3.3 抛物线

椭圆和双曲线各花了一整节推方程，抛物线只花了半页——因为它的方程最简单。真正要花力气的不是推导， 而是认形：卷子上给你一个方程，你要在两秒内说出开口朝哪、焦点在哪、准线是哪条。这一节的讲法 因此和课本略有不同：先把「$k=1$」这条线索接上，再一次性把四种标准形式摆齐并给一套认形的办法， 最后才回头讲 $p$ 到底是个什么长度。

一、它是三条圆锥曲线里的那个临界情形

课本在 §3.1 的「信息技术应用」与 §3.2 例 5 里各留了一个伏笔：动点 $M$ 到定点 $F$ 的距离，与它到 定直线 $l$（$l$ 不过 $F$）的距离之比是常数 $k$，那么

• $0 < k < 1$ 时轨迹是椭圆（§3.1 例 6：比是 $\frac{4}{5}$，得 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$）；
• $k > 1$ 时轨迹是双曲线（§3.2 例 5：比是 $\frac{4}{3}$，得 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$）。

这一节问的就是中间那一档：$k = 1$，即 $|MF|$ 恰好等于 $M$ 到 $l$ 的距离。

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 $F$ 叫做抛物线的焦点，$l$ 叫做抛物线的准线。

定义里有一个括号常被跳过：$l$ 不经过 $F$。它不是客套话——若 $l$ 过 $F$，“到 $F$ 的距离 = 到 $l$ 的距离”的点集是过 $F$ 且与 $l$ 成 $45^\circ$ 的两条直线，不是抛物线。定义里排除这一种，图形才唯一。

另外注意抛物线与前两条曲线的一个结构差别：椭圆、双曲线各有两个焦点，抛物线只有一个焦点、 配一条准线。所以在抛物线上，“用定义换距离”永远是点到焦点的距离 ↔ 点到准线的距离这一种换法， 不像椭圆那样要在 $|MF_1|$ 与 $|MF_2|$ 之间倒腾。这一条是抛物线题几乎所有巧解的来源。

二、方程为什么长成 $y^2 = 2px$

建系有讲究：取过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线为 $x$ 轴，$l$ 与它的交点记作 $K$，把原点放在 $KF$ 的中点。 记 $|KF| = p\ (p > 0)$，于是

$F\left(\frac{p}{2},\, 0\right), \qquad l: x = -\frac{p}{2}.$

原点放中点是为了让焦点与准线的两个 $\frac{p}{2}$ 对称地长在原点两侧——若把原点放在 $K$ 上， 方程会变成 $y^2 = 2p\left(x - \frac{p}{2}\right)$，多一项，白多。

设 $M(x, y)$ 在抛物线上，$d$ 是它到准线的距离，则

$|MF| = \sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2}, \qquad d = \left|x + \frac{p}{2}\right|.$

由 $|MF| = d$ 两边平方：

$\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2.$

左右各展开，$x^2$ 与 $\frac{p^2}{4}$ 两两消掉，只剩交叉项：

$-px + y^2 = px \;\Longrightarrow\; y^2 = 2px \quad (p > 0).$

这一步为什么可以平方而不丢解：$|MF| \geqslant 0$、$d \geqslant 0$，两个非负数相等与它们的平方相等 是等价的，所以是同解变形，不需要事后回代验根。这一点比椭圆、双曲线那两次平方省事得多 （那边平方前要先确认右边非负）。

顺带读出两条马上有用的事实：

• $y^2 = 2px$ 且 $p > 0$ $\Rightarrow$ $x \geqslant 0$，抛物线整个在准线的另一侧，且过原点；
• 原点到焦点、原点到准线的距离都是 $\frac{p}{2}$，所以原点在抛物线上（它到焦点与到准线的距离相等）， 这个点叫抛物线的顶点。

三、四种标准形式：把课本留白的那张表填完

第 131 页（page-0136）的「探究」给了一张四行的表，第一行填好了，后三行留白让你自己推。四种形式的 推导与上面完全同款（把焦点摆到 $x$ 轴负半轴、$y$ 轴正半轴、$y$ 轴负半轴上，重走一遍），结果是：

四行不必背，两句话就能现推：

1. 谁是平方项，另一个就是对称轴。 $y^2 = \cdots$ 里 $y$ 是平方项，$x$ 是一次项，对称轴是 $x$ 轴， 焦点必在 $x$ 轴上；$x^2 = \cdots$ 反之。
2. 一次项的符号就是开口方向。 $y^2 = 2px$ 里 $x$ 前是正号，开口朝 $x$ 正方向（向右）； $x^2 = -2py$ 里 $y$ 前是负号，开口朝下。焦点永远在开口那一侧，准线永远在另一侧，两者到顶点等距。

于是认形只需一步：把方程整理成”平方项 $=$ 一次项系数 $\times$ 一次项”的样子，读出一次项系数， 它的绝对值就是 $2p$，符号就是开口方向。例如 $y^2 = 6x$：$2p = 6$，$p = 3$，$\frac{p}{2} = \frac{3}{2}$， 焦点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$，准线 $x = -\frac{3}{2}$（这就是课本例 1 的第 (1) 问）。

反过来给焦点求方程也是一步：焦点 $F(0, -2)$ 在 $y$ 轴负半轴上，所以形式是 $x^2 = -2py$； $\frac{p}{2} = 2$ 给出 $p = 4$，方程 $x^2 = -8y$（例 1 的第 (2) 问）。

四、$p$ 是什么长度：一个量，三处露面

$p$ 是这一节唯一的参数，它的几何意义是焦点到准线的距离（$p = |KF|$）。四种形式里它都以这三种面貌出现：

• 焦准距 $= p$；
• 顶点到焦点的距离（也是顶点到准线的距离）$= \dfrac{p}{2}$；
• 标准形式里（平方项系数已化为 $1$）一次项系数的绝对值 $= 2p$。

三者差着 2 倍，考场上最容易在这里搞混。一个稳妥的自查：算完之后回头核”顶点到焦点”与”顶点到准线” 是不是相等，不等就说明 $\frac{p}{2}$ 那一步错了。

$p$ 还控制着开口的宽窄：$p$ 越大，焦点离准线越远，抛物线张得越开。这一点与离心率不同—— 抛物线的离心率恒等于 $1$（回看第一节：$k = 1$），所有抛物线形状相同、只有大小之别， 这是它与椭圆、双曲线最不一样的地方（那两条曲线的扁平程度／张口大小随 $e$ 变）。

五、和二次函数接上：$y = ax^2$ 的焦点在哪

初中起就画的 $y = ax^2\ (a \neq 0)$，图象叫”抛物线”；这一节给出的是这个叫法为什么名副其实。 把它写成本节的标准形式：

$y = ax^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 = \frac{1}{a} y.$

对照第三节的表，$2p = \left|\dfrac{1}{a}\right|$，即 $p = \dfrac{1}{2|a|}$，$\dfrac{p}{2} = \dfrac{1}{4|a|}$。 $\frac{1}{a}$ 的符号即开口方向，于是无论 $a$ 正负，都可以统一写成

$F\left(0,\, \frac{1}{4a}\right), \qquad l: y = -\frac{1}{4a}.$

（$a > 0$ 时 $\frac{1}{4a} > 0$，焦点在上、开口向上；$a < 0$ 时两者同时变号，焦点在下、开口向下。）

一般的 $y = ax^2 + bx + c$ 只是把它平移，形状不变——课本第 133 页（page-0138）的「探究与发现」 用配方把这件事写完整了。所以”二次函数的图象是抛物线”这句话是有焦点、有准线的那种抛物线， 不只是形似。

六、易错清单

按失分频率排：

1. $p$、$\frac{p}{2}$、$2p$ 三个量混用。 见第四节。看到 $y^2 = 20x$ 别脱口而出"$p = 20$"—— $2p = 20$，$p = 10$，焦点 $(5, 0)$。
2. 没化成标准形式就读系数。 $2y^2 + 5x = 0$ 不是标准形式，先整理成 $y^2 = -\frac{5}{2}x$ 再读； $x^2 + 8y = 0$ 先整理成 $x^2 = -8y$。平方项系数必须化成 $1$，这是”标准”两个字的全部含义。
3. 开口方向判反。 一次项系数为负就是朝负方向开。判完之后拿一个具体点核一下：$y^2 = -8x$ 里 取 $y = 4$ 得 $x = -2$，点在左边，开口确实向左。
4. 忘了”$l$ 不过 $F$”。 见第一节。
5. 把 $y = ax^2$ 的 $a$ 直接当成 $p$ 或 $2p$。 要先翻成 $x^2 = \frac{1}{a}y$， $2p$ 是 $\left|\frac{1}{a}\right|$ 而不是 $|a|$。
6. 求”到焦点距离”时绕远路。 有准线就用定义：抛物线上点 $M(x_0, y_0)$ 到焦点的距离等于它到准线的 距离，对 $y^2 = 2px$ 就是 $|MF| = x_0 + \frac{p}{2}$（因为 $x_0 \geqslant 0$，绝对值可以直接去掉）。 这条式子叫焦半径，是本节最常用的一步，硬套两点间距离公式虽然也对，但会多一次开方。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2025 年第 10 题（抛物线的焦点弦，多选四判断）。它是本节定义与焦半径的正面考法： 四个判断里有几个只要把”到焦点的距离 = 到准线的距离”换一次就塌了，不需要设直线联立。 做这道题时刻意逼自己先想能不能不设坐标，再看联立的那条路——两条路的长短差别就是这一节的价值。
• 再做 2023 年第 22 题。它给的曲线是 $y = x^2 + \frac{1}{4}$，题面里一个”抛物线”都没写； 你要自己认出它是 $x^2 = y - \frac{1}{4}$，即顶点在 $\left(0, \frac{1}{4}\right)$、$2p = 1$ 的抛物线， 从而焦点在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$、准线是 $y = 0$（$x$ 轴）。这是这一节的上限： 真题不会告诉你”这是抛物线”，认形这一步得你自己做。
• 2022 年第 14 题放到最后，而且只当反例看：它连过来是因为分段函数的第一段 $-x^2 + 2$ 是一条抛物线， 但整道题问的是分段求值与解集长度，用不上焦点和准线。它提醒的是另一件事—— 二次函数的图象是抛物线，可绝大多数二次函数题并不把它当抛物线用。看到 $x^2$ 先别急着找焦点。

本节课本习题共 3 道，全在第 133 页（page-0138）的「练习」里，逐题全做。本节这四页上没有 「习题 3.3」——那一组印在 §3.3.2 的页上，归它自己那一节；页尾的「探究与发现」是阅读材料、不是习题。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 133 页）第 1 题

1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程:

(1) 焦点是 $F(3, 0)$ ; (2) 准线方程是 $x = -\frac{1}{4}$ ; (3) 焦点到准线的距离是 2.

三小问都是由一个几何条件反求 $p$。要用的对应关系只有一组：顶点到焦点、顶点到准线的距离都是 $\frac{p}{2}$，焦点到准线的距离是 $p$，而化成平方项系数为 $1$ 的标准形式之后，一次项系数的绝对值是 $2p$。

(1) 焦点 $F(3, 0)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，所以抛物线开口向右，标准方程形如 $y^2 = 2px\ (p>0)$。 由焦点坐标 $\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (3, 0)$ 得 $\frac{p}{2} = 3$，即 $p = 6$，$2p = 12$。所以

$y^2 = 12x.$

核一遍：$2p = 12$ 时准线是 $x = -\frac{p}{2} = -3$，焦点 $(3,0)$ 到准线 $x=-3$ 的距离是 $6 = p$，相符。

(2) 准线 $x = -\frac{1}{4}$ 是一条竖直线且在 $y$ 轴左侧，焦点必在它的另一侧、即 $x$ 轴正半轴上， 所以仍形如 $y^2 = 2px\ (p>0)$。由准线 $x = -\frac{p}{2} = -\frac{1}{4}$ 得 $\frac{p}{2} = \frac{1}{4}$， 即 $p = \frac{1}{2}$，$2p = 1$。所以

$y^2 = x.$

(3) 焦点到准线的距离就是 $p$，所以 $p = 2$，$2p = 4$。但题目没有指定开口方向， 对称轴是哪条轴、朝正朝负都没说，四种标准形式都满足条件，必须全写：

$y^2 = 4x, \qquad y^2 = -4x, \qquad x^2 = 4y, \qquad x^2 = -4y.$

只写第一个是这道题最常见的失分——条件只给了长度，没给方向，凡是只约束 $p$ 的条件都要四写。

练习（第 133 页）第 2 题

2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) $y^{2}=20x$ ; (2) $x^{2}=\frac{1}{2}y$ ; (3) $2y^{2}+5x=0$ ; (4) $x^{2}+8y=0$ .

四小问的动作完全一样，只有两步：先化成标准形式（平方项系数化为 $1$、一次项单独在另一边）， 再读化简后那个一次项系数——它的绝对值是 $2p$，符号是开口方向；焦点与准线分居顶点两侧，各距 $\frac{p}{2}$。用这组对应关系的前提是方程已经是顶点在原点、对称轴为坐标轴的纯 $y^2 = 2px$ 或 $x^2 = 2py$ 型（没有一次的 $y$ 项、没有常数项），下面四问化简后都满足。

(1) $y^2 = 20x$ 已是标准形式。$2p = 20$，$p = 10$，$\frac{p}{2} = 5$；平方项是 $y$，对称轴是 $x$ 轴； 一次项系数 $+20 > 0$，开口向右。所以

$F(5,\, 0), \qquad l: x = -5.$

(2) $x^2 = \frac{1}{2}y$ 已是标准形式。$2p = \frac{1}{2}$，$p = \frac{1}{4}$， $\frac{p}{2} = \frac{1}{8}$；平方项是 $x$，对称轴是 $y$ 轴；系数为正，开口向上。所以

$F\left(0,\, \frac{1}{8}\right), \qquad l: y = -\frac{1}{8}.$

(3) $2y^2 + 5x = 0$ 不是标准形式，先整理：$2y^2 = -5x$，两边除以 $2$ 得

$y^2 = -\frac{5}{2}x.$

$2p = \frac{5}{2}$（取绝对值），$p = \frac{5}{4}$，$\frac{p}{2} = \frac{5}{8}$；平方项是 $y$， 对称轴是 $x$ 轴；一次项系数 $-\frac{5}{2} < 0$，开口向左，焦点在 $x$ 轴负半轴上。所以

$F\left(-\frac{5}{8},\, 0\right), \qquad l: x = \frac{5}{8}.$

(4) $x^2 + 8y = 0$ 先整理成 $x^2 = -8y$。$2p = 8$，$p = 4$，$\frac{p}{2} = 2$；平方项是 $x$， 对称轴是 $y$ 轴；系数为负，开口向下。所以

$F(0,\, -2), \qquad l: y = 2.$

四小问都可以用同一句话自查：焦点与准线到顶点（原点）的距离必须相等，且分居两侧。 (3) 里 $\frac{5}{8}$ 出现两次、一负一正，(4) 里 $2$ 出现两次、一负一正，都对上了。

练习（第 133 页）第 3 题

3. 填空.

(1) 抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上一点 M 与焦点间的距离是 $a\left(a>\frac{p}{2}\right)$ ，则点 M 到准线的距离是 ____，点 M 的横坐标是 ____；

(2) 抛物线 $y^{2}=12x$ 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ____.

这道题练的是焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离，等于它到准线的距离——这就是抛物线的定义本身， 不需要任何计算。

(1) 设 $M(x_0, y_0)$ 在 $y^2 = 2px$ 上。

第一空：由抛物线的定义，$M$ 到焦点的距离等于 $M$ 到准线的距离，所以到准线的距离是 $a$。

第二空：准线是 $x = -\frac{p}{2}$，$M$ 到它的距离是 $\left|x_0 + \frac{p}{2}\right|$。 由 $y_0^2 = 2px_0$ 且 $p > 0$ 知 $x_0 = \frac{y_0^2}{2p} \geqslant 0$， 于是 $x_0 + \frac{p}{2} > 0$，绝对值可以直接去掉：

$x_0 + \frac{p}{2} = a \;\Longrightarrow\; x_0 = a - \frac{p}{2}.$

题面给的条件 $a > \frac{p}{2}$ 正是为这一步准备的：它保证 $x_0 = a - \frac{p}{2} > 0$， 即 $M$ 不是顶点、是一个货真价实的”抛物线上一点”。把三种大小关系都摆出来看得更清楚： $a = \frac{p}{2}$ 时 $x_0 = 0$，$M$ 就是顶点（点仍存在，只是退化）；$a < \frac{p}{2}$ 时 抛物线上没有这样的点——顶点是抛物线上离焦点最近的点，最近距离恰是 $\frac{p}{2}$。

所以两空依次填 $a$ 与 $a - \dfrac{p}{2}$。

(2) $y^2 = 12x$ 中 $2p = 12$，$p = 6$，$\frac{p}{2} = 3$，焦点 $F(3, 0)$，准线 $x = -3$。

设所求点为 $(x_0, y_0)$。由 (1) 的结论，到焦点的距离 $= x_0 + 3 = 9$，所以

$x_0 = 6.$

代回抛物线方程：$y_0^2 = 12 \times 6 = 72$，所以 $y_0 = \pm 6\sqrt{2}$ （$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$）。两个符号都要取——抛物线关于 $x$ 轴对称， $x$ 坐标相同的点上下各一个，只写正的就漏了一半。所以所求点是

$(6,\, 6\sqrt{2}) \quad \text{与} \quad (6,\, -6\sqrt{2}).$

回代核一遍：点 $(6, 6\sqrt{2})$ 到焦点 $F(3,0)$ 的距离是 $\sqrt{(6-3)^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 72} = \sqrt{81} = 9$，与题设相符； 它在抛物线上（$(6\sqrt{2})^2 = 72 = 12 \times 6$）。另一个点由对称性同样成立。

这道题的关键动作：看到”到焦点的距离”就换成”到准线的距离”，一步把开方式变成一次式。 硬套两点间距离公式也能做（解 $\sqrt{(x_0-3)^2 + 12x_0} = 9$），但要多平方一次、还要验根。