2.4 圆的方程

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2.4 圆的方程

多边形和圆是平面几何中的两类基本图形。建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题。类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程。

2.4.1 圆的标准方程

类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.

思考

在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。

如图 2.4-1，在平面直角坐标系中， $\odot A$ 的圆心 A 的坐标为 $(a, b)$ ，半径为 r，

$M(x, y)$ 为圆上任意一点， $\odot A$ 就是以下点的集合

$P = \{M \mid | M A | = r \}.$

根据两点间的距离公式，点 M 的坐标 $(x, y)$ 满足的条件可以表示为

$\sqrt {(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2}} = r,$

两边平方，得

图2.4-1

(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2} = r ^ {2}.\tag{1}

由上述过程可知，若点 $M(x, y)$ 在 $\odot A$ 上，点 $M$ 的坐标就满足方程(1)；反过来，若点 $M$ 的坐标 $(x, y)$ 满足方程(1)，就说明点 $M$ 与圆心 $A$ 间的距离为 $r$，点 $M$ 就在 $\odot A$ 上。这时，我们把方程(1)称为圆心为 $A(a, b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程（standard equation of circle）。

圆心在坐标原点，半径为 $r$ 的圆的标准方程是什么？

例1 求圆心为 $A(2, -3)$，半径为5的圆的标准方程，并判断点 $M_{1}(5, -7)$，$M_{2}(-2, -1)$ 是否在这个圆上.

分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.

解：圆心为 $A(2, -3)$，半径为5的圆的标准方程是

$(x - 2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 2 5.$

把点 $M_{1}(5, -7)$ 的坐标代入方程 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ 的左边，得 $(5 - 2)^{2} + (-7 + 3)^{2} = 25$ ，左右两边相等，点$M_{1}$ 的坐标满足圆的方程，所以点 $M_{1}$ 在这个圆上.

把点 $M_{2}(-2, -1)$ 的坐标代入方程 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ 的左边，得 $(-2 - 2)^{2} + (-1 + 3)^{2} = 20$ ，左右两边不相等，点 $M_{2}$ 的坐标不满足圆的方程，所以点 $M_{2}$ 不在这个圆上（图2.4-2).

图2.4-2

探究

点 $M_0(x_0, y_0)$ 在圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 内的条件是什么？在圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 外的条件又是什么？

例 2 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是 $A(5, 1)$ ， $B(7, -3)$ ， $C(2, -8)$ ，求 $\triangle ABC$ 的外接圆的标准方程.

• •

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。显然已知的三个点不在同一条直线上。只要确定了 $a, b, r$，圆的标准方程就确定了。

解：设所求的方程是

$\triangle ABC$ 的外接圆的圆心是 $\triangle ABC$ 的外心，即 $\triangle ABC$ 三边垂直平分线的交点.

$(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2} = r ^ {2}.$

因为 $A(5, 1)$, $B(7, -3)$, $C(2, -8)$ 三点都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①. 于是

\left\{ \begin{array}{l} (5 - a) ^ {2} + (1 - b) ^ {2} = r ^ {2}, \\ (7 - a) ^ {2} + (- 3 - b) ^ {2} = r ^ {2}, \\ (2 - a) ^ {2} + (- 8 - b) ^ {2} = r ^ {2}, \end{array} \right.\tag{①}

即

$\left\{ \begin{array}{l} a ^ {2} + b ^ {2} - 1 0 a - 2 b + 2 6 = r ^ {2}, \\ a ^ {2} + b ^ {2} - 1 4 a + 6 b + 5 8 = r ^ {2}, \\ a ^ {2} + b ^ {2} - 4 a + 1 6 b + 6 8 = r ^ {2}. \end{array} \right.$

观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去 $a^2$ ， $b^2$ ， $r^2$ ，得到关于 $a$ ， $b$ 的二元一次方程组

$\left\{ \begin{array}{l} a - 2 b = 8, \\ a + b = - 1. \end{array} \right.$

解此方程组，得

$\left\{ \begin{array}{l} a = 2, \\ b = - 3, \end{array} \right.$

代入 $(5 - a)^2 +(1 - b)^2 = r^2$ ，得 $r^2 = 25$

所以，$\triangle ABC$ 的外接圆的标准方程是

$(x - 2) ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 2 5.$

例3 已知圆心为 $C$ 的圆经过 $A(1, 1)$, $B(2, -2)$ 两点, 且圆心 $C$ 在直线 $l: x - y + 1 = 0$ 上, 求此圆的标准方程.

分析：设圆心 C 的坐标为 $(a, b)$ . 由已知条件可知， $|CA| = |CB|$ ，且 $a - b + 1 = 0$ . 由此可求出圆心坐标和半径.

另外，因为线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心 C 的连线垂直于 AB，由此可得到另一种解法.

解法1：设圆心 $C$ 的坐标为 $(a, b)$。因为圆心 $C$ 在直线 $l: x - y + 1 = 0$ 上，所以

a - b + 1 = 0.\tag{①}

因为 A，B 是圆上两点，所以 $\left|CA\right|=\left|CB\right|$ .

根据两点间距离公式，有

$\sqrt {(a - 1) ^ {2} + (b - 1) ^ {2}} = \sqrt {(a - 2) ^ {2} + (b + 2) ^ {2}},$

即

a - 3 b - 3 = 0.\tag{②}

由①②可得 a = -3, b = -2. 所以圆心 C 的坐标是 $(-3, -2)$ .

圆的半径

$r = | A C | = \sqrt {(1 + 3) ^ {2} + (1 + 2) ^ {2}} = 5.$

图2.4-3

所以，所求圆的标准方程是

$(x + 3) ^ {2} + (y + 2) ^ {2} = 2 5.$

解法2：如图2.4-3，设线段 $AB$ 的中点为 $D$。由 $A$，$B$ 两点的坐标为 $(1, 1)$，$(2, -2)$，可得点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$，直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB} = \frac{-2 - 1}{2 - 1} = -3$.

因此，线段 $AB$ 的垂直平分线 $l'$ 的方程是 $y + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)$，即