6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

探究

已知 $\boldsymbol{a}=(x_{1},y_{1})$ ， $\boldsymbol{b}=(x_{2},y_{2})$ ，怎样用 a 与 b 的坐标表示 $a\cdot b$ 呢？

因为 $a = x_{1}i + y_{1}j, b = x_{2}i + y_{2}j,$

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = \left(x _ {1} \boldsymbol {i} + y _ {1} \boldsymbol {j}\right) \cdot \left(x _ {2} \boldsymbol {i} + y _ {2} \boldsymbol {j}\right) = x _ {1} x _ {2} \boldsymbol {i} ^ {2} + x _ {1} y _ {2} \boldsymbol {i} \cdot \boldsymbol {j} + y _ {1} x _ {2} \boldsymbol {j} \cdot \boldsymbol {i} + y _ {1} y _ {2} \boldsymbol {j} ^ {2}$

又 $i \cdot i = 1, j \cdot j = 1, i \cdot j = j \cdot i = 0,$

所以 $a \cdot b = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}.$

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

由此可得

(1) 若 $\boldsymbol{a}=(x,y)$ ，则 $\left|\boldsymbol{a}\right|^{2}=x^{2}+y^{2}$ ，或 $\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

如果表示向量 $a$ 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 $(x_{1},y_{1})$ ， $(x_{2},y_{2})$ ，那么

$\boldsymbol {a} = (x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}),$

$\mid \boldsymbol {a} \mid = \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2}}.$

(2) 设 $\boldsymbol{a}=(x_{1}, y_{1})$ , $\boldsymbol{b}=(x_{2}, y_{2})$ , 则

$\boldsymbol {a} \perp \boldsymbol {b} \Leftrightarrow x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2} = 0.$

例 10 若点 $A(1, 2)$ , $B(2, 3)$ , $C(-2, 5)$ ，则 $\triangle ABC$ 是什么形状？证明你的猜想.

解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，我们发现 $\triangle ABC$ 是直角三角形.证明如下.

因为 $\overrightarrow{AB}=(2-1,3-2)=(1,1)$ ,

$\overrightarrow {A C} = (- 2 - 1, 5 - 2) = (- 3, 3),$

图 6.3-19

所以 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-3) + 1 \times 3 = 0.$

于是 $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}.$

因此， $\triangle ABC$ 是直角三角形.

设 $a, b$ 都是非零向量，$a = (x_1, y_1)$，$b = (x_2, y_2)$，$\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得

$\cos \theta = \frac {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}}{| \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} |} = \frac {x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2}}{\sqrt {x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2}} \sqrt {x _ {2} ^ {2} + y _ {2} ^ {2}}}.$

例 11 设 $a=(5,-7)$ ， $b=(-6,-4)$ ，求 $a \cdot b$ 及 a，b 的夹角 $\theta$ （精确到 $1^{\circ}$ ）.

$\begin{array}{r l} \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} & = 5 \times (- 6) + (- 7) \times (- 4) \\ & = - 3 0 + 2 8 \\ & = - 2. \end{array}$

因为 $|a| = \sqrt{5^2 + (-7)^2} = \sqrt{74}$，$|b| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52}$，所以用计算器计算可得

$\cos \theta = \frac {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}}{| \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} |} = \frac {- 2}{\sqrt {7 4} \times \sqrt {5 2}} \approx - 0. 0 3.$

利用计算工具可得 $\theta\approx92^{\circ}$ .

例 12 用向量方法证明两角差的余弦公式

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$

证明：如图 6.3-20，在平面直角坐标系 Oxy 内作单位圆 O，以 x 轴的非负半轴为始边作角 $\alpha$ ， $\beta$ ，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则

$\overrightarrow {O A} = (\cos \alpha , \sin \alpha), \overrightarrow {O B} = (\cos \beta , \sin \beta).$

由向量数量积的坐标表示，有

$\overrightarrow {O A} \cdot \overrightarrow {O B} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$

设 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $\theta$ ，则

$\overrightarrow {O A} \cdot \overrightarrow {O B} = | \overrightarrow {O A} | \cdot | \overrightarrow {O B} | \cos \theta = \cos \theta .$

所以

$\cos \theta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$

另一方面，由图6.3-20（1）可知，$\alpha = 2k\pi + \beta + \theta$；由图6.3-20（2）可知，$\alpha = 2k\pi + \beta - \theta$。于是 $\alpha - \beta = 2k\pi \pm \theta$，$k \in \mathbf{Z}$。所以

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \theta.$

于是

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$

运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊！

练习

1. 已知 $a = (-3, 4)$, $b = (5, 2)$, 求 $|a|$, $|b|$, $a \cdot b$.

2. 已知 $a = (2, 3)$, $b = (-2, 4)$, $c = (-1, -2)$. 求 $a \cdot b$, $(a + b) \cdot (a - b)$, $a \cdot (b + c)$, $(a + b)^2$.

3. 已知 $a = (3, 2)$, $b = (5, -7)$, 利用计算工具, 求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$ (精确到 $1^{\circ}$).

习题6.3

复习巩固

1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD = \frac{1}{3} AB$，点 $E$ 是 $CD$ 的中点。设 $\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$，用 $a$，$b$ 表示 $\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AE}$。

2. 已知作用在坐标原点的三个力分别为 $F_{1} = (3, 4)$，$F_{2} = (2, -5)$，$F_{3} = (3, 1)$，求作用在原点的合力 $F_{1} + F_{2} + F_{3}$ 的坐标.

3. 在下列各小题中，已知向量 a 的坐标，以及表示 a 的有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的起点 A 的坐标，求终点 B 的坐标： (1) $a=(-2,1)$ , $A(0,0)$ ; (2) $a=(1,3)$ , $A(-1,5)$ ; (3) $a=(-2, -5)$ , $A(3, 7)$ .

(第1题)

4. 已知 $\square ABCD$ 的顶点 $A(-1, -2)$, $B(3, -1)$, $C(5, 6)$, 求顶点 $D$ 的坐标.

5. 已知点 $O(0, 0)$, $A(1, 2)$, $B(-1, 3)$, 且 $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}$, 求点 $A'$, $B'$ 及向量 $\overrightarrow{A'B'}$ 的坐标.

6. 已知点 $A(1, 1)$, $B(-1, 5)$, 且 $\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, 求点 $C, D, E$ 的坐标.

7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想. (1) $A(1, 2)$ , $B(-3, -4)$ , $C(2, 3.5)$ ; (2) $P(-1, 2)$ , $Q(0.5, 0)$ , $R(5, -6)$ ; (3) $E(9, 1)$ , $F(1, -3)$ , $G(8, 0.5)$ .

8. 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以 A, B, C 为顶点的三角形的形状，然后给出证明： (1) $A(-1, -4)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 4)$ ; (2) $A(-2, -3)$ , $B(19, 4)$ , $C(-1, -6)$ ; (3) $A(2, 5)$ , $B(5, 2)$ , $C(10, 7)$ .

9. 已知 $|a| = 3$, $b = (1, 2)$, 且 $a \parallel b$, 求 $a$ 的坐标.

10. 已知 $a = (4, 2)$，求与 $a$ 垂直的单位向量的坐标.

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F，G 分别是 AD，BC 的三等分点 $(AF=\frac{1}{3}AD, BG=\frac{1}{3}BC)$ . 设 $\overrightarrow{AB}=a, \overrightarrow{AD}=b$ , (1) 用 a, b 表示 $\overrightarrow{EF}$ , $\overrightarrow{EG}$ . (2) 如果 $\left|b\right|=\frac{3}{2}\left|a\right|$ ，EF，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

12. 已知点 $O(0, 0)$, $A(1, 2)$, $B(4, 5)$, $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}$. 当 $t = 1$, $\frac{1}{2}$, $-2$, $2$ 时, 分别求点 $P$ 的坐标.

13. 已知 $A(2, 3)$, $B(4, -3)$, 点 $P$ 在线段 $AB$ 的延长线上, 且 $|\overrightarrow{AP}| = \frac{3}{2} |\overrightarrow{PB}|$, 求点 $P$ 的坐标.

14. 求证：以 $A(1,0)$，$B(5, -2)$，$C(8, 4)$，$D(4, 6)$ 为顶点的四边形是一个矩形.

拓广探索

15. 如图，设 $Ox$，$Oy$ 是平面内相交成 $60^{\circ}$ 角的两条数轴，$e_1$，$e_2$ 分别是与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向同向的单位向量。若向量 $\overrightarrow{OP} = xe_1 + ye_2$，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{OP}$ 在坐标系 $Oxy$ 中的坐标。设 $\overrightarrow{OP} = 3e_1 + 2e_2$，（1）计算 $|\overrightarrow{OP}|$ 的大小；（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理。
16. 用向量方法证明：对于任意的 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$，恒有不等式 $(ac + bd)^2 \leqslant (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$。

(第 15 题)