4.2 等差数列

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4.2 等差数列

我们知道，数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前 $n$ 项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用。下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。

4.2.1 等差数列的概念

请看下面几个问题中的数列.

1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. ①

2. S, M, L, XL, XXL, XXXL 型号的女装上衣对应的尺码分别是

3 8, 4 0, 4 2, 4 4, 4 6, 4 8.\tag{②}

3. 测量某地垂直地面方向上海拔 500 m 以下的大气温度，得到从距离地面 20 m 起每升高 100 m 处的大气温度（单位：℃）依次为

2 5. 0, 2 4. 4, 2 3. 8, 2 3. 2, 2 2. 6.\tag{③}

4. 某人向银行贷款 $a$ 万元，贷款时间为 $n$ 年。如果个人贷款月利率为 $r$，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金 $b\left(= \frac{a}{12n}\right)$ 万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为

a r, a r - b r, a r - 2 b r, a r - 3 b r, \dots .\tag{④}

● ●

如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是

每月归还本金 $=$ 贷款总额 $\div$ 贷款期总月数，

利息部分=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率.

思考

在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律。例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律。类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？

对于①，我们发现

$1 8 = 9 + 9, 2 7 = 1 8 + 9, \dots , 8 1 = 7 2 + 9,$

换一种写法，就是

$1 8 - 9 = 9, 2 7 - 1 8 = 9, \dots , 8 1 - 7 2 = 9.$

改变表达方式使数列的取值规律更突出了.

如果用 $\{a_{n}\}$ 表示数列①，那么有

$a _ {2} - a _ {1} = 9, a _ {3} - a _ {2} = 9, \dots , a _ {9} - a _ {8} = 9.$

这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．数列②～④也有这样的取值规律.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 $d$ 表示。例如，数列①的公差 $d = 9$。

由三个数 $a, A, b$ 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，$A$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等差中项（arithmetic mean）。根据等差数列的定义可以知道，$2A = a + b$。

在日常生活中，人们常常用到等差数列。例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）。你能举出一些例子吗？

探究

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_1$ ，公差为 $d$ ，根据等差数列的定义，可得

$a _ {n + 1} - a _ {n} = d,$

$a_{n + 1} - a_n = d$ 就是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式.

所以

$a _ {2} - a _ {1} = d, a _ {3} - a _ {2} = d, a _ {4} - a _ {3} = d, \dots .$

于是

$a _ {2} = a _ {1} + d,$

$a _ {3} = a _ {2} + d = (a _ {1} + d) + d = a _ {1} + 2 d,$

$a _ {4} = a _ {3} + d = (a _ {1} + 2 d) + d = a _ {1} + 3 d,$

归纳可得

$a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) d (n \geqslant 2).$

当 $n = 1$ 时，上式为 $a_1 = a_1 + (1 - 1)d = a_1$。这就是说，上式当 $n = 1$ 时也成立。因此，首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为

$a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) d.$

思考

观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

由于 $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = dn + (a_{1} - d)$，所以当 $d \neq 0$ 时，等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 是一次函数 $f(x) = dx + (a_{1} - d)(x \in \mathbf{R})$ 当 $x = n$ 时的函数值，即 $a_{n} = f(n)$.

如图 4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数 $f(x)=dx+(a_{1}-d)$ 的图象，就得到一条斜率为 d，截距为 $a_{1}-d$ 的直线。在这条直线上描出点 $(1, f(1))$ ， $(2, f(2))$ ， $\cdots$ ， $(n, f(n))$ ， $\cdots$ ，就得到了等差数列 $\{a_{n}\}$ 的图象。事实上，公差 $d \neq 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的图象是点 $(n, a_{n})$ 组成的集合，这些点均匀分布在直线 $f(x)=dx+(a_{1}-d)$ 上。

反之，任给一次函数 $f(x)=kx+b$ （k，b 为常数），则 $f(1)=k+b$ ， $f(2)=2k+b$ ，…， $f(n)=nk+b$ ，…构成一个等差数列 $\{nk+b\}$ ，其首项为 $(k+b)$ ，公差为 k.

下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.

例1（1）已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 5 - 2n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的公差和首项；

(2) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项.

分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由 $a_{n} - a_{n - 1} = d$ 即可求出公差 $d$ ；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.

解：（1）当 $n\geqslant 2$ 时，由 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = 5 - 2n$ ，可得

于是

$a _ {n - 1} = 5 - 2 (n - 1) = 7 - 2 n.$

$d = a _ {n} - a _ {n - 1} = (5 - 2 n) - (7 - 2 n) = - 2.$

把 $n = 1$ 代入通项公式 $a_{n} = 5 - 2n$ ，得

$a _ {1} = 5 - 2 \times 1 = 3.$

所以， $\{a_{n}\}$ 的公差为-2，首项为3.

(2) 由已知条件，得

$d = 5 - 8 = - 3.$

把 $a_1 = 8$ ， $d = -3$ 代入 $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ ，得

$a _ {n} = 8 - 3 (n - 1) = 1 1 - 3 n.$

把 n=20 代入上式，得

$a _ {2 0} = 1 1 - 3 \times 2 0 = - 4 9.$

所以，这个数列的第20项是-49.

例 2 —401 是不是等差数列 -5, -9, -13, … 的项？如果是，是第几项？

分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于 $n$ 的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.

解：由 $a_1 = -5$ ， $d = -9 - (-5) = -4$ ，得这个数列的通项公式为

$a _ {n} = - 5 - 4 (n - 1) = - 4 n - 1.$

令

$- 4 n - 1 = - 4 0 1,$

解这个关于 $n$ 的方程，得

$n = 1 0 0.$

所以，-401 是这个数列的项，是第 100 项.

练习

1. 判断下列数列是不是等差数列。如果是，写出它的公差。

(1) 95, 82, 69, 56, 43, 30;

(2) 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, 1.11111;

(3) 1, -2, 3, -4, 5, -6;

(4) 1, $\frac{11}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{12}$ , $\frac{1}{2}$ .

2. 求下列各组数的等差中项：

(1) 647 和 895; (2) $-12\frac{1}{3}$ 和 $24\frac{3}{5}$ .

3. 已知 $\{a_{n}\}$ 是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.

4. 已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{4} + a_{8} = 20$，$a_{7} = 12$。求 $a_{4}$。

5. 在 7 和 21 中插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列.

例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少。经验表明，每经过一年其价值就会减少 $d(d$ 为正常数）万元。已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的 $5\%$ ，设备将报废。请确定 $d$ 的取值范围。

分析：这台设备使用 $n$ 年后的价值构成一个数列 $\{a_{n}\}$。由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（$220 \times 5\% =$）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元。可以利用 $\{a_{n}\}$ 的通项公式列不等式求解。

解：设使用 $n$ 年后，这台设备的价值为 $a_{n}$ 万元，则可得数列 $\{a_{n}\}$。由已知条件，得

$a _ {n} = a _ {n - 1} - d (n \geqslant 2).$

由于 $d$ 是与 $n$ 无关的常数，所以数列 $\{a_{n}\}$ 是一个公差为 $-d$ 的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以 $a_1 = 220 - d$ ，于是

$a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) (- d) = 2 2 0 - n d.$

根据题意，得

$\left\{ \begin{array}{l} a _ {1 0} \geqslant 1 1, \\ a _ {1 1} < 1 1, \end{array} \right.$

即

$\left\{ \begin{array}{l} 2 2 0 - 1 0 d \geqslant 1 1, \\ 2 2 0 - 1 1 d < 1 1. \end{array} \right.$

解这个不等式组，得

$1 9 < d \leqslant 2 0. 9.$

所以，d 的取值范围为 $19 < d \leqslant 20.9$ .

例4 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_1 = 2$ ，公差 $d = 8$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$

(1) 求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2) $b_{29}$ 是不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项？若是，它是 $\{a_{n}\}$ 的第几项？若不是，说明理由.

分析：（1） $\{a_{n}\}$ 是一个确定的数列，只要把 $a_1$ ， $a_2$ 表示为 $\{b_n\}$ 中的项，就可以利用等差数列的定义得出 $\{b_n\}$ 的通项公式；（2）设 $\{a_{n}\}$ 中的第 $n$ 项是 $\{b_{n}\}$ 中的第 $c_{n}$ 项，根据条件可以求出 $n$ 与 $c_{n}$ 的关系式，由此即可判断 $b_{29}$ 是不是 $\{a_{n}\}$ 的项.

解：（1）设数列 $\{b_{n}\}$ 的公差为 $d'$ .

由题意可知， $b_{1}=a_{1}$ ， $b_{5}=a_{2}$ ，于是

$b _ {5} - b _ {1} = a _ {2} - a _ {1} = 8.$

因为 $b_{5} - b_{1} = 4d^{\prime}$ ，所以 $4d^{\prime} = 8$ ，所以 $d^{\prime} = 2$ 所以

如果插入 $k(k\in \mathbf{N}^*)$ 个数，那么 $\{b_n\}$ 的公差是多少？

$b _ {n} = 2 + (n - 1) \times 2 = 2 n.$

所以，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式是

$b _ {n} = 2 n.$

（2）数列 $\{a_{n}\}$ 的各项依次是数列 $\{b_{n}\}$ 的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列 $\{c_{n}\}$ ，则 $c_{n}=4n-3$ .

令 $4n - 3 = 29$ ，解得

对于第（2）小题， 你还有其他解决方法吗？

$n = 8.$

所以， $b_{29}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的第8项.

例5 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，$p, q, s, t \in \mathbf{N}^{*}$，且 $p + q = s + t$。求证 $a_{p} + a_{q} = a_{s} + a_{t}$。

分析：只要根据等差数列的定义写出 $a_{p}, a_{q}, a_{s}, a_{t}$，再利用已知条件即可得证。证明：设数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$，则

$\begin{array}{l} a _ {p} = a _ {1} + (p - 1) d, \\ a _ {q} = a _ {1} + (q - 1) d, \\ a _ {s} = a _ {1} + (s - 1) d, \\ a _ {t} = a _ {1} + (t - 1) d. \end{array}$

所以

$\begin{array}{l} a _ {p} + a _ {q} = 2 a _ {1} + (p + q - 2) d, \\ a _ {s} + a _ {t} = 2 a _ {1} + (s + t - 2) d. \end{array}$

因为 $p + q = s + t$ ，所以

$a _ {p} + a _ {q} = a _ {s} + a _ {t}.$

思考

例 5 是等差数列的一条性质，图 4.2-2 是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？

练习

1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位。你能用 $a_{n}$ 表示第 $n$ 排的座位数吗？第10排有多少个座位？

2. 画出数列 $a_{n} = \begin{cases} 18, & n = 1, \\ a_{n-1} - 3, & 1 < n \leqslant 6 \end{cases}$ 的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.