3.2 双曲线

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3.2 双曲线

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

3.2.1 双曲线及其标准方程

我们知道，平面内与两个定点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的距离的和等于常数（大于 $|F_{1}F_{2}|$）的点的轨迹是椭圆。一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下。

探究

如图3.2-1，在直线 $l$ 上取两个定点 $A, B, P$ 是直线 $l$ 上的动点。在平面内，取定点 $F_{1}, F_{2}$，以点 $F_{1}$ 为圆心、线段 $PA$ 为半径作圆，再以 $F_{2}$ 为圆心、线段 $PB$ 为半径作圆。

我们知道，当点 P 在线段 AB 上运动时，如果 $\left|\left|PA\right|-\left|PB\right|\right|<\left|F_{1}F_{2}\right|<\left|AB\right|$ ，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.

如图3.2-2，在 $|AB| < |F_1F_2| < |PA| + |PB|$ 的条件下，让点 $P$ 在线段 $AB$ 外运动，这时动点 $M$ 满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？

我们发现，在 $|AB| < |F_1F_2| < |PA| + |PB|$ 的条件下，点 $P$ 在线段 $AB$ 外运动时，当点 $M$ 靠近定点 $F_{1}$ 时，$|MF_{2}| - |MF_{1}| = |AB|$；当点 $M$ 靠近定点 $F_{2}$ 时，$|MF_{1}| - |MF_{2}| = |AB|$。总之，点 $M$ 与两个定点 $F_{1}$，$F_{2}$ 距离的差的绝对值 $|AB|$ 是一个常数（$|AB| < |F_{1}F_{2}|$）。这时，两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支。

一般地，我们把平面内与两个定点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 $|F_{1}F_{2}|$）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

探究

类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？

观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线 $F_{1}F_{2}$ 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的直线为 $x$ 轴，线段 $F_{1}F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.设 $M(x,y)$ 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 $2c(c > 0)$ ，那么，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别是（-c，0），$(c,0)$ ，又设 $\mid |MF_1| - |MF_2| = 2a$ （ $a$ 为大于0的常数， $a < c$ ）.

由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

$P = \{M | | | M F _ {1} | - | M F _ {2} | | = 2 a, 0 < 2 a < | F _ {1} F _ {2} | \}.$

因为

$\begin{array}{r l} & {\mid M F _ {1} \mid = \sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}},} \\ & {\mid M F _ {2} \mid = \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}},} \end{array}$

所以

\sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}} - \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}} = \pm 2 a.\tag{①}

类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得

$(c ^ {2} - a ^ {2}) x ^ {2} - a ^ {2} y ^ {2} = a ^ {2} (c ^ {2} - a ^ {2}),$

两边同除以 $a^2 (c^2 -a^2)$ ，得

$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{c ^ {2} - a ^ {2}} = 1.$

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以 $c^{2}-a^{2}>0$ .

你能在 $y$ 轴上找一点$B$ ，使得 $\mid OB\mid = b$ 吗？

类比椭圆标准方程的建立过程，令 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ ，其中b>0，代入上式，得

\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0).\tag{②}

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点 $(x, y)$ 与双曲线的两个焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的双曲线，这里 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

思考

类比焦点在 $y$ 轴上的椭圆标准方程，焦点在 $y$ 轴上的双曲线的标准方程是什么？

如图 3.2-4，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是 $F_{1}(0, -c)$ ， $F_{2}(0, c)$ ，a，b 的意义同上，这时双曲线的方程是

$\frac {y ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {x ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0),$

这个方程也是双曲线的标准方程.

例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 $F_{1}(-5,0)$ ， $F_{2}(5,0)$ ，双曲线上一点 P 与 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.

图3.2-4

解：因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上，所以设它的标准方程为

$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0).$

由 $2c = 10$ ， $2a = 6$ ，得 $c = 5$ ，又 $a = 3$ ，因此 $b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$

所以，双曲线的标准方程为

$\frac {x ^ {2}}{9} - \frac {y ^ {2}}{1 6} = 1.$

例 2 已知 A, B 两地相距 800 m，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

分析：先根据题意判断轨迹的形状。由声速及 A，B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A，B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以 A，B 为焦点的双曲线上。因为爆炸点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应在靠近 B 处的双曲线的一支上。

解：如图 3.2-5，建立平面直角坐标系 Oxy，使 A，B 两点在 x 轴上，并且原点 O 与线段 AB 的中点重合.

设炮弹爆炸点 P 的坐标为 $(x, y)$ ，则

$| P A | - | P B | = 3 4 0 \times 2 = 6 8 0,$

即 2a=680, a=340.

又 $|AB|=800$ ，所以2c=800，c=400， $b^{2}=c^{2}-a^{2}=44\ 400$ .

因为 $|PA|-|PB|=680>0$ ，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此 $x\geqslant340$ .

图3.2-5

所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为

$\frac {x ^ {2}}{1 1 5 6 0 0} - \frac {y ^ {2}}{4 4 4 0 0} = 1 (x \geqslant 3 4 0).$