3.1 椭圆

第 3 章的三条曲线是同一套流程跑三遍：先用一句几何话定义它，再选一个好坐标系把这句话翻译成方程，然后从方程读回几何性质。 椭圆是第一遍，所以这一节除了椭圆本身，还要把这套流程学会—— 后面的双曲线、抛物线全靠”类比椭圆”四个字带过去。

这一节的讲法与课本一致（推导顺序本身就是教学顺序），但在三处停下来说清课本一带而过的东西： 为什么把常数设成 $2a$、那两次平方为什么不丢解、以及 $b$ 是从哪冒出来的。

一、定义：一句话，三个必须抠的字

平面内与两个定点 $F_1$，$F_2$ 的距离的和等于常数（大于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。

三处要抠：

1. “和”。 是 $|MF_1| + |MF_2|$，不是差、不是积。差的绝对值为常数是下一节的双曲线—— 两条曲线的定义只差这一个字，写错一个字就做错一整道题。
2. “常数”必须大于 $|F_1F_2|$。 这个括号不是修饰，是存在性条件： 由三角形两边之和大于第三边，$|MF_1| + |MF_2| > |F_1F_2|$；如果常数等于 $|F_1F_2|$， 轨迹退化成线段 $F_1F_2$；如果小于，一个点也没有。课本用一根细绳和两枚图钉演示这件事， 绳长就是那个常数，绳长不够就套不上笔尖。
3. 两个焦点。 椭圆有两个焦点、一条对称中心，“到焦点的距离”永远是一对， 于是"$|MF_1| + |MF_2| = 2a$"这条式子随时可以把其中一个换成另一个—— 这是圆锥曲线题里最高频的一步代换。

二、建系与方程：三处课本一带而过的地方

建系。 以 $F_1F_2$ 所在直线为 $x$ 轴、$F_1F_2$ 的垂直平分线为 $y$ 轴。理由是椭圆有对称性， 把对称轴取作坐标轴，方程里就不会出现一次项和交叉项——形式最简。设焦距为 $2c\ (c>0)$， 则 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$。

为什么常数设成 $2a$ 而不是 $a$。 课本在旁边只写了”设为 $2a$ 能为问题的研究带来方便”。 方便在哪：这个常数会在化简的最后被 $2$ 除一次（因为它是两段距离之和，天然是”两倍”的量）， 设成 $2a$ 之后 $a$ 就正好是长半轴长，也正好是 $|MF_1|+|MF_2|$ 的一半；同理 $2c$ 设成两倍之后， $c$ 正好是半焦距。所有带 $2$ 的量都是”全长”，不带 $2$ 的都是”半长”，这条约定贯穿整章。

化简的两次平方为什么不丢解。 由定义得

移一个根式到右边：

平方、整理，得

再平方、整理，得

课本在最后说了一句关键的话：“由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形。” 这句话是整段推导的合法性所在——一般来说 $X = Y \Rightarrow X^2 = Y^2$ 成立，但反过来只有在 $X, Y$ 同号（这里是同为非负）时才成立。②的左边是根式非负、右边由①知等于另一个根式也非负； ③的两边同理。所以不需要事后验根。（对比一下：如果不先移项、直接对①平方，右边会出现两个根式的 乘积，还得再来一次，且中间步骤的非负性就不那么显然了。）

$b$ 是从哪来的。 到④为止方程里只有 $a$ 和 $c$。两边除以 $a^2(a^2-c^2)$ 得

由定义 $2a > 2c > 0$，即 $a > c > 0$，所以 $a^2 - c^2 > 0$，可以令

$b = \sqrt{a^2-c^2} \quad (b > 0),$

于是得到标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0).$

$b$ 不是凭空起的名字：课本图 3.1-3 里，短轴端点 $P$ 到焦点的距离恰好是 $a$（因为 $|PF_1| = |PF_2|$ 而两者之和是 $2a$），$|OF_1| = c$，于是直角三角形 $POF_1$ 的第三边 $|PO| = \sqrt{a^2-c^2}$ 就是 $b$。所以 $a$、$b$、$c$ 是一个直角三角形的三条边，$a$ 是斜边。

$a^2 = b^2 + c^2.$

这张图值得单独记住：它把”$a$ 最大""$c^2 = a^2 - b^2$""$b$ 与 $c$ 谁大都有可能”三件事一次说清。

焦点在 $y$ 轴上时，把 $x$ 与 $y$ 的角色互换：

$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0).$

认焦点在哪条轴上，只看一件事：分母大的那个变量所在的轴，就是焦点所在的轴（因为 $a > b$）。 不是看 $x^2$ 在前还是 $y^2$ 在前。

三、求椭圆的标准方程：定 $a^2$、$b^2$ 两个数

标准方程只有两个待定的数，所以两个独立条件就够。课本例 1（焦点 $(\pm 2, 0)$、过点 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)$）示范了用定义直接算 $2a$ 这条路：

于是 $a = \sqrt{10}$，再由 $c = 2$ 得 $b^2 = a^2 - c^2 = 10 - 4 = 6$，方程 $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1$。

课本在例 1 后面问”你还能用其他方法求它的标准方程吗”——能，而且那条路更常用： 待定系数法。设 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，由焦点坐标知 $a^2 - b^2 = 4$， 把点 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ 代进方程得 $\frac{25/4}{a^2} + \frac{9/4}{b^2} = 1$， 两式联立解出 $a^2 = 10$、$b^2 = 6$。

两条路怎么选：焦点坐标已知、且给的是曲线上一个具体点时，定义法（算 $2a$）几乎总是更快， 因为它把二元方程组换成了一次算术；条件里带参数、或点的坐标不好开方时，待定系数法更稳。

四、轨迹问题：这一节真正的重头戏

例 2、例 3 都不是”求椭圆的方程”，而是”求某个动点的轨迹方程，结果发现是椭圆”。 高考里这一类比前一类多得多，而它们用的是同一套相关点法（也叫代入法）：

动点 $M(x,y)$ 的运动是被另一个点 $P(x_0,y_0)$ 带动的，而 $P$ 满足一个已知方程。那么： ① 由两点的关系解出 $x_0 = \cdots$、$y_0 = \cdots$（用 $x,y$ 表示 $x_0,y_0$）； ② 代进 $P$ 满足的那个方程，消去 $x_0, y_0$； ③ 剩下的就是 $M$ 的轨迹方程。

课本例 2（$P$ 在圆 $x^2+y^2=4$ 上，$PD \perp x$ 轴于 $D$，$M$ 是 $PD$ 的中点）走的正是这三步： 由中点得 $x = x_0$、$y = \frac{y_0}{2}$，反解出 $x_0 = x$、$y_0 = 2y$，代进 $x_0^2+y_0^2=4$ 得 $x^2 + 4y^2 = 4$，即 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$。

这条结果值得记住：把圆沿 $y$ 方向按比例压扁，得到的就是椭圆。 反过来，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 可以看成圆 $x^2+y^2=a^2$ 把纵坐标压缩到 $\frac{b}{a}$ 倍。 课本紧接着的”思考”问能不能由圆”拉伸”得到椭圆——能，把 $x^2+y^2=b^2$ 的横坐标拉成 $\frac{a}{b}$ 倍即可。 这个视角在处理”椭圆上的三角形面积""椭圆内接图形”一类问题时能省掉大量计算。

例 3（$A(-5,0)$、$B(5,0)$，$k_{AM} \cdot k_{BM} = -\frac{4}{9}$）换了一种给法——条件是斜率之积， 不需要相关点，直接把 $k_{AM} = \frac{y}{x+5}$、$k_{BM} = \frac{y}{x-5}$ 相乘写成方程即可。 它的化简在下一页（本节的最后一页翻过去就是 §3.1.2 的开头），结果是

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{\frac{100}{9}} = 1 \quad (x \neq \pm 5),$

轨迹是除去 $(-5,0)$、$(5,0)$ 两点的椭圆。

那两个被挖掉的点是这道题的全部难点。 $k_{AM}$ 在 $x = -5$ 时无定义、$k_{BM}$ 在 $x = 5$ 时无定义， 所以 $A$、$B$ 两点本身不在轨迹上。求轨迹时必须回头检查每一步引入的定义域限制， 少写一个 $x \neq \pm 5$ 就是把两个不该有的点算了进去。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 忘了 $a > b > 0$，把 $a$ 和 $b$ 搞反。 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的 $a^2 = 9$（在 $y$ 下面）、$b^2 = 4$，焦点在 $y$ 轴上。看分母大小，不看谁在前。
2. $a^2 = b^2 + c^2$ 记成 $c^2 = a^2 + b^2$。 后者是双曲线的。用第二节那个直角三角形来记： 椭圆里 $a$ 是斜边。
3. 求轨迹时漏掉定义域限制（见例 3）。凡是过程中出现过分式、根式、斜率的，最后都要回头补条件。
4. 焦点位置未定时只写一种。 题目只说”$a=4$，$b=1$“而没说焦点在哪条轴上时， $\frac{x^2}{16}+y^2=1$ 与 $\frac{y^2}{16}+x^2=1$ 都要写。
5. 把定义里的”和”用成”差”（那是双曲线），或忘了常数要大于 $|F_1F_2|$。
6. 化简时把 $2a$ 当成 $a$。 定义法算出来的是 $2a$，别忘了除以 $2$ 再平方。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，每一条都经由概念 椭圆 连过来。 读的顺序建议如下：

• 先做 2023 年第 5 题（两个椭圆的离心率成比例）。它只用到 $a$、$b$、$c$ 的关系， 是本节第二节那个直角三角形的直接考法，一两步就完。
• 再做 2024 年第 16 题（椭圆上两点定形状、由面积 $9$ 反求直线 $l$）。它要先把点代进标准方程， 再用 §2.3.3 的点到直线距离公式算高——是”标准方程 + 距离公式”这套组合的第一次真正配合。
• 2019 年第 15 题（$PF$ 的中点落在以 $O$ 为圆心、$|OF|$ 为半径的圆上，求 $k_{PF}$） 在这一节的位置是定义的一次纯用法：中位线给出 $|PF_1|=4$ 之后，剩下那一步就是第一节那句 “和等于 $2a$”——$|PF| = 2a - |PF_1| = 2$。它值得在学完定义的当天就做一遍， 因为除了定义，它只用到一条初中的中位线定理，不需要任何”几何性质”。
• 然后是 2025 年第 18 题（椭圆定方程与最值）。第一问就是本节的”由条件定 $a^2$、$b^2$”， 第二问把动点关系写成向量数乘，正好是第四节相关点法的高配版。
• 2015 年第 19 题（椭圆上两个不同的点 $A$、$B$ 关于直线 $y=mx+\frac12$ 对称， 求 $m$ 的范围与 $\triangle AOB$ 面积的最大值）在这一节的位置很特别： 这是整章里”内部”两个字第一次真正干活。本节只写了曲线本身的方程； 但把等号换成小于号，$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}<1$ 描述的就是椭圆围出来的那片区域。 这道题第（1）问的一条解法先用点差法把弦的中点钉死在 $\left(-\frac1m,\ -\frac12\right)$ （纵坐标与 $m$ 无关，这本身就够漂亮），接着只用一句话定出 $m$ 的范围： 一条弦的中点必然落在椭圆内部，于是 $\frac{1}{2m^{2}}+\frac14<1$，即 $m^{2}>\frac23$。 和另一条路”联立、把 $n$ 代回去展开成 $3m^{4}+4m^{2}-4>0$“相比，它省掉了整个四次不等式。 学完标准方程的当天就值得把这句话补进笔记：同一个式子，写等号是曲线、写小于号是内部、写大于号是外部。 课本没有专门讲它，可它是后面所有”这条弦到底存不存在”的问题里最短的那个判据。
• 2022 年第 21 题（椭圆上离定点 $P$ 最远的点不在顶点）是这一节的上限：它逼你放弃 “最远点一定是顶点”的直觉，老老实实把距离写成关于 $x$ 的函数再求最值。
• 2024 年第 12 题与 2025 年第 3 题是双曲线题，它们连到这一节是因为攻略里同时声明了概念 椭圆（两条曲线的 $a$、$b$、$c$ 关系正好相反，是彼此的对照物）。 把它们放在学完 §3.2 之后再看，当作”别把两个关系式记混”的练习。