浙江 2023 · 数学 q09

冷启动：把「中间四个」和「全体六个」对齐

六个数 $x_1,\dots,x_6$，已知 $x_1$ 是最小值、$x_6$ 是最大值。把它们从小到大排，$x_1$ 必排第一、$x_6$ 必排最后，中间四个位置正好是 $x_2,x_3,x_4,x_5$ 排好序的结果，记作 $m_1\le m_2\le m_3\le m_4$。于是

$$\text{全体排好} = [\,x_1,\ m_1,\ m_2,\ m_3,\ m_4,\ x_6\,],\qquad \text{中间四个排好} = [\,m_1,\ m_2,\ m_3,\ m_4\,]$$

题问「中间四个」的平均数 / 中位数 / 标准差 / 极差，与「全体六个」相比如何。逐项看。

解法一：按定义逐项判定，否定的举反例

怎么想到的。 四个特征是四件独立的事，没有统一公式一把梭——能对的就证明它「恒成立」，觉得不对的就造一组数据当场打脸。

A（平均数）—— 错，举反例。 取 $0,1,1,1,1,10$（满足 $x_1=0$ 最小、$x_6=10$ 最大）。中间四个平均数 $=\dfrac{1+1+1+1}{4}=1$，全体平均数 $=\dfrac{0+1+1+1+1+10}{6}=\dfrac{7}{3}\ne 1$。所以「相等」并不恒成立。✗

B（中位数）—— 对，按定义证。 全体六个的中位数取第 3、4 个的平均 $=\dfrac{m_2+m_3}{2}$；中间四个的中位数取它自己第 2、3 个的平均 $=\dfrac{m_2+m_3}{2}$。两者恒相等——去掉一头一尾，正好没动到中间那两个数。✓

C（标准差）—— 错，举反例。 取 $0,1,2,8,9,10$。中间四个均值 $5$，方差 $=\dfrac{(1-5)^2+(2-5)^2+(8-5)^2+(9-5)^2}{4}=\dfrac{25}{2}$；全体均值也是 $5$，方差 $=\dfrac{5^2+4^2+3^2+3^2+4^2+5^2}{6}=\dfrac{50}{3}$。$\dfrac{50}{3}>\dfrac{25}{2}$，即全体标准差更大——去掉偏离均值远的 $0,10$，离散程度只会变小，「中间不小于全体」站不住。✗

D（极差）—— 对，按定义证。 全体极差 $=x_6-x_1$，中间极差 $=m_4-m_1$。由 $x_1\le m_1$ 与 $m_4\le x_6$，

$$x_6-x_1=(x_6-m_4)+(m_4-m_1)+(m_1-x_1)\ge m_4-m_1$$

即中间极差恒不大于全体极差——极差只由两端决定，把两端拿掉，跨度只会缩。✓

综上选 BD。

为什么是「只有一条路」。 这不是「算一道题」，而是「判四个独立的命题」：B、D 要靠定义写出恒等 / 恒不等式，A、C 要靠一组反例一票否决。没有哪一步存在「换种算法」的空间——四个判断各自为政，合起来就是唯一的做法。

🕳️ 避坑

• 别把「某一组数据上相等」当成「恒相等」：上面 $0,1,2,8,9,10$ 的平均数碰巧都等于 $5$，但这不代表 A 对——换 $0,1,1,1,1,10$ 就不等了。要否定就找反例，要肯定才需证明。
• 去掉最大最小后，四个特征的反应记牢（见去极端值后数字特征的变化记反）：极差一定不增、标准差一般减小、中位数对称去法下不变、平均数一般会变。

对照选项 A. 平均数相等、B. 中位数相等、C. 中间标准差不小于全体、D. 中间极差不大于全体，故选 BD。