6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

思考

已知 $a = (x, y)$，你能得出 $\lambda a$ 的坐标吗？

$\lambda \boldsymbol {a} = \lambda (x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j}) = \lambda x \boldsymbol {i} + \lambda y \boldsymbol {j},$

即

$\lambda \boldsymbol {a} = (\lambda x, \lambda y).$

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

例 6 已知 $a=(2,1)$ ， $b=(-3,4)$ ，求 $3a+4b$ 的坐标.

解： 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)$$=(-6,19) .

探究

如何用坐标表示两个向量共线的条件？

设 $a = (x_{1}, y_{1})$，$b = (x_{2}, y_{2})$，其中 $b \neq 0$。我们知道，$a$，$b$ 共线的充要条件是存在实数 $\lambda$，使

$\boldsymbol {a} = \lambda \boldsymbol {b}.$

如果用坐标表示，可写为

$(x _ {1}, y _ {1}) = \lambda (x _ {2}, y _ {2}),$

即

$\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = \lambda x _ {2}, \\ y _ {1} = \lambda y _ {2}. \end{array} \right.$

消去 $\lambda$ ，得

$x _ {1} y _ {2} - x _ {2} y _ {1} = 0.$

这就是说，向量 a，b 共线的充要条件是

$x _ {1} y _ {2} - x _ {2} y _ {1} = 0.$

例 7 已知 $\boldsymbol{a}=(4,2)$ ， $\boldsymbol{b}=(6,y)$ ，且 $a \parallel b$ ，求 y.

解：因为 $a \parallel b$ ,

所以 $4y-2\times6=0.$

解得 y=3.

例8 已知 $A(-1, -1)$, $B(1, 3)$, $C(2, 5)$, 判断 $A, B, C$ 三点之间的位置关系.

解：在平面直角坐标系中作出 A, B, C 三点（图 6.3-15）. 观察图形，我们猜想 A, B, C 三点共线. 下面来证明.

因为 $\overrightarrow{AB}=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)$ , $\overrightarrow{AC}=(2-(-1),5-(-1))=(3,6)$ ,

又 $2 \times 6 - 4 \times 3 = 0,$

所以 $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}.$

又 直线 AB，直线 AC 有公共点 A，

所以 A, B, C 三点共线.

例 9 设 P 是线段 $P_{1}P_{2}$ 上的一点，点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的坐标分别是 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ .

(1) 当 P 是线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点时，求点 P 的坐标；

(2) 当 P 是线段 $P_{1}P_{2}$ 的一个三等分点时，求点 P 的坐标.

解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知

$\overrightarrow {O P} = \frac {1}{2} (\overrightarrow {O P _ {1}} + \overrightarrow {O P _ {2}}) = \left(\frac {x _ {1} + x _ {2}}{2}, \frac {y _ {1} + y _ {2}}{2}\right).$

所以，点 P 的坐标是 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ .

若点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的坐标分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点 P 的坐标为 $(x, y)$ ，则

此公式为线段 $P_{1}P_{2}$ 的中点坐标公式.

（2）如图6.3-17，当点 $P$ 是线段 $P_{1}P_{2}$ 的一个三等分点时，有两种情况，即 $\overrightarrow{P_1P} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PP_2}$ 或 $\overrightarrow{P_1P} = 2\overrightarrow{PP_2}$.

如果 $\overrightarrow{P_{1}P}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PP_{2}}$ （图6.3-17(1)），那么

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {O P} & = \overrightarrow {O P _ {1}} + \overrightarrow {P _ {1} P} = \overrightarrow {O P _ {1}} + \frac {1}{3} \overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} \\ & = \overrightarrow {O P _ {1}} + \frac {1}{3} (\overrightarrow {O P _ {2}} - \overrightarrow {O P _ {1}}) = \frac {2}{3} \overrightarrow {O P _ {1}} + \frac {1}{3} \overrightarrow {O P _ {2}} \\ & = \left(\frac {2 x _ {1} + x _ {2}}{3}, \frac {2 y _ {1} + y _ {2}}{3}\right), \end{array}$

即点 P 的坐标是 $\left(\frac{2x_{1}+x_{2}}{3},\frac{2y_{1}+y_{2}}{3}\right)$ .

同理，如果 $\overrightarrow{P_1P} = 2\overrightarrow{PP_2}$ （图6.3-17(2))，那么点 $P$ 的坐标是 $\left(\frac{x_1 + 2x_2}{3},\frac{y_1 + 2y_2}{3}\right)$

探究

如图6.3-18，线段 $P_{1}P_{2}$ 的端点 $P_{1}$，$P_{2}$ 的坐标分别是 $(x_{1}, y_{1})$，$(x_{2}, y_{2})$，点 $P$ 是直线 $P_{1}P_{2}$ 上的一点。当 $\overrightarrow{P_{1}P} = \lambda \overrightarrow{PP_{2}}$ 时，点 $P$ 的坐标是什么？

练习

1. 已知 $\boldsymbol{a}=(3,2)$ ， $\boldsymbol{b}=(0,-1)$ ，求 $-2a+4b$ ， $4a+3b$ 的坐标.

2. 当 $x$ 为何值时，$a = (2, 3)$ 与 $b = (x, -6)$ 共线？

3. 若点 $A(-2, -3), B(2, 2), C(-1, 3), D(-7, -4.5)$，则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 是否共线？

4. 求线段 AB 的中点坐标:

(1) $A(2, 1), B(4, 3)$; (2) $A(-1, 2), B(3, 6)$;

(3) A (5, -4), B (3, -6).

5. 已知点 $O(0, 0)$，向量 $\overrightarrow{OA} = (2, 3)$，$\overrightarrow{OB} = (6, -3)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 的三等分点，求点 $P$ 的坐标.