6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示

文字转写

例 3 如图 6.3-10，分别用基底 $\{i, j\}$ 表示向量 a, b, c, d，并求出它们的坐标.

解：由图6.3-10可知， $a=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AA_{2}}=2i+3j$ ，

所以 $\boldsymbol{a}=(2,3)$ .

同理，

$\boldsymbol {b} = - 2 \boldsymbol {i} + 3 \boldsymbol {j} = (- 2, 3),$

$c = - 2 i - 3 j = (- 2, - 3),$

$\boldsymbol {d} = 2 \boldsymbol {i} - 3 \boldsymbol {j} = (2, - 3).$

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示

思考

已知 $a = (x_{1},y_{1})$ ， $b = (x_{2},y_{2})$ ，你能得出 $a + b$ ， $a - b$ 的坐标吗？

$\begin{array}{r l} \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} & = (x _ {1} \boldsymbol {i} + y _ {1} \boldsymbol {j}) + (x _ {2} \boldsymbol {i} + y _ {2} \boldsymbol {j}) \\ & = x _ {1} \boldsymbol {i} + x _ {2} \boldsymbol {i} + y _ {1} \boldsymbol {j} + y _ {2} \boldsymbol {j} \\ & = (x _ {1} + x _ {2}) \boldsymbol {i} + (y _ {1} + y _ {2}) \boldsymbol {j}, \end{array}$

即

$\boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} = (x _ {1} + x _ {2}, y _ {1} + y _ {2}).$

同理可得

$\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b} = (x _ {1} - x _ {2}, y _ {1} - y _ {2}).$

这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.

例 4 已知 $a=(2,1)$ ， $b=(-3,4)$ ，求 $a+b$ ，a-b 的坐标.

解： $a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)$ ,

$a - b = (2, 1) - (- 3, 4) = (5, - 3).$

探究

如图 6.3-11，已知 $A(x_{1}, y_{1})$ ， $B(x_{2}, y_{2})$ ，你能得出 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标吗？

如图6.3-12，作向量 $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{OB}$ ，则

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {A B} & = \overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O A} \\ & = (x _ {2}, y _ {2}) - (x _ {1}, y _ {1}) \\ & = (x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}). \end{array}$

因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

例 5 如图 6.3-13，已知 □ABCD 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别是 $(-2, 1)$ ， $(-1, 3)$ ， $(3, 4)$ ，求顶点 D 的坐标.

解法 1：如图 6.3-13，设顶点 D 的坐标为 $(x, y)$ .

因为 $\overrightarrow{AB}=(-1-(-2),3-1)=(1,2)$ , $\overrightarrow{DC}=(3-x,4-y)$ ,

又 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ,

所以 $(1, 2)=(3-x, 4-y)$ .

即 $\left\{\begin{aligned}1&=3-x,\\ 2&=4-y,\end{aligned}\right.$ 解得 $\left\{\begin{aligned}x&=2,\\ y&=2.\end{aligned}\right.$

所以顶点 D 的坐标为 $(2, 2)$ .

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {B D} & = \overrightarrow {B A} + \overrightarrow {B C} \\ & = (- 2 - (- 1), 1 - 3) + (3 - (- 1), 4 - 3) \\ & = (3, - 1), \end{array}$

图6.3-14

而

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {O D} & = \overrightarrow {O B} + \overrightarrow {B D} \\ & = (- 1, 3) + (3, - 1) \\ & = (2, 2). \end{array}$

?

你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？

所以顶点 D 的坐标为 $(2, 2)$ .

练习

1. 在下列各小题中，已知向量 $a, b$ 的坐标，分别求 $a + b, a - b$ 的坐标：(1) $a = (-2, 4), b = (5, 2)$; (2) $a = (4, 3), b = (-3, 8)$; (3) $a = (2, 3), b = (-2, -3)$; (4) $a = (3, 0), b = (0, 4)$.

2. 在下列各小题中，已知 A, B 两点的坐标，分别求 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{BA}$ 的坐标： (1) $A(3, 5)$ , $B(6, 9)$ ; (2) $A(-3, 4)$ , $B(6, 3)$ ; (3) $A(0, 3)$ , $B(0, 5)$ ; (4) $A(3, 0)$ , $B(8, 0)$ .

3. 若点 $A(0, 1)$, $B(1, 0)$, $C(1, 2)$, $D(2, 1)$, 则 $AB$ 与 $CD$ 有什么位置关系？证明你的猜想.