做，$q=\pm2$ 两个根同时是答案。看到「$q^4=16$」就顺手写 $q=2$，等于把别的题的条件搬到了这道题上。

顺带一提：写成减法是同一条路。 把 $S_8=S_4(1+q^4)$ 移项即 $S_8-S_4=S_4q^4$，于是 $q^4=\dfrac{S_8-S_4}{S_4}=\dfrac{64}{4}=16$（图上绿色那一段的和正是 $S_8-S_4=64$）。它与前面依赖的是同一句结构事实，只是加减方向不同，不算第二条路。

解法二：求和公式作商

怎么想到的。 上面那层结构不是人人第一眼都看得见。看不见时还有一条最本能的路：手上有公式就用公式。等比数列前n项和的闭式是

$$S_n=\frac{a_1\left(1-q^{\,n}\right)}{1-q}\qquad(q\neq1),$$

把 $n=4$ 与 $n=8$ 各写一遍，就得到两个含 $a_1,q$ 的方程。$a_1$ 是不想要的，但它在两个式子里都以同一个因子 $\dfrac{a_1}{1-q}$ 的形式出现——两式一相除，这个因子整块消失。这就是「作商」的动机：不是为了好看，是为了消掉 $a_1$。

第一步：先处理公式用不了的那个 $q$。 公式后面那句 $q\neq1$ 不是装饰——$q=1$ 时分母为 $0$，这个闭式压根不存在（那时数列是常数列，$S_n=na_1$）。所以在用公式之前必须分类讨论，把 $q=1$ 单独看一眼：

$$q=1\ \Longrightarrow\ S_4=4a_1=4\ \Longrightarrow\ a_1=1\ \Longrightarrow\ S_8=8a_1=8\neq 68 .$$

与题设矛盾，故 $q=1$ 舍去。这一段不是形式主义：求和公式本身是分段定义的，漏掉它等于在一个不成立的前提下往下算。

第二步：作商。 现在 $q\neq1$，两个和都可以写出来：

$$S_4=\frac{a_1\left(1-q^{4}\right)}{1-q}=4,\qquad S_8=\frac{a_1\left(1-q^{8}\right)}{1-q}=68 .$$

相除，左边 $\dfrac{a_1}{1-q}$ 上下约掉，右边是 $\dfrac{68}{4}$：

$$\frac{1-q^{8}}{1-q^{4}}=17 .$$

第三步：把分子拆开。 关键一眼：$q^8=\left(q^4\right)^2$，所以分子是个平方差

$$1-q^{8}=\left(1-q^{4}\right)\left(1+q^{4}\right).$$

约掉 $1-q^4$ 之前先确认它不是 $0$——$1-q^4=0$ 即 $q=\pm1$：$q=1$ 上一步已排除；$q=-1$ 时 $S_4=a_1-a_1+a_1-a_1=0\neq4$，也进不来。于是放心约：

$$1+q^{4}=17\ \Longrightarrow\ q^{4}=16\ \Longrightarrow\ q=\pm2 ,$$

与解法一落到同一个答案。最后一步「两个根都要留」的道理与解法一一字不差：题面没给正项条件。

这两条路差在哪。 解法一只吃一句结构事实（后段每项 $=$ 前段对应项 $\times q^4$），$a_1$ 从不出场，也不必操心 $q=1$——$S_8=S_4(1+q^4)$ 对所有 $q$ 都成立，而 $q=1$ 会给出 $1+q^4=2\neq17$，方程自己就把它排除了。解法二从闭式出发，要交两笔「前提税」：先讨论 $q=1$、约分前再确认 $1-q^4\neq0$。 换来的是通用性：条件若改成「$S_4=4$，$a_3=\dots$」这种不成段的组合，分段关系就无从下手，而「列方程 + 消掉 $a_1$」照样能走。所以两条都该会——考场上先看条件是不是成段给的，是就走解法一（三行到底），不是就退回解法二。

🕳️ 避坑

• $q^4=16$ 在实数里有两个根 $q=\pm2$，只写 $q=2$ 就丢了一半分。取舍符号之前先找取舍的依据：有「正项」「各项为正」这类条件才扔得掉负根，本题一个字都没给，不能自己替它加上——上面已经把 $q=-2$ 对应的数列（$a_1=-\dfrac45$）真的造出来了。
• 分段关系里乘的是 $q^{\,n}$，$n$ 是每段的项数（本题两段各 $4$ 项，乘 $q^4$）。顺手写成 $q$、$q^2$，或把 $S_8=S_4(1+q^4)$ 写成 $S_8=S_4(1+q^8)$，都是把「隔 4 项」记错了。
• 走解法二时那两笔「前提税」一笔都别欠：$q=1$ 要单独看，$1-q^4$ 没确认非零就别约分。用公式之前先验它的前提，这件事比本题本身更值钱。