8.6.2 直线与平面垂直

这一节是立体几何里”垂直”的中枢。§8.6.1 讲了直线与直线的垂直（含异面直线所成的角），下一节 §8.6.3 要讲平面与平面的垂直——而线面垂直正是从线线垂直爬到面面垂直的那一级台阶： 证明面面垂直最终要落到”一条直线垂直于一个平面”，而证明线面垂直又只需要找到”两条相交直线”。 这一节的内容就是给这条链配齐四件工具：定义、判定定理、线面角、性质定理。

一、定义：为什么它说了等于没说

定义：如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都垂直，就说 $l$ 与 $\alpha$ 互相垂直， 记作 $l \perp \alpha$。$l$ 叫平面 $\alpha$ 的垂线，$\alpha$ 叫直线 $l$ 的垂面，唯一的公共点叫垂足。

• 画图时把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直（图 8.6-9），这是画法约定，不是定义的一部分。
• “任意一条”四个字是重点也是痛点：要验证”平面内所有直线都与 $l$ 垂直”在操作上是不可能的—— 平面内的直线有无穷多条。所以这个定义的主要用途是用，不是验：一旦证明了 $l \perp \alpha$， 立刻免费得到”$l$ 垂直于 $\alpha$ 内任意一条直线”；反过来要证线面垂直，得靠下面的判定定理。

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条（课本思考题的结论）。它与平面几何里的对应命题 （过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）遥相呼应；证明思路是反证：若过一点有两条不同的垂线， 它们会在平面外相交于同一点，再用垂直于同一平面的两条直线平行（第六节的性质定理）推出矛盾。

由它得到第一个距离概念：点到平面的距离 = 过该点作平面的垂线，该点与垂足之间垂线段的长度。 （“垂线段”三个字的意思是：距离是垂线段的长，不是该点连到平面内任一点的最短线段——虽然可以 证明垂线段确实是最短的，课本在这一点上按定义走。）

二、判定定理：两条相交直线，够了

定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

符号表示：

为什么两条就够了。 由基本事实的推论 2，两条相交直线确定一个平面——平面 $\alpha$ 完全由 $m$、$n$ 张成。$l$ 既然垂直于这两条”骨架”，就被钉死在”与 $\alpha$ 内任何直线都垂直”的方向上 （$\alpha$ 内任意一条直线 $g$ 都可以用 $m$、$n$ 的线性组合”搭”出来，与 $l$ 的点积被拆成 $l \cdot m$ 与 $l \cdot n$ 两个零）。这就是课本那句”直线与平面垂直与直线与直线垂直互相转化”的意思。

为什么必须是”相交”。 这是全节最爱考的一问（课本第 158 页的思考题）：

• 改成两条平行直线不行。反例：在平面 $\alpha$ 内取两条平行直线 $m \parallel n$，过其中一条 $m$ 作一个与 $\alpha$ 斜交的平面 $\beta$，在 $\beta$ 内作 $l \perp m$——只要 $l$ 与 $\alpha$ 不垂直， 就得到 $l \perp m$、且 $l \perp n$（$n \parallel m$，异面垂直定义），但 $l$ 并不垂直于 $\alpha$。 两条平行直线确定不了平面的”朝向”：它们撑不起一个平面的两个方向。
• 改成无数条直线也不行——除非这无数条里藏着一对相交直线（那就是原定理）。“无数条平行直线” 与”两条平行直线”是同一回事，都给不出两个独立方向。直观地说：要钉死一条直线与平面的夹角， 至少要两个不平行的参照物。

三、例 3 的动作：线线垂直互转的样板

例 3（$a \parallel b$，$a \perp \alpha \Rightarrow b \perp \alpha$）的证明只有四步：

1. 在 $\alpha$ 内取两条相交直线 $m, n$；
2. $a \perp \alpha \Rightarrow a \perp m,\ a \perp n$（定义：垂直于平面即垂直于平面内一切直线）；
3. $b \parallel a \Rightarrow b \perp m,\ b \perp n$（一条直线与两平行线之一垂直，则与另一条也垂直）；
4. $b$ 垂直于 $\alpha$ 内两条相交直线 $m, n$，由判定定理 $b \perp \alpha$。

它的关键动作是把要证的线面垂直拆成线线垂直，再用判定定理装回去——这是后续几乎所有线面垂直 证明的模板。课本还追问”你能用定义证明吗”：那需要先说明 $b$ 与 $\alpha$ 内任意一条直线都垂直， 做法是把那条直线平移到与 $m$、$n$ 同一平面内再套第 3 步——可行，但绕，判定定理的价值正在于 省掉了这个”任意”。

四、线面角：把”斜”量化成度数

平面外一条直线与平面相交，通常不垂直，这叫斜线，交点叫斜足。过斜线上斜足以外一点 $P$ 向平面作垂线 $PO$（$O$ 为垂足），连接 $O$ 与斜足 $A$，$AO$ 叫斜线在平面上的射影； 斜线与射影所成的角就是这条直线和这个平面所成的角（站内实体：直线与平面所成的角，别名线面角）。

找线面角永远是三步：作垂线找垂足 → 连射影 → 读角。 $P$、$O$、$A$ 三点构成直角三角形（直角 在 $O$），于是

两个退化情形与取值范围（课本明说）：直线垂直于平面时角是 $90^\circ$；直线与平面平行、或 在平面内时角是 $0^\circ$。所以 $\theta$ 的取值范围是 $[0^\circ, 90^\circ]$——线面角永远不会是钝角。

最小值性质（课本思考题的答案）：斜线与平面内任意一条直线所成的角，最小的是它与该平面所成 的角——“最小的那个角”正是线面角这个名字的由来。证明：把平面内那条直线沿射影方向转到位，由 $\tan$ 随角增大的单调性比较即得。这条性质后面在”线线角与线面角互化”的题里经常暗中出现。

例 4（正方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 中求 $A_1B$ 与平面 $A_1DCB_1$ 所成的角）是找射影的标准示范： 关键在于找 $A_1B$ 上某一点到平面的垂足。$B$ 点正好落在直线 $BC_1$ 上，而 $BC_1 \perp$ 平面 $A_1DCB_1$（因为 $BC_1 \perp B_1C$，且 $BC_1 \perp A_1B_1$，两条相交直线），所以 $B$ 在平面上的垂足 就是 $BC_1$ 与平面 $A_1DCB_1$ 的交点 $O$，射影是 $A_1O$，所求角是 $\angle BA_1O$。在 $\mathrm{Rt}\triangle BA_1O$ 中 $A_1B = \sqrt{2}a$、$BO = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，故 $BO = \frac{1}{2}A_1B$， 角为 $30^\circ$。注意这题找垂足靠的是”发现 $BC_1$ 恰好垂直于该平面”——先整体判断哪条直线垂直于 目标平面，垂足就是它穿过平面的那一点，比从 $B$ 凭空作垂线好找得多。

对偶的一条：最大值性质。 上面那条说的是「把平面内的直线绕射影转一圈，线面角最小」。 把角色换一换，还有一条同样有用的：

固定一个过斜足的平面 $\beta$，让斜线在 $\beta$ 内绕斜足转， 它与 $\alpha$ 所成的角最大等于 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角， 等号在斜线垂直于交线 $\alpha\cap\beta$ 时取到——那条线叫 $\beta$ 内的最大斜度线。

两条性质是同一件事的两面：射影会把角压小，而压得最少的方向就是垂直于交线的那个方向。 差别只在「转的是谁」：最小值性质转的是 $\alpha$ 内的直线（比的是线线角与线面角）， 最大值性质转的是 $\beta$ 内的直线（比的是线面角与二面角）。

用途也分得很清：最小值性质在「线线角与线面角互化」的题里用；最大值性质在 「动点沿一条直线跑，求线面角的最大值」的题里用——一步把最值问题换成一个定二面角，连函数都不用设。第八节的 2014 年第 17 题就是它唯一的正面考法。

五、性质定理：反证法的教科书现场

定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。

这是”线面垂直 $\Rightarrow$ 线线平行”的方向，与例 3（“线线平行 + 线面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直”） 互为逆向。课本用反证法证明（观察（2）的完整证明在第 160 页），并点破了为什么必须反证： 直线 $a$、$b$ 都垂直于 $\alpha$ 时，它们不在同一个平面内（否则那个平面同时垂直于 $\alpha$， 不可能），平面内平行直线的判定、基本事实 4 全都用不上——归不了类，就只能假设”不平行”推出矛盾：

假设 $b$ 与 $a$ 不平行，$b \cap \alpha = O$。点 $O$ 与直线 $a$ 确定一个平面，在其内过 $O$ 作 $b' \parallel a$，则 $b$ 与 $b'$ 是交于 $O$ 的两条不同直线，确定平面 $\beta$；设 $\alpha \cap \beta = c$， 则 $O \in c$。由 $a \perp \alpha,\ b \perp \alpha$ 得 $a \perp c,\ b \perp c$，又 $b' \parallel a$ 得 $b' \perp c$——于是平面 $\beta$ 内过直线 $c$ 上同一点 $O$ 有两条不同直线 $b, b'$ 都与 $c$ 垂直， 这在平面内不可能，矛盾。故 $b \parallel a$。

这条定理立刻带来一个常用的免费结论：垂直于同一平面的两条直线，要么平行、要么重合——垂直同一平面的两条直线没有”相交”这种位置关系（它们在空间里被”钉”在同一个方向上）。

六、距离的三种递进：点 → 直线 → 平面

• 点到平面的距离：垂线段的长度（第一节已定义）。
• 直线到平面的距离：当直线 $l \parallel \alpha$ 时，$l$ 上任意一点到 $\alpha$ 的距离——例 5 证明这个值与点的选取无关：过 $l$ 上任意两点 $A$、$B$ 作垂线 $AA_1$、$BB_1$，由性质定理 $AA_1 \parallel BB_1$，又 $l \parallel \alpha$ 推出 $l \parallel A_1B_1$，于是四边形 $AA_1B_1B$ 是矩形，$AA_1 = BB_1$。这正是性质定理（“垂同平面则平行”）的一个直接应用。
• 两平行平面间的距离：由例 5 再推一步——两平行平面中的一个平面内任意一点到另一个平面的距离 都相等，这个公共值就是两个平行平面间的距离。

棱柱、棱台、棱锥的高，都是这种”距离”：棱柱、棱台的高是两底面间的距离（平行平面间的距离）， 棱锥的高是顶点到底面的距离（点到平面的距离）。例 6 推导棱台的体积公式用的就是这个视角：

其中 $S'$、$S$ 分别是上、下底面面积，$h$ 是高。推导：延长各侧棱交于点 $P$，把棱台补成棱锥 （“补形”），过 $P$ 作下底面的垂线，交上、下底面于 $O'$、$O$。棱台体积 = 大棱锥体积 − 小棱锥体积 = $\frac{1}{3}S \cdot PO - \frac{1}{3}S' \cdot PO'$，而 $PO - PO' = O'O = h$，再由相似关系 $\frac{PO'}{PO} = \frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}}$ 解出两个高代入化简即得。这道例子的动作是补形加差： 把台体补回棱锥、两个棱锥体积相减；立体几何里求台体体积、截得棱锥的比例问题都这么干。

七、易错清单

按失分频率排：

1. 判定定理漏了”相交”。写”$l \perp m$，$l \perp n$，故 $l \perp \alpha$“而不交代 $m$、$n$ 相交 ——两条平行直线撑不起平面方向，这个结论推不出来。写成：$m \cap n = P$ 先落笔。
2. 线面角找错角。射影连错（垂足与斜足之间的线段才是射影），或拿斜线与平面内任意一条直线 的夹角当线面角——线面角是与射影的夹角，而且它是最小的那个。
3. 忘了线面角的两个退化情形。线在面内或线面平行时角是 $0^\circ$，不是”没角”；取值范围 $[0^\circ, 90^\circ]$ 两端都要会写。
4. 性质定理与平面内命题混用。空间里”垂直于同一条直线的两条直线”不一定平行（可以相交、 可以异面）；只有”垂直于同一个平面的两条直线”才必然平行。定理说的是后者，别拿前者冒充。
5. 由 $a \perp \alpha$ 推 $a$ 与 $\alpha$ 内直线都垂直时忘前提。这条没问题（定义免费给）， 容易错的是反方向：由”$a$ 与 $\alpha$ 内某条直线垂直”推"$a \perp \alpha$"——少一个”两条相交”。
6. 点到平面距离找错垂足。垂线必须真的垂直于平面（垂直于面内两条相交直线），只垂直于 面内一条直线不算；斜足和垂足是两个不同的点，别混。

八、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单，逐年在长。给一个读的顺序：

• 先做 2021 年第 19 题（四棱锥证线线垂直、求线面角）：它是本节工具的标准套餐——第一问用判定 定理证线面垂直，第二问求线面角，与例 4 同一个动作。把”找垂足三步”在上面走一遍，本节就算过手了。

• 再看 2022 年第 8 题（正三棱柱里三种空间角比大小）与 2025 年第 9 题（正三棱柱里的线面关系）： 小题考判定定理的”相交”条件与线面角的最小性，练的是易错清单第 1、2 条的敏感度。

• 插一道不像立体几何的立体几何：2015 年第 15 题（空间单位向量求 $\left|\vec b\right|$）。 它整道题都在算数量积，却是本节定义正向那一半的一次纯粹应用：$\vec b$ 减去它在 $\vec e_1,\vec e_2$ 张成的平面上的投影，剩下那一截垂直于整张平面， 于是它与平面内的 $\vec e_1$、$\vec e_2$ 数量积都是零——解出 $x_0,y_0$ 的那两条方程就是这么来的。 “线面垂直 $\Rightarrow$ 与面内每一条线都垂直”，在向量题里就长这个样子： 用的不是判定定理（那是拿两条相交线去证垂直），而是定义本身拿来用。 本节把这两个方向分得很清，这道题正好各考一次的反面：只考”用”，不考”证”。

• 紧接着做 2014 年第 17 题（墙面上的射击线，求仰角 $\theta$ 的 $\tan$ 最大值）。 它把本节那条 $\tan\theta=\dfrac{PO}{OA}$ 用到了极致，而且三步一步不省： 过 $P$ 作 $PP'\perp BC$，因为墙面与地面垂直、交线是 $BC$，所以 $PP'\perp$ 地面—— 垂足找到了；连 $AP'$ 就是射影；$\theta=\angle PAP'$，$\tan\theta=\dfrac{PP'}{AP'}$。 妙处在于两条边都只由垂足 $P'$ 在底线上的位置决定，于是整个三维图形一步压成一个一元函数

  $$\tan\theta=\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{20-x}{\sqrt{225+x^{2}}} .$$

  但这道题真正扣分的地方不在立体几何，在定义域：目标点沿射线 $CM$ 移动， 垂足 $P'$ 会走出线段 $BC$ 到 $B$ 的外侧，$x$ 可以取负。照示意图把范围截短成 $[0,20]$， 函数在那一段单调递减，会交出 $\dfrac{4\sqrt3}{9}$——和正确答案 $\dfrac{5\sqrt3}{9}$ 一样干净，错了不会自己露馅。 然后用第四节末尾那条最大值性质再做一遍：$P$ 跑遍直线 $CM$，$AP$ 始终在平面 $ACM$ 内， 交线是 $AC$，所以最大仰角就是平面 $ACM$ 与地面的二面角；三垂线法作出它的平面角 $\angle BHD$， 两条直角边 $BH=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=12$、$BD=BC\tan30^{\circ}=\dfrac{20\sqrt3}{3}$， 一除就是 $\dfrac{5\sqrt3}{9}$，一个字母都不用设。做完这一道回头再读第四节最后那一段， 「最小值 / 最大值」两条性质各自管什么就分清了。

• 再插一道判定定理配平行搬运的：2015 年第 17 题（斜三棱柱，证 $A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$）。 直接盯着 $A_{1}D$ 去找”面内两条相交直线”是走不通的，因为 $A_{1}D$ 是顶面上的一条线， 跟平面 $A_{1}BC$ 只在 $A_{1}$ 处沾一下。正确的第一步是把它换掉：$D$ 是 $B_{1}C_{1}$ 的中点， $B_{1}C_{1}$ 又是 $BC$ 沿侧棱平移的像，所以 $D$ 恰是 $BC$ 中点 $O$ 沿侧棱平移的像， $AA_{1}DO$ 是平行四边形，$A_{1}D\parallel AO$。于是要证的变成 $AO\perp$ 平面 $A_{1}BC$， 而 $AO$ 就在底面里，面内的 $BC$、$A_{1}O$ 都好对付：$AO\perp BC$（等腰三角形底边上的中线即高）、 $AO\perp A_{1}O$（$A_{1}O\perp$ 底面），两条相交，判定定理收工。 这正是例 3 那个动作的反向用法：例 3 是”线面垂直 $\Rightarrow$ 线线垂直”， 这里是”先用平行把待证的线搬到好办的位置，再证线面垂直”。 判定定理的两条相交直线要在平面里找，待证的那条线却可以先平移——这一句值得抄进笔记。

• 接着是 2021 年第 6 题（正方体中点连线与面对角线的平行垂直判断）：中位线定平行、 线面垂直定异面垂直，是例 3（线线平行与线面垂直互转）的直接应用。

• 最后是 2022 年第 19 题、2024 年第 17 题与 2025 年第 17 题：立体几何大题，把线面角 换成”点面距”视角（等体积法），或由面面垂直反推——对应本节"$\tan \theta = \dfrac{PO}{OA}$" 那一句：线面角与点面距是同一枚硬币的两面，而面面垂直的证明最终也要落到本节这条判定定理上。

本节课本习题共 4 道，即「练习」（第 159、160 页）的 4 道，全收。「习题 8.6」整组印在 §8.6.3 （平面与平面垂直）的页面上（第 169 页起），不在本节的页靶内，逐字引文门引不了，故整组归 §8.6.3 那一节收。本节 4 道均为有唯一解答的证明/填空，没有开放式的实习作业。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 159 页）第 1 题

1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？

不一定。 反例：在平面 $\alpha$ 内任取两条相交直线 $m$、$n$，它们与平面 $\alpha$ 所成的角都是 $0^\circ$（线在面内），但 $m$ 与 $n$ 相交，并不平行。

这句话背后的道理是：线面角只刻画了直线方向与平面方向之间的夹角。两条直线与同一平面所成的角 相等，只说明它们”往平面上的倾角”一样，完全不约束两条直线彼此的方向——它们可以在平面两侧、 可以绕着各自与平面的交点转不同的方向。例外只有一种：两条直线与平面所成的角都是 $90^\circ$， 这时两条直线都垂直于该平面，由本节的性质定理（垂直于同一个平面的两条直线平行）它们才必然 平行。所以原命题的反面结论（“一定平行”）对 $90^\circ$ 情形恰好成立、对一般情形不成立， 答案是”不一定”。

练习（第 159 页）第 2 题

2. 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形， $SD \perp$ 平面 ABCD，求证： $AC \perp$ 平面 SDB.

要证 $AC \perp$ 平面 $SDB$，按判定定理，只需在平面 $SDB$ 内找到两条相交直线都与 $AC$ 垂直。 图中的两个自然候选是 $BD$ 与 $SD$。

第一步：$AC \perp BD$。 底面 $ABCD$ 是正方形，正方形的两条对角线互相垂直，所以 $AC \perp BD$（这一步用正方形性质，不用立体几何）。

第二步：$AC \perp SD$。 由 $SD \perp$ 平面 $ABCD$ 及线面垂直的定义——垂直于平面的直线垂直于 平面内任意一条直线——而 $AC \subset$ 平面 $ABCD$，故 $SD \perp AC$。

第三步：套判定定理。 $BD$、$SD$ 都在平面 $SDB$ 内，且二者交于点 $D$（$BD \cap SD = D$，是 两条相交直线）。于是平面 $SDB$ 内有两条相交直线 $BD$、$SD$ 都垂直于 $AC$，由判定定理， $AC \perp$ 平面 $SDB$。

自查：判定定理的前提是”两条相交直线”，这里特意交代了 $BD \cap SD = D$ 这一条； 漏掉它，$AC \perp BD$ 与 $AC \perp SD$ 各自孤立，定理用不上去。这道题的关键动作： 从判定定理倒着找”平面内的两条相交直线”——一条来自正方形对角线（$BD$），一条来自已知的线面 垂直（$SD$），两条凑齐就能收官。

练习（第 159 页）第 3 题

3. 如图，在直四棱柱 $A'B'C'D'-ABCD$ 中，当底面四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，$A'C \perp B'D'$?

答案是：底面四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直（即 $AC \perp BD$）。

理由分三步。

第一步：把 $B'D'$ 换到地面上来。 棱柱的上、下底面是全等的四边形，且对应边互相平行 （$B'D'$ 与 $BD$ 分别是上、下底面的同一条对角线），所以 $B'D' \parallel BD$。于是 $A'C \perp B'D'$ 等价于 $A'C \perp BD$——平行的两条直线与同一条直线垂直与否是一致的。

第二步：把 $A'C$ 也换到地面上来。 直四棱柱的侧棱垂直于底面，故 $AA' \perp$ 平面 $ABCD$， $AA' \perp BD$。把 $A'C$ 分解成”竖直分量加地面分量”：从 $A'$ 先回到 $A$（向量 $\overrightarrow{A'A}$）， 再沿底面对角线从 $A$ 到 $C$（向量 $\overrightarrow{AC}$），即 $\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA'}$，则

减号后面那一项为 $0$ 正是因为 $AA' \perp BD$。所以 $A'C \perp BD$ 当且仅当 $AC \perp BD$。

第三步：收口。 把两步合起来：$A'C \perp B'D' \iff A'C \perp BD \iff AC \perp BD$，即底面 四边形 $ABCD$ 的对角线互相垂直。

自查：$AC$、$BD$ 是底面四边形 $ABCD$ 的两条对角线，题目没有说底面是平行四边形，所以结论 只能写到”对角线互相垂直”为止；若再假设底面是平行四边形，则对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 此时可进一步说”底面是菱形”。这道题的关键动作：把异面直线垂直平移成同一平面内两条直线垂直： $B'D' \parallel BD$ 把目标降到底面，向量分解把 $A'C$ 的竖直流分量甩掉（它与底面内一切直线垂直）， 剩下的就是纯平面几何问题。

练习（第 159、160 页）第 4 题

4. 过 $\triangle ABC$ 所在平面 $\alpha$ 外一点 $P$，作 $PO \perp \alpha$，垂足为 $O$，连接 $PA, PB, PC$.

(1) 若 PA = PB = PC，则点 O 是 $\triangle ABC$ 的 ____ 心.

(2) 若 PA = PB = PC， $\angle C = 90^{\circ}$ ，则点 O 是 AB 边的 ____ 点.

(3) 若 $PA \perp PB$, $PB \perp PC$, $PC \perp PA$, 垂足都为 $P$, 则点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的 ____ 心.

这道题的共同前提：$PO \perp \alpha$，即 $O$ 是 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的垂足。于是对 $\triangle ABC$ 的每个顶点 $X$，$\triangle POX$ 都是直角三角形（直角在 $O$），$PX^2 = PO^2 + OX^2$。

(1) 外心。 由勾股定理，$OA^2 = PA^2 - PO^2$，$OB^2 = PB^2 - PO^2$，$OC^2 = PC^2 - PO^2$。 若 $PA = PB = PC$，则三式右端相等，故 $OA = OB = OC$——$O$ 到 $\triangle ABC$ 三个顶点的距离 相等，是三角形的外心（到三顶点等距的点是外心，外心是外接圆圆心）。

(2) 中点。 沿用 (1) 的结论：$PA = PB = PC$ 时 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心。再加条件 $\angle C = 90^\circ$：直角三角形的外心在斜边 $AB$ 上，且恰为斜边的中点（直角三角形斜边上的 中线等于斜边一半，反过来，斜边中点到三顶点等距，正是外心）。所以 $O$ 是 $AB$ 边的中点。

(3) 垂心。 条件改为三组”过 $P$ 的线线垂直”。逐条推：

• 由 $PA \perp PB$ 与 $PA \perp PC$：$PA$ 垂直于平面 $PBC$ 内两条相交直线 $PB$、$PC$（交于 $P$）， 由判定定理 $PA \perp$ 平面 $PBC$，于是 $PA \perp BC$（线面垂直定义）。
• 又 $PO \perp \alpha$，$BC \subset \alpha$，故 $PO \perp BC$。
• 现在 $BC$ 垂直于平面 $PAO$ 内的两条相交直线 $PA$、$PO$（二者交于 $P$），由判定定理 $BC \perp$ 平面 $PAO$，于是 $BC \perp AO$——$AO$ 是 $BC$ 边上的高，$O$ 在边 $BC$ 的高上。
• 同理轮换：由 $PB \perp PA$、$PB \perp PC$ 推出 $PB \perp$ 平面 $PAC$，从而 $PB \perp AC$； 与 $PO \perp AC$ 合起来得 $AC \perp$ 平面 $PBO$，故 $AC \perp BO$——$BO$ 是 $AC$ 边上的高。

两条高 $AO$（$BC$ 边上的高）与 $BO$（$AC$ 边上的高）交于 $O$，三条高交于一点即垂心，所以 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心。

自查：(3) 的每一步都在用”线面垂直 $\Rightarrow$ 线线垂直”和判定定理来回转化，中间每一步都 交代了”两条相交直线”是谁（$PB \cap PC = P$、$PA \cap PO = P$），这是判定定理能用的前提； 只证一条高（$AO \perp BC$）不够，必须再证另一条（$BO \perp AC$）才敢说 $O$ 是垂心。 这道题的关键动作：把过一点的三条两两垂直的线翻译成每一条都垂直于另两条张成的平面，再让垂足 $O$ 从公共垂线 $PO$ 里借垂——垂心的两条高就这么长出来了。