8.6.2 直线与平面垂直

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8.6.2 直线与平面垂直

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。

观察

如图 8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 AB 及它在地面的影子 BC。随着时间的变化，影子 BC 的位置在不断地变化，旗杆所在直线 AB 与其影子 BC 所在直线是否保持垂直？

事实上，随着时间的变化，尽管影子 BC 的位置在不断地变化，但是旗杆 AB 所在直线始终与影子 BC 所在直线垂直。也就是说，旗杆 AB 所在直线与地面上任意一条过点 B 的直线垂直。对于地面上不过点 B 的任意一条直线 $B'C'$ ，总能在地面上找到过点 B 的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆 AB 所在直线与直线 $B'C'$ 也垂直。因此，旗杆 AB 所在直线与地面上任意一条直线都垂直。

一般地，如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 互相垂直，记作 $l \perp \alpha$。直线 $l$ 叫做平面 $\alpha$ 的垂线，平面 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 $P$ 叫做垂足。

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 8.6-9 所示.

思考

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件.

根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？

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在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.

探究

如图 8.6-10，准备一块三角形的纸片 ABC，过 $\triangle ABC$ 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC 与桌面接触）.

(1) 折痕 $AD$ 与桌面垂直吗?

(2) 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面垂直？为什么？

容易发现，AD 所在直线与桌面所在平面 $\alpha$ 垂直（图 8.6-11）的充要条件是折痕 AD 是 BC 边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线 AD 与平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 BD，DC 都垂直。

事实上，由基本事实的推论2，平面 $\alpha$ 可以看作由两条相交直线 $BD$ ， $DC$ 所唯一确定的，所以当直线 $AD$ 垂直于这两条相交直线时，就能保证直线 $AD$ 与 $\alpha$ 内所有直线都垂直.

一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理.

定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

它可以用符号表示为：

$m \subset \alpha , n \subset \alpha , m \cap n = P, l \perp m, l \perp n \Rightarrow l \perp \alpha .$

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定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化.

思考

两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？

例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知：如图8.6-12， $a / / b$ ， $a\bot \alpha$ ，求证 $b\bot \alpha$

分析：要证明直线 $b \perp \alpha$，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线 $b$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线即可.

证明：如图8.6-13，在平面 $\alpha$ 内取两条相交直线 $m, n$.
$\because$ 直线 $a \perp \alpha$,
$\therefore a \perp m, a \perp n$.
$\because b \parallel a$,
$\therefore b \perp m, b \perp n$.
又 $m \subset \alpha, n \subset \alpha, m, n$ 是两条相交直线，
$\therefore b \perp \alpha$.

你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？

如图 8.6-14，一条直线 l 与一个平面 $\alpha$ 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 $\alpha$ 引垂线 PO，过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果 AB 是平面 $\alpha$ 内

如果 $AB$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条不与直线 $AO$ 重合的直线，那么直线 $PA$ 与直线 $AB$ 所成的角和直线 $PA$ 与这个平面所成的角的大小关系是什么？

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 $90^{\circ}$；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 $0^{\circ}$。直线与平面所成的角 $\theta$ 的取值范围是 $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$。

例 4 如图 8.6-15，在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，求直线 $A_{1}B$ 和平面 $A_{1}DCB_{1}$ 所成的角.

分析：关键是找出直线 $A_{1}B$ 在平面 $A_{1}DCB_{1}$ 上的射影.

解：连接 $BC_{1}$，$BC_{1}$ 与 $B_{1}C$ 相交于点 $O$，连接 $A_{1}O$。设正方体的棱长为 $a$。

$\because A _ {1} B _ {1} \perp B _ {1} C _ {1}, A _ {1} B _ {1} \perp B _ {1} B, B _ {1} C _ {1} \cap B _ {1} B = B _ {1},$

∴ $A_{1}B_{1} \perp$ 平面 $BCC_{1}B_{1}$ .

图8.6-15

$\therefore A _ {1} B _ {1} \perp B C _ {1}.$

又 $BC_{1}\bot B_{1}C$

∴ $BC_{1} \perp$ 平面 $A_{1}DCB_{1}$ .

∴ $A_{1}O$ 为斜线 $A_{1}B$ 在平面 $A_{1}DCB_{1}$ 上的射影， $\angle BA_{1}O$ 为 $A_{1}B$ 和平面 $A_{1}DCB_{1}$ 所成的角.

在 Rt△A₁BO 中， $A_{1}B=\sqrt{2}a$ ， $BO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ ，

$\therefore \quad B O = \frac {1}{2} A _ {1} B.$

$\therefore \quad \angle B A _ {1} O = 3 0 ^ {\circ}.$

∴ 直线 $A_{1}B$ 和平面 $A_{1}DCB_{1}$ 所成的角为 $30^{\circ}$ .

练习

1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？

2. 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形， $SD \perp$ 平面 ABCD，求证： $AC \perp$ 平面 SDB.

3. 如图，在直四棱柱 $A'B'C'D'-ABCD$ 中，当底面四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，$A'C \perp B'D'$?

4. 过 $\triangle ABC$ 所在平面 $\alpha$ 外一点 $P$，作 $PO \perp \alpha$，垂足为 $O$，连接 $PA, PB, PC$.

(1) 若 PA = PB = PC，则点 O 是 $\triangle ABC$ 的 ____ 心.

(2) 若 PA = PB = PC， $\angle C = 90^{\circ}$ ，则点 O 是 AB 边的 ____ 点.

(3) 若 $PA \perp PB$, $PB \perp PC$, $PC \perp PA$, 垂足都为 $P$, 则点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的 ____ 心.

下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 垂直的条件下能推出哪些结论.

根据已有经验，我们可以探究直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 内的直线的关系。但由定义，$a$ 与 $\alpha$ 内的所有直线都垂直。所以，可以探究 $a, \alpha$ 与其他直线或平面的关系。

我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。在空间中是否有类似的性质呢？

观察

（1）如图8.6-16，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，棱 $AA'$，$BB'$，$CC'$，$DD'$ 所在直线都垂直于平面 $ABCD$，它们之间具有什么位置关系？

（2）如图8.6-17，已知直线 $a$ ， $b$ 和平面 $\alpha$ 。如果 $a \perp \alpha$ ， $b \perp \alpha$ ，那么直线 $a$ ， $b$ 一定平行吗？

可以发现，这些直线相互平行。不失一般性，我们以（2）为例加以证明。如图8.6-18，假设 $b$ 与 $a$ 不平行，且 $b \cap \alpha = O$。显然点 $O$ 不在直线 $a$ 上，所以点 $O$ 与直线 $a$ 可确定一个平面，在该平面内过点 $O$ 作直线 $b' \parallel a$，则直线 $b$ 与 $b'$ 是相交于点 $O$ 的两条不同直线，所以直线 $b$ 与 $b'$ 可确定平面 $\beta$，设 $\alpha \cap \beta = c$，则 $O \in c$。因为 $a \perp \alpha, b \perp \alpha$，所以 $a \perp c, b \perp c$。又因为 $b' \parallel a$，所以 $b' \perp c$。这样在平面 $\beta$ 内，经过直线 $c$ 上同一点 $O$ 就有两条直线 $b, b'$ 与 $c$ 垂直，显然不可能。因此 $b \parallel a$。

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由于无法把两条直线 $a, b$ 归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4. 在这种情况下我们采用了“反证法”.

这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：

定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.

在 $a \perp \alpha$ 的条件下，如果平面 $\alpha$ 外的直线 $b$ 与直线 $a$ 垂直，你能得到什么结论？如果平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 平行，你又能得到什么结论？

你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗？

例5 如图8.6-19，直线 $l$ 平行于平面 $\alpha$ ，求证：直线 $l$ 上各点到平面 $\alpha$ 的距离相等.

证明：过直线 $l$ 上任意两点 $A, B$ 分别作平面 $\alpha$ 的垂线 $AA_{1}, BB_{1}$，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}$.

$\because A A _ {1} \perp \alpha , B B _ {1} \perp \alpha ,$

图8.6-19

$\therefore \quad A A _ {1} / / B B _ {1}.$

设直线 $AA_{1}$ ， $BB_{1}$ 确定的平面为 $\beta$ ， $\beta \cap \alpha = A_1B_1$

$\because \quad l / / \alpha ,$

$\therefore \quad l / / A _ {1} B _ {1}.$

∴ 四边形 $AA_{1}B_{1}B$ 是矩形.

$\therefore \quad A A _ {1} = B B _ {1}.$

由 A, B 是直线 l 上任取的两点，可知直线 l 上各点到平面 $\alpha$ 的距离相等.

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

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在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的底面间的距离.

例 6 推导棱台的体积公式

$V _ {\text {棱台}} = \frac {1}{3} h \left(S ^ {\prime} + \sqrt {S ^ {\prime} S} + S\right),$

其中 $S'$ ，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高.

解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点 $P$ ，得到截得棱台的棱锥．过点 $P$ 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点$O^{\prime}$ ， $O$ ，则 $PO$ 垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而 $O^{\prime}O = h$