8.5.2 直线与平面平行

文字转写

∴ 四边形 $ADD'A'$ 是平行四边形.

$\therefore A A ^ {\prime} \underline {{\parallel}} D D ^ {\prime}.$

同理可证 $AA' \parallel EE'$ .

$\therefore \quad D D ^ {\prime} \underline {{\parallel}} E E ^ {\prime}.$

∴ 四边形 $DD'E'E$ 是平行四边形.

$\therefore \quad D E = D ^ {\prime} E ^ {\prime}.$

$\therefore \quad \triangle A D E \cong \triangle A ^ {\prime} D ^ {\prime} E ^ {\prime}.$

$\therefore \quad \angle B A C = \angle B ^ {\prime} A ^ {\prime} C ^ {\prime}.$

对于图 8.5-4(2) 的情形，请同学们自己给出证明.

这样，我们就得到了下面的定理：

定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

练习

1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？

2. 如图，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，与棱 $AA'$ 平行的棱共有几条？分别是什么？

3. 如图， $AA'$ ， $BB'$ ， $CC'$ 不共面，且 $AA'\perp\perp BB'$ ， $BB'\perp\perp CC'$ ．求证： $\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$

4. 如图，在四面体 $A-BCD$ 中，$E, F, G$ 分别为 $AB, AC, AD$ 上的点。若 $EF \parallel BC, FG \parallel CD$，则 $\triangle EFG$ 和 $\triangle BCD$ 有什么关系？为什么？

8.5.2 直线与平面平行

在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系。它不仅应用广泛，而且是

学习平面与平面平行的基础.

怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？

观察

如图8.5-6(1)，门扇的两边是平行的。当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？

如图8.5-6(2)，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动．在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？

可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边 $AB$ 与 $DC$ 平行，只要边 $DC$ 紧贴着桌面，边 $AB$ 转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行.

一般地，我们有直线与平面平行的判定定理：

定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

它可以用符号表示：

$a \not \subset \alpha , b \subset \alpha \text {, 且} a / / b \Rightarrow a / / \alpha .$

这一定理在现实生活中有许多应用。例如，安装矩形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理。你还能举出其他一些应用实例吗？

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定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行。这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）。

例 2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

已知：如图8.5-7，空间四边形ABCD中， $E$ ， $F$ 分别是$AB$ ， $AD$ 的中点.

求证： $EF \parallel$ 平面 BCD.

证明：连接 BD.

又 $EF\subset$ 平面 $BCD$ ， $BD\subset$ 平面 $BCD$

今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.

前面，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件。反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件。

下面我们研究在直线 a 平行于平面 $\alpha$ 的条件下，直线 a 与平面 $\alpha$ 内的直线的位置关系.

如图8.5-8，由定义，如果直线 $a / / \text{平面}\alpha$ ，那么 $a$ 与 $\alpha$ 无公共点，即 $a$ 与 $\alpha$ 内的任何直线都无公共点．这样，平面$\alpha$ 内的直线与平面 $\alpha$ 外的直线 $a$ 只能是异面或者平行的关系.那么，在什么条件下，平面 $\alpha$ 内的直线与直线 $a$ 平行呢？下面我们来分析一下：

假设 $a$ 与 $\alpha$ 内的直线 $b$ 平行，那么由基本事实的推论3，过直线 $a$ ， $b$ 有唯一的平面 $\beta$ 。这样，我们可以把直线 $b$ 看作过直线 $a$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 的交线。于是可得如下结论：过直线 $a$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于 $b$ ，则 $a / / b$ 。

下面，我们来证明这一结论.

如图 8.5-9，已知 $a \parallel \alpha, a \subset \beta, \alpha \cap \beta = b$ .

求证： $a \parallel b$ .

证明：∵ $\alpha \cap \beta = b$ ，

∴ $b \subset \alpha.$

又 $a \parallel \alpha$ ,

图8.5-9

∴ a 与 b 无公共点.

又 $a \subset \beta, b \subset \beta,$

∴ $a \parallel b.$

这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理：

定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法.

例 3 如图 8.5-10（1）所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 $A^{\prime}C^{\prime}$ .

（1）要经过面 $A^{\prime}C^{\prime}$ 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

(2) 所画的线与平面 AC 是什么位置关系?

分析：要经过面 $A^{\prime}C^{\prime}$ 内的一点 $P$ 和棱 $BC$ 将木料锯开，实际上是经过 $BC$ 及 $BC$ 外一点 $P$ 作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线。我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段。

解：（1）如图8.5-10(2)，在平面 $A^{\prime}C^{\prime}$ 内，过点 $P$ 作直线 $EF$ ，使 $EF / / B^{\prime}C^{\prime}$ ，并分别交棱 $A'B'$ ， $D'C'$ 于点 $E$ ， $F$ 。连接 $BE$ ， $CF$ ，则 $EF$ ， $BE$ ， $CF$ 就是应画的线。

（2）因为棱 $BC$ 平行于平面 $A'C'$，平面 $BC'$ 与平面 $A'C'$ 相交于 $B'C'$，所以 $BC \parallel B'C'$。由（1）知，$EF \parallel B'C'$，所以 $EF \parallel BC$。而 $BC$ 在平面 $AC$ 内，$EF$ 在平面 $AC$ 外，所以 $EF \parallel$ 平面 $AC$。

显然，BE，CF 都与平面 AC 相交.

练习

1. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，

(1) 与 AB 平行的平面是 ____;

(2) 与 $AA'$ 平行的平面是 ____ ;

(3) 与 AD 平行的平面是 ____ .