2.4 圆的方程

直线是”直线形”的方程，圆是”曲线形”里最简单的一个。这三页只讲一件事：

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$

一个圆由圆心和半径唯一确定，而这条方程把这两个几何要素原样摆在脸上——$(a,b)$ 就是圆心，$r$ 就是半径。 所以它叫标准方程：不是”最常用”的意思，是”几何信息不用解就能读出来”的意思。这一节的讲法因此 围绕一个问题展开：给你各式各样的条件，怎么把 $a$、$b$、$r$ 这三个未知数定下来。

一、方程从哪来：两点间距离公式的一次直接应用

课本的推导只有三行，但值得看清它的结构。圆的定义是平面上到定点的距离等于定长的点的集合， 把这句话原样写成点集：

$P = \{M \mid |MA| = r\},$

其中 $A(a,b)$ 是圆心。设 $M(x,y)$，用上一小节刚学的两点间距离公式把 $|MA|$ 写出来：

$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r,$

两边平方（两边都非负，是同解变形，不会多解也不会丢解）：

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$

课本随后特意补了一段”充要”的说明：点在圆上 $\Rightarrow$ 坐标满足方程；坐标满足方程 $\Rightarrow$ 点到圆心距离为 $r$ $\Rightarrow$ 点在圆上。这两句话缺一不可，缺了就只证明了”曲线上的点都满足方程”， 没证明”满足方程的点都在曲线上”。这一节之后每一条曲线方程的建立都要走这套双向论证， 第 3 章的椭圆、双曲线、抛物线全是同一个模子。

圆心在原点时 $a = b = 0$，方程退化成最眼熟的 $x^2 + y^2 = r^2$。

二、点与圆的位置关系：把坐标代进左边

判断一个点在圆内、圆上还是圆外，不需要开方算距离，只要把它的坐标代进方程左边，与 $r^2$ 比大小：

理由就一句：左边是距离的平方，$r^2$ 是半径的平方，两个非负数比大小与它们的平方比大小是一回事。

课本例 1 用的正是这一条：圆 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$，把 $M_1(5,-7)$ 代进左边得 $(5-2)^2 + (-7+3)^2 = 9 + 16 = 25$，与右边相等，$M_1$ 在圆上；把 $M_2(-2,-1)$ 代进去得 $(-2-2)^2 + (-1+3)^2 = 16 + 4 = 20 < 25$，$M_2$ 在圆内（课本只说了”不在圆上”， 但那个 $20 < 25$ 已经把更强的结论算出来了，顺手读一下不吃亏）。

符号是这一步唯一的坑：方程里写的是 $(y+3)^2$，对应的圆心纵坐标是 $-3$ 不是 $3$。 标准方程里括号内是减号，看到加号就在心里换成”减去一个负数”。

三、求圆的方程：两条路，按条件挑

三个未知数 $a$、$b$、$r$，所以原则上需要三个独立条件。但条件的形式不同，走的路差别很大。

路一：待定系数法——把每个条件写成一个方程

适用：条件是”过某某几个点”。每过一个点就得到一个方程，三点定圆正好三个方程。

课本例 2（求过 $A(5,1)$、$B(7,-3)$、$C(2,-8)$ 的圆）就是范本。直接列出

这是一个含平方项的方程组，看着吓人。关键的一步是三式两两相减：三个式子的右边都是 $r^2$， 左边展开后都含 $a^2 + b^2$，相减时 $a^2$、$b^2$、$r^2$ 同时消掉，剩下的是关于 $a$、$b$ 的 二元一次方程组

$\begin{cases} a - 2b = 8,\\ a + b = -1,\end{cases}$

解得 $a = 2$、$b = -3$，再代回任一式得 $r^2 = 25$，于是圆的方程是 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$。

记住这个”相减消元”的动作——它是整章里出现频率最高的技巧之一，下一小节的圆的一般方程、 第 3 章里由两点定椭圆，用的都是它。

路二：几何法——先把圆心钉住

适用：条件里出现了”圆心在某条直线上""过两点”这类能定位圆心的说法。这时候先用平面几何 把圆心解出来，比列三个方程快得多。可用的几何事实有两条：

• 圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上（因为圆心到弦两端等距）；
• 题目直接给出的”圆心在直线 $l$ 上”。

课本例 3（圆过 $A(1,1)$、$B(2,-2)$，圆心在 $l: x-y+1=0$ 上）给了两种写法，本质都是求两条直线的交点：

• 解法 1 把”圆心在 $l$ 上”写成 $a - b + 1 = 0$，把”过 $A$、$B$“写成 $|CA| = |CB|$， 后者用两点间距离公式化简后是 $a - 3b - 3 = 0$——它就是线段 $AB$ 的垂直平分线的方程， 只是没起这个名字。两式联立得圆心 $C(-3,-2)$，半径 $r = |AC| = \sqrt{4^2+3^2} = 5$。
• 解法 2 直接把 $AB$ 的垂直平分线写出来：$AB$ 的中点是 $\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$， $k_{AB} = \frac{-2-1}{2-1} = -3$，故垂直平分线的斜率是 $\frac{1}{3}$，方程 $y + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)$，再与 $l$ 联立。

两条路给出同一个圆心，因为它们写的是同一件事。解法 1 更省事（不必算中点和斜率的负倒数， 也不怕 $AB$ 竖直时斜率不存在），解法 2 更几何（能画出来）。考场上推荐解法 1 的写法， 但心里要有解法 2 的那张图。

怎么选路

最后一行现在还没在课本里出现，但它是高考里最常见的一种，用的就是上一小节那条公式—— “相切”这个词的唯一代数含义就是”圆心到直线的距离等于半径”。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 圆心坐标的符号读反。 $(x+3)^2 + (y+2)^2 = 25$ 的圆心是 $(-3,-2)$，不是 $(3,2)$。
2. 把 $r^2$ 当成 $r$。 方程右边是 $r^2$；$(x-2)^2+(y+3)^2 = 25$ 的半径是 $5$ 不是 $25$。 反过来，已知半径 $5$ 写方程时右边要写 $25$。
3. 三点定圆时硬解含平方的方程组。 忘了两两相减，算到一半就乱了。
4. 求 $r$ 时忘了开方，或者开方取了负。 半径必须为正，$r = \sqrt{r^2}$ 取正根。
5. 点与圆位置关系比错量。 代入左边得到的是距离的平方，要和 $r^2$ 比，不是和 $r$ 比。
6. 忽略”三点不共线”这个前提。 三点定圆的前提是它们不在同一条直线上；共线时上面那个 二元一次方程组无解（两条垂直平分线平行），几何上也确实画不出圆。课本例 2 的分析里 专门交代了”显然已知的三个点不在同一条直线上”，那不是废话。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，全部经由概念 圆 连过来， 而且逐年在长。但要当心：圆这个概念在卷子上有两种完全不同的身份， 一是本节讲的”平面上的一条曲线，有方程可写”，二是立体图形（圆柱、圆锥、球）的底面或截面， 或者只是题面里顺带出现的一个圆。清单不区分这两种，读的时候要自己分。

真正用得上本节方程的，按由易到难挑这几道：

• 2025 年第 7 题（圆上到某直线距离为 $1$ 的点恰好 $2$ 个）——先把圆的方程读成”圆心 + 半径”， 再用 §2.3.3 的距离公式算圆心到直线的距离，最后比大小。 它是”标准方程加点到直线距离”这套组合拳的最短样板。
• 2015 年第 14 题（$x^{2}+y^{2}\leq 1$ 上求 $|2x+y-2|+|6-x-3y|$ 的最小值）—— 这里的圆不是要求的东西，而是约束：$x^{2}+y^{2}\leq 1$ 是一个闭圆盘，题目在这个盘上求最小值。 两件事都靠”圆心 + 半径”读出来：一条直线到底割不割进盘里（$d$ 与 $r$ 比一次）， 以及一族平行线往外推到什么时候与圆相切（$\dfrac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = r$ 解出临界的 $c$）。 把 $x^{2}+y^{2}\leq 1$ 当成”区域”而不是”曲线”来用，是本节方程一个很常见的第二身份。
• 2019 年第 12 题（直线与圆相切于给定点，求圆心与半径）——已知的是切点和切线， 未知的是方程里的 $b$ 与 $r$。这是本节最正面的反向考法：方程有三个待定量，题目就得给三个条件。
• 2023 年第 6 题（圆外一点引两条切线，求夹角）——“相切”翻译成”圆心到直线的距离等于半径”， 见第三节表格最后一行。
• 2024 年第 3 题（向量垂直求参数）——这道题正面做是坐标运算， 但”$\overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB}$ 的点 $M$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆” 这个视角能一步看穿它，而那个圆的方程正是本节的东西。
• 2022 年第 17 题（正八边形上八段距离的平方和）——建系之后八个顶点都在同一个圆上， 用 $x^2+y^2 = r^2$ 把每一项里的 $x_i^2 + y_i^2$ 整体换掉，一屏的展开式塌成一行。 这道是本节的上限：它考的不是”求圆的方程”，是”认出这些点共圆、然后用方程当代换工具”。

清单里其余的多数题（三视图还原出的圆柱圆台、能否放进正方体、圆柱圆锥的侧面积， 以及椭圆题、三角函数题里顺带出现的圆），连过来的是作为几何对象的圆， 与本节的标准方程无关，不必按本节的思路去做。