5.2 三角函数的概念

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5.2 三角函数的概念

在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数。下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题。不失一般性，先研究单位圆上点的运动。现在的任务是：

如图 5.2-1，单位圆 $\odot O$ 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点 P 的位置变化情况.

5.2.1 三角函数的概念

根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题.

如图 5.2-2，以单位圆的圆心 O 为原点，以射线 OA 为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 A 的坐标为 $(1, 0)$ ，点 P 的坐标为 $(x, y)$ 。射线 OA 从 x 轴的非负半轴开始，绕点 O 按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，终止位置为 OP。

探究

当 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ 时，点 $P$ 的坐标是什么？当 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$ 时，点 $P$ 的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

一般地，任意给定一个角 $\alpha$ ，它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标能唯一确定吗？

利用勾股定理可以发现，当 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ 时，点 $P$ 的坐标是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$；当 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$ 时，点 $P$ 的坐标分别是(0, 1)和 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。它们都是唯一确定的。

一般地, 任意给定一个角 $\alpha \in \mathbb{R}$, 它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标, 无论是横坐标 $x$ 还是纵坐标 $y$, 都是唯一确定的. 所以, 点 $P$ 的横坐标 $x$ 、纵坐标 $y$ 都是角 $\alpha$ 的函数. 下面给出这些函数的定义.

设 $\alpha$ 是一个任意角，$\alpha \in \mathbf{R}$，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x, y)$.

(1) 把点 $P$ 的纵坐标 $y$ 叫做 $\alpha$ 的正弦函数（sine function），记作 $\sin \alpha$，即

$y = \sin \alpha ;$

(2) 把点 $P$ 的横坐标 $x$ 叫做 $\alpha$ 的余弦函数 (cosine function), 记作 $\cos \alpha$, 即

$x = \cos \alpha ;$

(3) 把点 $P$ 的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做 $\alpha$ 的正切, 记作 $\tan \alpha$, 即

$\frac {y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0).$

可以看出，当 $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z})$ 时，$\alpha$ 的终边在 $y$ 轴上，这时点 $P$ 的横坐标 $x$ 等于 0，所以 $\frac{y}{x} = \tan \alpha$ 无意义。除此之外，对于确定的角 $\alpha$，$\frac{y}{x}$ 的值也是唯一确定的。所以，$\frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0)$ 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangent function）。

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometric function），通常将它们记为：

正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$;

余弦函数 $y = \cos x, x \in \mathbf{R}$;

正切函数 $y = \tan x, x \in \{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z})\}$.

探究

在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。设 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，把按锐角三角函数定义求得的锐角 $x$ 的正弦记为 $z_1$，并把按本节三角函数定义求得的 $x$ 的正弦记为 $y_1$。$z_1$ 与 $y_1$ 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

例 1 求 $\frac{5\pi}{3}$ 的正弦、余弦和正切值.

解：在直角坐标系中，作 $\angle AOB = \frac{5\pi}{3}$ （图5.2-3）. 易知 $\angle AOB$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 所以，

$\sin \frac {5 \pi}{3} = - \frac {\sqrt {3}}{2},$

$\cos \frac {5 \pi}{3} = \frac {1}{2},$

$\tan \frac {5 \pi}{3} = - \sqrt {3}.$

例 2 如图 5.2-4，设 $\alpha$ 是一个任意角，它的终边上任意一点 P（不与原点 O 重合）的坐标为 $(x, y)$ ，点 P 与原点的距离为 r。求证： $\sin \alpha = \frac{y}{r}$ ， $\cos \alpha = \frac{x}{r}$ ， $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ 。

分析：观察图5.2-5，由 $\triangle OMP\sim \triangle OM_0P_0$ ，根据三角函数的定义可以得到证明.

证明：如图5.2-5，设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P_0(x_0, y_0)$. 分别过点 $P, P_0$ 作 $x$ 轴的垂线 $PM, P_0M_0$，垂足分别为 $M, M_0$，则

图5.2-4

$\begin{array}{c} | P _ {0} M _ {0} | = | y _ {0} |, | P M | = | y |, \\ | O M _ {0} | = | x _ {0} |, | O M | = | x |, \\ \triangle O M P \sim \triangle O M _ {0} P _ {0}. \end{array}$

于是

$\frac {| P _ {0} M _ {0} |}{1} = \frac {| P M |}{r},$

即

$| y _ {0} | = \frac {| y |}{r}.$

图5.2-5

因为 $y_0$ 与 $y$ 同号，所以

$y _ {0} = \frac {y}{r},$

即

$\sin \alpha = \frac {y}{r}.$

同理可得

$\cos \alpha = \frac {x}{r}, \tan \alpha = \frac {y}{x}.$

根据勾股定理， $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．由例2可知，只要知道角 $\alpha$ 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 $\alpha$ 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.

练习

1. 利用三角函数定义，求 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ 的三个三角函数值.

2. 利用三角函数定义，求 $\frac{7\pi}{6}$ 的三个三角函数值.

3. 已知角 $\theta$ 的终边过点 $P(-12, 5)$，求角 $\theta$ 的三角函数值.

4. 已知点 P 在半径为 2 的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 $1 \, rad/s$ . 求 2 s 时点 P 所在的位置.

学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质.

探究

根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号.

例3 求证：角 $\theta$ 为第三象限角的充要条件是

\left\{ \begin{array}{l} \sin \theta < 0, \\ \tan \theta > 0. \end{array} \right.\tag{①}

②

证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么 $\theta$ 为第三象限角.

因为①式 $\sin \theta < 0$ 成立，所以 $\theta$ 角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 $y$ 轴的负半轴重合；

又因为②式 $\tan\theta>0$ 成立，所以 $\theta$ 角的终边可能位于第一或第三象限.

因为①②式都成立，所以 $\theta$ 角的终边只能位于第三象限.于是角 $\theta$ 为第三象限角

必要性请同学们自己证明.

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式：

公式一

$\begin{array}{r l} & {\sin (\alpha + k \cdot 2 \pi) = \sin \alpha ,} \\ & {\cos (\alpha + k \cdot 2 \pi) = \cos \alpha ,} \\ & {\tan (\alpha + k \cdot 2 \pi) = \tan \alpha ,} \\ & {\text {其中} k \in \mathbf {Z}.} \end{array}$

● ●

由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角 $\alpha$ 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 $0 \sim 2\pi$ （或 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ ）角的三角函数值.

例 4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：

(1) $\cos 250^{\circ}$; (2) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

(3) $\tan (-672^{\circ})$; (4) $\tan 3\pi$.

解：（1）因为 $250^{\circ}$ 是第三象限角，所以

$\cos 2 5 0 ^ {\circ} < 0;$

(2) 因为 $-\frac{\pi}{4}$ 是第四象限角，所以

$\sin (- \frac {\pi}{4}) < 0;$

(3) 因为 $\tan(-672^{\circ})=\tan(48^{\circ}-2\times360^{\circ})=\tan48^{\circ}$ ，而 $48^{\circ}$ 是第一象限角，所以 $\tan(-672^{\circ})>0$ ;

(4) 因为

$\tan 3 \pi = \tan (\pi + 2 \pi) = \tan \pi ,$

而 $\pi$ 的终边在 $x$ 轴上，所以

$\tan \pi = 0.$

请同学们自己完成用计算工具验证.

例 5 求下列三角函数值:

• •

(1) $\sin 1\ 480^{\circ}10'$ (精确到 0.001);

(2) $\cos \frac{9\pi}{4}$ ;

(3) $\tan\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ .

可以直接利用计算工具求三角函数的值。用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制。

解：(1) \sin 1480^{\circ}10' = \sin(40^{\circ}10' + 4 \times 360^{\circ})$$= \sin 40^{\circ}10' \approx 0.645;

(2) $\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

(3) $\tan \left(-\frac{11\pi}{6}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{6} - 2\pi\right) = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.