浙江 2024 · 数学 q15

题面

15. 记 $\triangle ABC$ 内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin C = \sqrt{2} \cos B$，$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2} ab$ (1) 求 $B$；

(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求 c.

答案

（1） $B=\frac{\pi}{3}$

(2) $2\sqrt{2}$

解析

分析

（1）由余弦定理、平方关系依次求出 $\cos C, \sin C$ ，最后结合已知 $\sin C = \sqrt{2} \cos B$ 得 $\cos B$ 的值即可；

（2）首先求出 $A, B, C$，然后由正弦定理可将 $a, b$ 均用含有 $c$ 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.

【小问 1 详解】

由余弦定理有 $a^2 + b^2 - c^2 = 2ab\cos C$，对比已知 $a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2}ab$，

可得 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} = \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

因为 $C\in(0,\pi)$ ，所以 $\sin C>0$ ，

从而 $\sin C = \sqrt{1 - \cos^{2} C} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

又因为 $\sin C = \sqrt{2} \cos B$ ，即 $\cos B = \frac{1}{2}$ ，

注意到 $B\in(0,\pi)$ ,

所以 $B=\frac{\pi}{3}$ .

【小问 2 详解】

由（1）可得 $B = \frac{\pi}{3}$，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$C \in (0, \pi)$，从而 $C = \frac{\pi}{4}$，$A = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$，

$\sin A = \sin \left(\frac{5 \pi}{1 2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},$

由正弦定理有 $\frac{a}{\sin\frac{5\pi}{12}}=\frac{b}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{c}{\sin\frac{\pi}{4}}$ ,

从而 $a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{2} c = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} c, b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} c = \frac{\sqrt{6}}{2} c,$

由三角形面积公式可知， $\triangle ABC$ 的面积可表示为

$S_{\triangle A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} c \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{8} c^{2},$

由已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$，可得 $\frac{3 + \sqrt{3}}{8} c^2 = 3 + \sqrt{3}$，

所以 $c = 2\sqrt{2}$