6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

上一节把加减法搬进了坐标，这一节补上最后一种线性运算——数乘，并借它换来两样在高考里 出现频率极高的工具：共线的坐标判据与中点（分点）坐标公式。

课本按”先数乘、再共线、再分点”的发现顺序写。这里换一个顺序：先把三条结论摆出来， 再说明它们其实是同一件事的三种说法——数乘就是把一个向量按比例拉伸，而”按比例”正是”共线”。

一、三条结论

设 $a = (x, y)$，$\lambda \in \mathbf{R}$。

① 数乘的坐标

$$\lambda a = (\lambda x,\ \lambda y).$$

推导只有一行：$\lambda a = \lambda(x i + y j) = \lambda x\, i + \lambda y\, j$。 用文字说就是：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

② 共线的坐标充要条件

设 $a = (x_1, y_1)$，$b = (x_2, y_2)$。若 $b \neq \mathbf{0}$，则 $a \parallel b$ 当且仅当存在实数 $\lambda$ 使 $a = \lambda b$， 写成坐标就是 $\begin{cases} x_1 = \lambda x_2, \\ y_1 = \lambda y_2. \end{cases}$ 两式交叉相乘消去 $\lambda$，得

$$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0.$$

这个式子才是要背的形状：$\text{第一个向量的横} \times \text{第二个向量的纵} - \text{第二个向量的横} \times \text{第一个向量的纵}$。 它比 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$ 好在不用担心分母为零——后者在 $x_2 = 0$ 或 $y_2 = 0$ 时直接失效， 而这一节的题里 $(0, -1)$、$(3, 0)$ 这种向量随处可见。

③ 中点与分点的坐标

设 $P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$。线段 $P_1P_2$ 的中点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2}\right)$，于是

$$P\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$

三等分点有两个，坐标分别是

$$\left(\frac{2x_1 + x_2}{3},\ \frac{2y_1 + y_2}{3}\right) \quad\text{与}\quad \left(\frac{x_1 + 2x_2}{3},\ \frac{y_1 + 2y_2}{3}\right).$$

记法：离谁近，谁的系数就大。 靠近 $P_1$ 的那个三等分点，$x_1$ 前面是 $2$。

二、为什么这三条是同一件事

把 ① 反过来读：$\lambda a$ 与 $a$ 永远共线（$\lambda = 0$ 时得零向量，而零向量与任意向量平行）。 所以”共线”在坐标里就是”一个向量的两个分量能被同一个 $\lambda$ 从另一个向量的两个分量拉出来”。 ② 只是把这句话里的 $\lambda$ 消掉，换成一个不必解方程就能验的等式。

③ 也是它的直接后果：$P$ 在线段 $P_1P_2$ 上，就是 $\overrightarrow{P_1P}$ 与 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 共线且比例已知。 课本把中点写成 $\overrightarrow{OP} = \frac12(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2})$，其实与 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_1} + \frac12 \overrightarrow{P_1P_2}$ 是同一个式子换了个写法—— 后者更容易推广：把 $\frac12$ 换成 $\frac13$、$\frac23$ 就得到两个三等分点，换成任意 $t \in [0,1]$ 就得到线段上的任意一点

$$\overrightarrow{OP} = (1 - t)\,\overrightarrow{OP_1} + t\,\overrightarrow{OP_2}.$$

这条”定比分点”的统一写法，到了解析几何与立体几何建系的题里会反复出现。

三、三点共线怎么证

课本例 8 给了标准动作，值得单独抠一遍，因为它有一个必须写出来的前提：

1. 取同一个起点，写出两个向量。要证 $A$、$B$、$C$ 共线，就写 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ （起点都取 $A$，这一步是关键）。
2. 用 ② 验它们共线：$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$。
3. 补一句”两条直线有公共点 $A$”。 只有 ② 成立，得到的是”直线 $AB$ 与直线 $AC$ 平行或重合”； 再加上它们都过 $A$，才能断定重合，从而三点共线。

第 3 步是这类题最常被跳过的一步。跳过去写出来的证明看着完整，其实少了把”平行”升级成”重合”的那个理由。 起点都取 $A$ 就是为了让这句话有得说——若一个写 $\overrightarrow{AB}$、另一个写 $\overrightarrow{BC}$， 公共点是 $B$，同样成立，但两个向量的起点若不共点（如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$）， 共线判据只给出”平行”，绝不给出”四点共线”。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 共线判据写成了分式比例。 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$ 在分母为 $0$ 时无意义， 而 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ 永远可用。养成只写后者的习惯。
2. 交叉相乘的次序记反。 $x_1 y_2 - x_2 y_1$ 里，两项都是”一个向量的横乘另一个向量的纵”， 下标一定是错开的；写成 $x_1 y_1 - x_2 y_2$ 就完全错了。
3. “三等分点”只答一个。 线段上的三等分点有两个，题目没说是靠近哪一端时，两个都要给。 同理，”$P$ 分 $P_1P_2$ 成 $1:2$“与"$2:1$"是不同的点。
4. 三点共线漏掉”有公共点”那句。 见上一节第 3 步。
5. 数乘之后忘了两个分量都要乘。 $-2a$ 里的负号要同时作用在横纵两个坐标上。
6. 中点公式记成了差。 中点是两端坐标的平均（和的一半），不是差的一半。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先看 2025 年第 18 题（椭圆定方程与最值）：它的第二条路”一步向量数乘”用的正是本节 ①—— 把一个点用另一个点按比例表示出来，坐标随即写好。这是本节在解析几何里最典型的用法。
• 再看 2023 年第 3 题与 2024 年第 3 题：两道向量小题都要先把条件化成坐标等式， 再解参数；②那条判据的”交叉相乘”手感在这里最省时间。
• 然后是 2025 年第 6 题（帆船视风求真风）：读坐标硬算的那条路，中间就是数乘与加减混合。
• 最后是 2022 年第 19 题、2023 年第 18 题、2025 年第 9 题、2025 年第 17 题四道立体几何： 建系之后求中点、求三等分点、把一个点写成”起点 + 比例 × 方向向量”，全是本节 ③ 的三维版。 这一节的分点公式在立体几何里出现的次数，比在平面向量本章里还多。

本节课本习题共 5 道，都在第 40 页的「练习」里，逐题全做。本节页面上没有「习题 6.3」—— 那一组题排在 §6.3.5 的末尾，归它那一节的详解。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 40 页）第 1 题

1. 已知 $\boldsymbol{a}=(3,2)$ ， $\boldsymbol{b}=(0,-1)$ ，求 $-2a+4b$ ， $4a+3b$ 的坐标.

用两条坐标运算：数乘 $\lambda(x, y) = (\lambda x, \lambda y)$，加法逐分量相加。

先算 $-2a + 4b$。

$$-2a = -2(3, 2) = (-6, -4), \qquad 4b = 4(0, -1) = (0, -4),$$ $$-2a + 4b = (-6 + 0,\ -4 + (-4)) = (-6, -8).$$

再算 $4a + 3b$。

$$4a = 4(3, 2) = (12, 8), \qquad 3b = 3(0, -1) = (0, -3),$$ $$4a + 3b = (12 + 0,\ 8 + (-3)) = (12, 5).$$

自检：$b$ 的横坐标是 $0$，所以无论乘多少，$b$ 那一支对横坐标都没有贡献—— 两个结果的横坐标应当分别等于 $-2 \times 3 = -6$ 与 $4 \times 3 = 12$，与上面算出的相符。

这道题的关键动作：数乘要作用在两个分量上，负号也一样；先各自乘完再相加，比混在一起写省错。

练习（第 40 页）第 2 题

2. 当 $x$ 为何值时，$a = (2, 3)$ 与 $b = (x, -6)$ 共线？

用共线的坐标充要条件：设 $a = (x_1, y_1)$，$b = (x_2, y_2)$，则 $a$ 与 $b$ 共线当且仅当

$$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0.$$

这里 $x_1 = 2$，$y_1 = 3$，$x_2 = x$，$y_2 = -6$，代入得

$$2 \times (-6) - x \times 3 = 0,$$

即 $-12 - 3x = 0$，解得

$$x = -4.$$

验一遍：此时 $b = (-4, -6)$，而 $-2a = -2(2, 3) = (-4, -6)$，所以 $b = -2a$， 两者确实共线（方向相反、长度是 $a$ 的 $2$ 倍）。

为什么不用 $\dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{-6}$：那个写法要先假定 $x \neq 0$，需要单独讨论 $x = 0$ 的情形 （此时 $b = (0, -6)$，与 $a = (2,3)$ 显然不共线）。而 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ 对所有 $x$ 都成立、 不需要分类，这正是课本采用它的理由。

这道题的关键动作：共线判据是一个不含分母的等式，代进去就是一次方程。

练习（第 40 页）第 3 题

3. 若点 $A(-2, -3), B(2, 2), C(-1, 3), D(-7, -4.5)$，则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 是否共线？

先把两个向量算出来（终点坐标减起点坐标）：

$$\overrightarrow{AB} = (2 - (-2),\ 2 - (-3)) = (4, 5),$$ $$\overrightarrow{CD} = (-7 - (-1),\ -4.5 - 3) = (-6, -7.5).$$

两个都不是零向量，可以用共线判据。取 $x_1 = 4$，$y_1 = 5$，$x_2 = -6$，$y_2 = -7.5$：

$$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 4 \times (-7.5) - (-6) \times 5 = -30 + 30 = 0.$$

所以 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 共线。

把倍数找出来核一遍：

$$-\frac{3}{2}\,\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}(4, 5) = (-6, -7.5) = \overrightarrow{CD},$$

即 $\overrightarrow{CD} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$，两者方向相反、$|\overrightarrow{CD}| = \dfrac{3}{2}|\overrightarrow{AB}|$，与判据的结论一致。

注意结论的边界：这里断言的是两个向量共线（也就是平行）， 不是 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共线。事实上直线 $AB$ 过 $A(-2,-3)$、斜率 $\dfrac{5}{4}$， 方程为 $y + 3 = \dfrac{5}{4}(x + 2)$，把 $C(-1, 3)$ 代入左边得 $6$、右边得 $\dfrac{5}{4}$，两者不等， 所以 $C$ 不在直线 $AB$ 上——线段 $AB$ 与线段 $CD$ 是两条互相平行的线段。

这道题的关键动作：先把点化成向量，再用判据；结论只到”向量共线”为止， 要谈四点共线还得再验一个公共点。

练习（第 40 页）第 4 题

4. 求线段 AB 的中点坐标:

(1) $A(2, 1), B(4, 3)$; (2) $A(-1, 2), B(3, 6)$;

(3) A (5, -4), B (3, -6).

用中点坐标公式：设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标是

$$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right),$$

即两端点坐标的平均。

（1）$A(2, 1)$，$B(4, 3)$：

$$M\left(\frac{2 + 4}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = M(3, 2).$$

（2）$A(-1, 2)$，$B(3, 6)$：

$$M\left(\frac{-1 + 3}{2},\ \frac{2 + 6}{2}\right) = M(1, 4).$$

（3）$A(5, -4)$，$B(3, -6)$：

$$M\left(\frac{5 + 3}{2},\ \frac{-4 + (-6)}{2}\right) = M(4, -5).$$

自检：中点 $M$ 应当满足 $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$（从 $A$ 走到 $M$ 与从 $M$ 走到 $B$ 是同一段位移）。以（3）为例， $\overrightarrow{AM} = (4 - 5,\ -5 - (-4)) = (-1, -1)$， $\overrightarrow{MB} = (3 - 4,\ -6 - (-5)) = (-1, -1)$，两者相等—— 这正是 $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$，即 $M$ 是中点。（1）（2）同样可这么核。

这道题的关键动作：中点是和的一半，不是差的一半；含负数时把括号写全再约。

练习（第 40 页）第 5 题

5. 已知点 $O(0, 0)$，向量 $\overrightarrow{OA} = (2, 3)$，$\overrightarrow{OB} = (6, -3)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 的三等分点，求点 $P$ 的坐标.

先把两个端点定下来。因为 $O$ 是原点，从原点出发的向量的坐标就是终点的坐标，所以

$$A(2, 3), \qquad B(6, -3).$$

三等分点有两个，两种都要答：一个靠近 $A$（记作 $P_1$，满足 $\overrightarrow{AP_1} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）， 一个靠近 $B$（记作 $P_2$，满足 $\overrightarrow{AP_2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$）。

先算方向向量：

$$\overrightarrow{AB} = (6 - 2,\ -3 - 3) = (4, -6).$$

靠近 $A$ 的那个：

$$\overrightarrow{OP_1} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = (2, 3) + \frac{1}{3}(4, -6) = (2, 3) + \left(\frac{4}{3}, -2\right) = \left(\frac{10}{3},\ 1\right),$$

即 $P_1\left(\dfrac{10}{3},\ 1\right)$。

靠近 $B$ 的那个：

$$\overrightarrow{OP_2} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = (2, 3) + \frac{2}{3}(4, -6) = (2, 3) + \left(\frac{8}{3}, -4\right) = \left(\frac{14}{3},\ -1\right),$$

即 $P_2\left(\dfrac{14}{3},\ -1\right)$。

用课本的分点公式核一遍（$x_1 = 2$，$y_1 = 3$，$x_2 = 6$，$y_2 = -3$）：

$$\left(\frac{2x_1 + x_2}{3},\ \frac{2y_1 + y_2}{3}\right) = \left(\frac{4 + 6}{3},\ \frac{6 - 3}{3}\right) = \left(\frac{10}{3},\ 1\right),$$ $$\left(\frac{x_1 + 2x_2}{3},\ \frac{y_1 + 2y_2}{3}\right) = \left(\frac{2 + 12}{3},\ \frac{3 - 6}{3}\right) = \left(\frac{14}{3},\ -1\right),$$

两条路一致。

再自检一次：$P_1$ 与 $P_2$ 应当把线段 $AB$ 三等分，即 $\overrightarrow{AP_1} = \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{P_2B}$。

$$\overrightarrow{AP_1} = \left(\frac{10}{3} - 2,\ 1 - 3\right) = \left(\frac{4}{3}, -2\right),$$ $$\overrightarrow{P_1P_2} = \left(\frac{14}{3} - \frac{10}{3},\ -1 - 1\right) = \left(\frac{4}{3}, -2\right),$$ $$\overrightarrow{P_2B} = \left(6 - \frac{14}{3},\ -3 - (-1)\right) = \left(\frac{4}{3}, -2\right),$$

三段完全相同，与”三等分”相符。

所以点 $P$ 的坐标是 $\left(\dfrac{10}{3},\ 1\right)$ 或 $\left(\dfrac{14}{3},\ -1\right)$。

这道题的关键动作：先把向量还原成点，再走”起点 + 比例 × 方向向量”；题目说”三等分点”而没有指明靠近哪一端， 两个答案缺一不可。