浙江 2021 · 数学 q11

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为

$S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{1}}=$ ____.

1 概念 · 最深 1 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

赵爽弦图求大小正方形面积比 · 勾股定理一步到位 · 最终答案：25

赵爽弦图由四个全等的直角三角形围成一圈，中间夹着一个小正方形，最外面是一个大正方形。

关键几何事实（看图即可确认）：

怎么想到的。 题目给了两条直角边 3 和 4，而大正方形边长就是斜边——直接用勾股定理算出斜边，面积就都有了。

① 求大正方形面积 $S_1$ 。

直角三角形斜边（即大正方形边长）：

c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

S_1=c^2=5^2=25

② 求小正方形面积 $S_2$ 。

小正方形边长等于两直角边之差：

4-3=1

S_2=1^2=1

③ 求比值。

\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{1}=\boxed{25}

教学图：弦图——大正方形（边长 5）内四个全等直角三角形（直角边 3、4，斜边 5）围住中间的小正方形（边长 1），各边标注数值；大正方形内标 S₁=25、小正方形内标 S₂=1，面积比的推算见上文解法

🕳️ 避坑

小正方形的边长是两直角边之差 $|4-3|=1$ ，不是斜边 5，也不是某条直角边。从图上看：小正方形的每条边都是一个三角形长直角边减去相邻三角形短直角边后剩下的那段。

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