7.1 复数的概念

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7.1 复数的概念

在解决求判别式小于 0 的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关.

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^{2} + a = 0$ （ $a > 0$ ）有没有解，进而可以归结为方程 $x^{2} + 1 = 0$ 有没有解.

想一想，这是为什么？

探究

我们知道，方程 $x^{2} + 1 = 0$ 在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^{2} - 2 = 0$ 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

依照这种思想，为了解决 $x^{2} + 1 = 0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得 $x = \mathrm{i}$ 是方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的解，即使得 $\mathrm{i}^2 = -1$

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i 是数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）最早引入的，它取自 imaginary（想象的，假想的）一词的词头。 $i^{2}=i\cdot i$

思考

把新引进的数 i 添加到实数集中，我们希望数 i 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数 $b$ 与i相乘，结果记作bi；把实数 $a$ 与bi相加，结果记作 $a +$ bi. 注意到所有实数以及i都可以写成 $a + \mathrm{bi}(a, b \in \mathbf{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.

我们把形如 $a + bi(a, b \in \mathbf{R})$ 的数叫做复数（complex number），其中 $\mathrm{i}$ 叫做虚数单位（imaginary unit）。全体复数构成的集合 $\mathbf{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbf{R}\}$ 叫做复数集（set of complex numbers）。这样，方程 $x^2 + 1 = 0$ 在复数集 $\mathbf{C}$ 中就有解 $x = \mathrm{i}$ 了。

复数通常用字母 $z$ 表示，即 $z = a + \mathrm{bi}(a, b \in \mathbf{R})$. 以后不作特殊说明时，复数 $z = a + \mathrm{bi}$ 都有 $a, b \in \mathbf{R}$，其中的 $a$ 与 $b$ 分别叫做复数 $z$ 的实部（real part）与虚部（imaginary part）.

在复数集 $\mathbf{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbf{R}\}$ 中任取两个数 $a + bi, c + di(a, b, c, d \in \mathbf{R})$，我们规定：

$a+bi$ 与 $c+di$ 相等当且仅当 a=c 且 b=d.

对于复数 $a + b\mathrm{i}$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$），当且仅当 $b = 0$ 时，它是实数；当且仅当 $a = b = 0$ 时，它是实数0；当 $b \neq 0$ 时，它叫做虚数（imaginary number）；当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，它叫做纯虚数.

例如， $3 + 2\mathrm{i}$ ， $\frac{1}{2} -\sqrt{3}\mathrm{i}$ ， $-\sqrt{3} -\frac{1}{2}\mathrm{i}$ ，-0.2i都是虚数，它们的实部分别是3， \frac{1}{2}$$-\sqrt{3} ，0，虚部分别是2， $-\sqrt{3}$ ， $-\frac{1}{2}$ ，-0.2，并且其中只有-0.2i是纯虚数.

思考

复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？

显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 $R \subsetneq C$ .

这样，复数 $z=a+bi\quad(a, b\in\mathbf{R})$ 可以分类如下：

复数 $\left\{\begin{aligned}实数(b=0),\\ 虚数(b\neq0)(当a=0时为纯虚数).\end{aligned}\right.$

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图 7.1-1 表示.

图 7.1-1

例 1 当实数 m 取什么值时，复数 $z=m+1+(m-1)i$ 是下列数？

(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数.

分析：因为 $m \in \mathbf{R}$，所以 $m + 1, m - 1$ 都是实数。由复数 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$）是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 $m$ 的取值。

解：（1）当 m-1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数.