浙江 2022 · 数学 q18

题面

18. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$。已知 $4a = \sqrt{5}c, \cos C = \frac{3}{5}$。

(1) 求 $\sin A$ 的值;

(2) 若 b=11，求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ;

(2) 22.

解析

分析

（1）先由平方关系求出 $\sin C$ ，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ 以及 $4a = \sqrt{5} c$ 可解出 $a$ ，即可由三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} ab\sin C$ 求出面积.

【小问 1 详解】

由于 $\cos C = \frac{3}{5}$ ， $0 < C < \pi$ ，则 $\sin C = \frac{4}{5}$ 。因为 $4a = \sqrt{5}c$ ，

由正弦定理知 $4\sin A = \sqrt{5}\sin C$ ，则 $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{4}\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$

【小问 2 详解】

因为 $4a = \sqrt{5} c$ ，由余弦定理，得

$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{a^{2} + 1 2 1 - \frac{1 6}{5} a^{2}}{2 2 a} = \frac{1 1 - \frac{a^{2}}{5}}{2 a} = \frac{3}{5},$

即 $a^2 + 6a - 55 = 0$，解得 $a = 5$，而 $\sin C = \frac{4}{5}$，$b = 11$，

所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2}\times 5\times 11\times \frac{4}{5} = 22.$