浙江 2025 · 数学 q15

冷启动：这张表在说什么

假设你只知道「概率是什么」，其余从零开始。

题目给的是一张 $2\times 2$ 列联表：横着分「超声波检查结果正常 / 不正常」，竖着分「患该疾病 / 未患该疾病」，每个格子里是人数。

组别 ＼ 超声波检查结果	正常	不正常	合计
患该疾病	20	180	200
未患该疾病	780	20	800
合计	800	200	1000

先把表读顺——这一步不用动脑子，但错在这里最冤：

• 一共调查 $1000$ 人；
• 检查结果不正常的共 $200$ 人（$180+20$），其中患病 $180$ 人；
• 检查结果正常的共 $800$ 人（$20+780$），其中患病 $20$ 人。

两问要干的事完全不同：第一问只是在表里数一个比例；第二问要判断「检查结果」与「是否患病」这两件事有没有关系，那需要一个算得出来的判据。

第一问：条件概率就是「只在那一列里数」

「不正常者患该疾病的概率」这句话里藏着一个条件：先限定「检查结果不正常」，再问「患病」。所以样本从 $1000$ 人缩到不正常那一列的 $200$ 人，只在这 $200$ 人里数患病的：

$$P=\frac{\text{不正常且患病的人数}}{\text{不正常的总人数}}=\frac{180}{200}=\frac{9}{10}$$

为什么题目说「估计值」。 问的是概率，而手上只有 $1000$ 人的调查数据，算出来的是频率；用样本频率去估计总体概率，所以叫估计值。$P$ 的估计值就是 $\dfrac{9}{10}$。

分母千万别写成 $1000$。 $\dfrac{180}{1000}=0.18$ 算的是「随便抽一个人，他既不正常又患病」；而题目要的是「已知他不正常，他患病」。条件概率的分母永远是条件所限定的那部分人。

第二问：先把「无关」这个假设摆出来

统计不直接去证「有关」，它先假设「无关」，再看数据有多不像。 这就是独立性检验的做法——立一个零假设：

$$H_0:\ \text{超声波检查结果与患该疾病无关（相互独立）}$$

「无关」具体是什么意思？意思是患病率不随检查结果变：正常组的患病率、不正常组的患病率、全体的患病率，本该都一样。全体患病率是 $\dfrac{200}{1000}=20\%$，而实际数据是

• 不正常组的患病率 $\dfrac{180}{200}=90\%$；
• 正常组的患病率 $\dfrac{20}{800}=2.5\%$。

$90\%$ 与 $2.5\%$ 差得离谱，直觉已经在喊「有关」了。但直觉不能写在答卷上——得把「离 $H_0$ 有多远」变成一个数，那个数就是 $\chi^2$（读作「卡方」）。

下面两条路算的都是这同一个数，但依赖的东西不同：一条直接代题目【附】给的分式，一条回到 $\chi^2$ 的定义式、从「无关时每格该有多少人」算起。

解法一：四格代公式

怎么想到的。 题目把公式写在【附】里了——这等于在说：这一步不用自己造工具，代数进去就行。于是全部难度只剩把四个格子摆对位置，剩下是算术。

摆四格。 卡方统计量里的 $a,b,c,d$ 是列联表去掉合计行与合计列之后剩下的四个数，按行读过去：

$$a=20,\quad b=180,\quad c=780,\quad d=20,\qquad n=1000$$

于是两个行合计是 $a+b=200$、$c+d=800$，两个列合计是 $a+c=800$、$b+d=200$。公式的分母 $(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)$ 就是「两个行合计 × 两个列合计」之积——记成这句话，比记四个括号可靠得多。

先算分子里那个差。

$$ad-bc=20\times 20-180\times 780=400-140400=-140000$$

负号不用管，它马上被平方吃掉。

代进去。

$$\chi^2=\frac{1000\times(-140000)^2}{200\times 800\times 800\times 200} =\frac{1000\times 1.96\times 10^{10}}{2.56\times 10^{10}} =\frac{1.96\times 10^{13}}{2.56\times 10^{10}}=765.625$$

数字这么大，怕算错？先估一眼。 判结论只需要知道 $\chi^2$ 有没有超过 $10.828$。分母是 $2.56\times 10^{10}$，它的 $10.828$ 倍约为 $2.8\times 10^{11}$，而分子是 $1.96\times 10^{13}$——大了七十倍上下。所以哪怕精确值算错一位，结论也翻不过来。（这只是同一条路上的一次自查，不是另一条解法。）

解法二：期望频数定义式

怎么想到的。 假如【附】那个分式你没记住，或者你想知道它凭什么长这样：其实可以直接从 $H_0$ 那句话往下算。既然「无关」意味着患病率不随检查结果变，那么每一格「本来该有多少人」是能算出来的——全体患病率乘上那一列的人数，就是那一格该有的人数。这个理论人数叫期望频数，通用写法是「该行合计 × 该列合计 ÷ $n$」。

四个期望频数。

$$\begin{aligned} &\text{患病·正常}:\ \frac{200\times 800}{1000}=160, &&\text{患病·不正常}:\ \frac{200\times 200}{1000}=40,\\[2pt] &\text{未患·正常}:\ \frac{800\times 800}{1000}=640, &&\text{未患·不正常}:\ \frac{800\times 200}{1000}=160. \end{aligned}$$

顺手验一下：$160+40+640+160=1000$，且行合计仍是 $200$、$800$，列合计仍是 $800$、$200$——期望频数只是在合计不变的前提下重新分配了人。

量偏差：实际人数减期望频数。

$$20-160=-140,\qquad 180-40=+140,\qquad 780-640=+140,\qquad 20-160=-140$$

四个偏差的绝对值全是 $140$。这不是巧合：行合计与列合计都被钉住之后，四个格子只剩一个自由度（一格定了整张表就定了），所以四个偏差必然大小相等、正负交错。它们的公共大小恰好是 $\dfrac{|ad-bc|}{n}=\dfrac{140000}{1000}=140$——记住这句，等下两条路会在这里合起来。

为什么不能把四个偏差直接相加。 加起来恰好是 $0$（$+140+140-140-140$），什么都抓不到。所以先给每个偏差平方。还有一层要处理：同样差 $140$ 人，落在「本该 $40$ 人」的格子里是天翻地覆，落在「本该 $640$ 人」的格子里只算波动——所以每个平方还要除以那一格的期望频数，再求和。这就是 $\chi^2$ 的定义式：

$$\chi^2=\sum_{\text{四格}}\frac{(\text{实际}-\text{期望})^2}{\text{期望}} =140^2\left(\frac{1}{160}+\frac{1}{40}+\frac{1}{640}+\frac{1}{160}\right)$$

算出来。 括号里通分到 $640$：$\dfrac{1}{160}=\dfrac{4}{640}$、$\dfrac{1}{40}=\dfrac{16}{640}$、$\dfrac{1}{640}$、$\dfrac{1}{160}=\dfrac{4}{640}$，四项之和是 $\dfrac{25}{640}$。于是

$$\chi^2=19600\times\frac{25}{640}=\frac{490000}{640}=765.625$$

与解法一同一个数。教材里的顺序正是这样：先摆出这个四项和，再化简成【附】那个分式——把上面「四个偏差都等于 $\dfrac{|ad-bc|}{n}$」代进去，化出来的就是它。

合流：比临界值，写结论

两条路都给出 $\chi^2=765.625$，剩下的一步是卡方对照临界值。题目【附】的临界值表里，$\alpha=0.001$ 那一列写着 $10.828$，于是

$$\chi^2=765.625>10.828$$

按小概率值 $\alpha=0.001$ 的检验规则：$\chi^2$ 超过临界值就推断 $H_0$ 不成立。所以结论写成

在小概率值 $\alpha=0.001$ 下认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过 $0.001$。

两问的答案：(1) $\dfrac{9}{10}$；(2) 有关。

这两条路差在哪。 解法一是考场路线：公式就在【附】里，四个数摆对位置、算一次除法就完事，甚至不需要理解 $\chi^2$ 是什么。解法二是定义路线：它不靠那张【附】也能算，代价是多算四个期望频数；换来的是 $\chi^2$ 的含义——每一格的实际人数与「无关时该有的人数」都差了 $140$，而其中一格本该只有 $40$ 人，这才是 $765$ 这个大数的来处。题目要是改问「无关时不正常组应有多少人患病」「为什么不把四个差直接加起来」，只有解法二答得上。而两条路必然同数，因为定义式化简之后就是【附】那个分式。

🕳️ 避坑

• 第一问读列不读行：条件是「检查结果不正常」，样本要缩到不正常那 $200$ 人里。本题特别阴——「患该疾病」的行合计也是 $200$，把条件读反了算出来仍是 $\dfrac{9}{10}$，数值上抓不到错，只能靠把条件读准。
• 四格顺序别乱：$a,b$ 同一行、$a,c$ 同一列；分母 $(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)$ 是两个行合计与两个列合计之积，不是随便挑四个数相乘。
• 临界值查对列：$\alpha=0.001$ 对应 $10.828$（不是 $6.635$ 或 $3.841$）——统计量算得再准，查错一列结论就反了。
• 走解法二时别把四个偏差直接相加（和恒为 $0$），也别忘了每个平方要除以那一格的期望频数。
• 结论要落在「在 $\alpha=0.001$ 下认为有关，该推断犯错误的概率不超过 $0.001$」，别写成「一定有关」——独立性检验给的是带概率的推断，不是证明。